Нейман часть 2

4. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ (КОМПЛЕКСНЫМ) МЕТОДОМ

Рассматриваются приемы расчета цепей синусоидального тока, содержащих один источник напряжения или тока и смешанное соединение сопротивлений. При расчете таких цепей целесообразно использовать символический метод, основанный на использовании комплексных чисел.

Задача 4.1

	Определить комплексное сопротивление цепи (рис. 4.1) относи-
тельно входных зажимов, если r1			24 Ом , r2	32 Ом , r3 15 Ом ,
L	7,91 10 2 Гн , С	120 мкФ , С	50 мкФ ,	628 с 1 .
2	1	3

Решение

1. Расчет сопротивлений реактивных элементов цепи (рис. 4.1) для

628 с 1 :

xC1	1				1			13, 27 Ом ,
		C1			628 120 10 6
xC3	1				1			31,85 Ом ,
		C3			628 50 10 6

x	L 628 7,91 10 2	49,68 Ом .
L2	2

2. Для упрощения расчетов преобразуем схему (рис. 4.1) к виду, показанному на рис. 4.2. Комплексные сопротивления участков схемы

(рис. 4.2):

Z1 r1 jxC1 24 j13,27 Ом ,

Z 2 r2 jxL2 32 j49,68 Ом ,

Z 3 r3 jxC3 15 j31,85 Ом .

41

r2

L2

Z 2

r1

C1

Z 1

r3

C3

Z 3

Рис. 4.1

Рис. 4.2

3. Полное комплексное сопротивление цепи:

Z

Z1

Z 2 Z 3

24

j13,27

32

j49,68

15

j31,85

Z 2

Z

3

32

j49,68

15

j31,85

7,6о

24

j13, 27

2062,3 j274

24

j13, 27

2080, 4

47

j17,83

50,27

20,8о

24

j13,7

41,38

28, 4о

24 j13, 27 36, 43 j19,64

60, 43

j32,92

68,81

28,6о Ом .

Задача 4.2

	Определить действующие и мгновенные значения токов в ветвях
						t 120о
схемы (рис. 4.3), если			u 200 2 sin				В , r 30 Ом ,
							1
r	40 Ом , r	120 Ом , L	0,34 Гн , С			60 мкФ ,	=314 с 1 .
2	3	1	3

Решение

1. Расчет сопротивлений реактивных элементов цепи для частоты

314 с 1 :

	xL1 L1			314 0,34 106,8 Ом ,
	xC3	1		1	53,1 Ом .
		C3		314 60 10 6
				42

2. Комплекс действующего значения напряжения на входе:

				200			2	e j120о
	U								200	120о В .
				2

3. Преобразуем сопротивления отдельных последовательных участков цепи (рис. 4.3). Расчет токов выполним для преобразованной эквивалентной комплексной цепи (рис. 4.4).

i1 r1	L1			I 1 Z 1
	i3
u	i 2	C3		I 2	I 3
	r2
		r3	U	Z 2	Z 3
	Рис. 4.3			Рис. 4.4

Комплексы полных сопротивлений отдельных последовательных участков цепи:

Z1	r1	jxL1	30	j106,8 Ом ,
		Z 2 r2	40 Ом ,
Z 3	r3	jxC3	120	j53,1 Ом .

4. Полное комплексное сопротивление цепи:

Z

Z1

Z 2 Z 3

30

j106,8

40 120

j53,1

Z 2

Z

3

40 120

j53,1

30

j106,8

5248,9

23,9о

30 j106,8 31 j3

168,6

18,4о

61 j103,8 120, 4 59,6о Ом .

43

5. Определяем комплекс действующего значения тока в неразветвленной части цепи:

I1

U

200

120о

1,66

179,6о А .

Z

120,4

59,6о

6. Токи I 2 и I 3

в параллельных ветвях могут быть найдены через

ток I1 в неразветвленной части:

I

I

Z 3

1,66

179,6

о

120

j53,1

2

1

Z 2

Z 3

160

j53,1

5,5о

174,9о А ,

1,66

179,6 0,78

1, 29

I 3

I1

Z2

о

40

1,66

179,6

Z2

Z3

160

j53,1

161, 2о А .

1,66

179,6 0, 24

18, 4о

0, 4

7. Действующие значения токов:

I1

1,66 А ,

I2 1,29 А , I3

0,4 А .

8. Мгновенные значения токов:

179, 6о

i

1, 66

2 sin

t

А ,

1

174,9о

i

1, 29

2 sin

t

А ,

2

161, 2о

i

0, 4

2 sin

t

А .

3

Задача 4.3

Определить действующие значения токов в ветвях схемы (рис. 4.5) и мощность, отдаваемую источником. Дано: e 1202 sin t В ,

r1	26 Ом , r2 32 Ом , xL1 18 Ом , xL2 15 Ом , xC1 36 Ом ,
xC2	12 Ом .
	44

		1
I1			I6	I2
xL2			r1	xC 2
	I4		I5
	xC1			xL1
3	I3	r2		2
	I	E
	Рис. 4.5
Решение

			1
	I 1	Z 2	Z 3	I 2
	jxL2			jxC 2
			Z 1
	3			2
		I 3	r2
		I	E
		Рис. 4.6

1. Определим комплекс действующего значения источника ЭДС:

	E	120				2	e j0о 120		0о В .
		2

2. Преобразуем звезду сопротивлений r1 , xC1 , xL1 , подключенную

к точкам 1, 2 и 3 в эквивалентный треугольник (рис. 4.6). Комплексные сопротивления эквивалентного треугольника:

Z1

jxL1

jxC1

jxL1

jxC1

j18 j36

j18 j36

25 j18 Ом ,

r1

26

Z 2

r1

jxC1

r1

jxC1

26

j36

26

j36

26 j36 Ом ,

jxL1

j18

Z 3

r1 jxL1

r1 jxL1

26

j18

26

j18

13 j18 Ом .

jxC1

j36

45

	I1I	1
Z 4	U 31	U12		Z 5
		Z 1				Z экв
3				2
	I 3	r2
		E			I	E
	I
	Рис. 4.7					Рис. 4.8
3. Сопротивление			xL2	соединено параллельно с Z2 , а сопротивле-
ние xC 2	параллельно Z3			(рис. 4.6) , их общие комплексные сопротив-
ления равны (рис. 4.7):

jxL2 Z 2

j15

26

j36

Z

4

5, 2

j19, 2

19,9

105, 2о Ом ,

jxL2

Z 2

j15

26

j36

jxС 2Z3

j12 13

j18

Z

5

9,1

j16, 2

18,5

60,7о Ом .

jxС 2

Z3

j12 13

j18

4. Комплекс тока I I

(рис. 4.7):

E

0о

0о

I I

120

120

24, 4

37,6о А .

Z 4

Z 5

3,9

j3

4,9

37,6о

Комплексы напряжений U

31

и U

12 :

U 31

I I Z 4

24, 4

37,6о 19,9

105, 2о

485,6

67,6о В ,

I I Z5

U12

24, 4

37,6о

18,5

60,7о

451, 4

98,3о В .

46

5. Комплексы действующих токов I1

и I 2 найдем через комплексы

напряжений U

31 и U

12 (рис. 4.6):

67,6о

I

1

U 31

485,6

32, 4

22, 4

о

А ,

jxL2

j15

98,3о

U12

451,4

о

А .

I 2

37,6

8,3

jxС 2

j12

6. Комплекс действующего тока I 3 :

0о

I 3

E

120

3,8

0о

А .

r2

32

7. Комплекс полного сопротивления

Z экв всей цепи и комплекс

действующего тока I (рис. 4.8).

Согласно (рис. 4.7) для Z экв запишем:

1

1

1

1

,

Z экв

Z1

Z 4

Z 5

r2

откуда получим:

Z экв

Z1

Z 4

Z 5

r2

r2 Z1

r2 Z 4

Z 5

Z1 Z 4

Z 5

25

j18

3,9

j3 32

32 25 j18

32 3,9

j3

25

j18

3,9

j3

4,9 103

1,8о

4,1

25,6о Ом .

1, 2 103

23,8о

Комплекс действующего тока:

E

I

120

0о

29,3

25,6о А .

Z экв

4,1

25,6о

47

7. Комплексы действующих значений токов звезды сопротивлений (рис. 4.5) определим из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:

I 4

I

I1

I 3

29,3

25,6о

32, 4

22, 4о

3,8

0о

7, 4

176,6о А ,

I 5

I

I 2

I 3

29,3

25,6о

37,6

8,3о

3,8

0о

16,3

153,6о А ,

I 6

I1

I 2

32, 4

22, 4о

37,6

8,3о

10

136,3о А .

8. Окончательно для действующих значений токов имеем:

I

29,3 А ,

I1

32,4 А ,

I2

37,6 А , I3

3,8 А ,

I4

7,4 А , I5

16,3 А ,

I6

10 А .

9. Мощность, отдаваемая источником.

Комплекс полной мощности источника:

о

о

о

3170,8 j1519, 2 ВА ,

EI

120

3516

S

0 29,3

25,6

25,6

25,6о А – сопряженный комплекс тока.

где I

29,3

Активная мощность источника:

Re(3170,8

j1519, 2)

3170,8 Вт .

P Re (S )

Реактивная мощность источника:

Im(3170,8

j1519, 2)

1519, 2 ВАр .

Q Im (S )

Задача 4.4

		Определить показания приборов электромагнитной системы в схе-
ме		(рис. 4.9), если показание амперметра A5				соответствует	току
I	5	1,72 А .	Сопротивления	элементов	цепи	заданы: r	5 Ом ,
						1
r2		10 Ом , r4	20 Ом , xL1	12 Ом , xL3	6 Ом , xС4 15 Ом .

Решение

1.Обозначим токи в ветвях цепи в соответствии с установленными

всхеме приборами (рис. 4.9).

48

V1

A1

I1

r1

xL1

A5

I5

A4

I2

I3

I4

U

V

2

r2 U2

xL3

r4

A

A

xC 4

2

3

Рис. 4.9

2. Комплексы действующих значений токов

I 3 ,

I 4

и показания

I

0о

амперметров A

и A

определим через ток

5

1,72

А в нераз-

3

4

ветвленной части:

I

I

r4

jxC 4

20

j15

3

5

1,72

0о

r

jx

jx

j15

j6

L3

20

4

C 4

12,6о

12,6о А .

1,72

0о

1,14

1,96

По первому закону Кирхгофа для узла:

I 4

I 5

I 3

1,72

0о

1,96

12,6о

0,19

j0, 42 0, 47

114,3о А .

Показания

амперметров

A3

и

A4

будут соответствовать дейст-

вующим значениям токов: IA3

I3

1,96 А ,

IA4

I4

0,47 А .

3. Комплекс действующего значения тока I 2 и показание ампер-

метра

А2

найдем через напряжение параллельных ветвей U 2 :

I 2

U 2

I 3 jxL3

1,96

12,6о

j6 1,96

12,6о

6

90о

r2

r2

10

10

1,18

77, 4о А ,

где U 2

I 3 jxL3 .

49

Показание амперметра А2 будет соответствовать действующему значению тока I2 :

IА2

I2

1,18 А .

4. Комплекс действующего значения тока

I1 и показание ампер-

метра A1 найдем на основании первого закона Кирхгофа:

0о

I1 I 2

I 5

1,18

77, 4о

1,72

1,98

j1,15

2, 29

30, 2о А .

Показание амперметра

A1

будет соответствовать действующему

значению тока I1 :

IA1

I1

2,29 А .

5. Показание вольтметра V1 определим по закону Ома через ком-

плекс напряжения U

V1 :

97,6о В .

UV1

I1 r1

jxL1

2, 29

30, 2о

5

j12

29,8

Следовательно, показание вольтметра V1

будет соответствовать

действующему значению напряжения UV1

29,8 В участка цепи.

6. Показание вольтметра V2 равно действующему значению на-

пряжения параллельных ветвей. По закону Ома

U 2

I 3 jxL3 1,96

12,6о

j6

11,8

77, 4о В ,

откуда UV 2

U2

11,8 В .

Задача 4.5

Определить действующие значения токов и напряжений всех участков цепи (рис. 4.10), применив метод пропорционального пересчета, если действующее напряжение на входе цепи U 230 В .

Дано: r2 20 Ом , r4	15 Ом , xL1 25 Ом , xL4 40 Ом ,
xL5 30 Ом , xС2 20 Ом , xС3	60 Ом .
	50