Нейман часть 2

Решение

1. В цепи (рис. 6.5) имеет место резонанс токов. Фаза тока I1 (по-

казание

первого

амперметра

A1 ) совпадает

с фазой напряжения

UV (показание вольтметра V ) и определяется активной составляющей

тока. Реактивные составляющие токов

I2 и

I3

равны по модулю, но

противоположны по знаку и в сумме составляют ноль.

2. Векторная диаграмма токов цепи в режиме резонанса приведена

на рис. 6.6. Согласно первому закону Кирхгофа I1

I 2 I 3 . Ток через

индуктивность I

2

по фазе отстает от напряжения U

на угол 90о . Ре-

V

активная составляющая тока I 3р в ветви с емкостью по величине равна

току I 2

I 2р

(из условия резонанса).

Активная составляющая тока

I 3а совпадает по фазе с напряжени-

ем

U

V

и определяет ток I1 . Из условия задачи

I1

I2

, следователь-

но,

I1

I2р

, поэтому следует полагать, что угол сдвига по фазе меж-

ду векторами токов I 3

и

I1 составляет 45о

(из диаграммы).

3. Из диаграммы токов (рис. 6.6) следует:

I1

I3а

I3 cos 45о

15cos 45о

10,61 А ,

I2

I1

10,6А ,

xL

UV

120

11,31 Ом .

I2

10,61

Из равенства токов I3р

I3а

следует, что r

xC :

о

UV

о

120

о

r x

Z cos 45

cos 45

cos 45

5,66 Ом .

C

I3

15

Задача 6.5

Для цепи (рис. 6.7) в режиме резонанса показание ваттметра со-

ставляет	P 600 Вт . Определить величины сопротивлений r и xC ,
если U	60 В , xL 12,4 Ом .
	81

*	*	xC
	W				A
U		r	xL	U	xL	r
						xC
		Рис. 6.7			Рис. 6.8

Решение

1. В цепи (рис. 6.7) имеет место резонанс напряжений. Входное сопротивление цепи при резонансе является чисто активным, следовательно,

	rвх	U 2		602	6 Ом .
		P	600

2. Выражение входного комплексного сопротивления цепи:

Z вх	jxC		jxL r		jxC			jxL r		r	jxL
		r	jxL					r	jxL	r	jxL
			jxC	j	r2 xL			r xL2		.
					r2 xL2			r2	xL2

3. При резонансе входное сопротивление определяется вещественной частью (действительной составляющей) входного комплексного

сопротивления rвх

Re Z вх

:

rвх =Re Z вх

Re jxC

j

r2 xL

r xL2

r xL2

.

r2

xL2

r2 xL2

r2

xL2

Из полученного условия следует уравнение

2

xL2

2

r

r

xL

0 .

rвх

82

При rвх

6 Ом и xL

12,4 Ом уравнение приводится к виду

r2

25, 6

r

153,8

0 .

Решая квадратное уравнение относительно r , найдем его корни:

r

25,6

25,62

4 153,8

25,6

6,3

,

1,2

2

2

r1

16 Ом ,

r2

9,7 Ом .

Полученное решение означает, что резонанс напряжения возможен

при двух значениях резистивных сопротивлений.

4. Из второго условия резонанса

Im Z вх 0

определим значе-

ние xC :

Im Z вх

Im

jxC

j

r2 xL

r xL2

jxC

j

r2 xL

0 ,

r

2

xL2

r2

xL2

r2

xL2

следовательно,

jxC

j

r2 xL

0 ,

r2

xL2

откуда находим xC

r2 xL

.

r2

xL2

Каждому значению сопротивления

r

цепи будет соответствовать

значение резонансного сопротивления xC .

r2 x

162 12,4

Для r1

16 Ом :

xC1

1

L

7,8 Ом .

r2

x2

162

12,42

1

L

r

2 x

9,72

12, 4

Для r2

9,7 Ом : xC 2

2

L

4,7 Ом .

r

2

x2

9,72

12,42

2

L

Задача 6.6

В режиме резонанса определить емкостное сопротивление	xC и
показание амперметра в схеме (рис. 6.8), если U 30 В , r	2 Ом ,
xL 5 Ом .
83

Решение

1. В схеме (рис. 6.8) имеет место резонанс токов. Входная комплексная проводимость цепи:

Y вх

1

1

j

1

r

jxC

jxL

r jxC

xL

r jxC

r jxC

1

r

xC

.

j

j

xL

r2

xC2

r2

xC2

2. Из условия резонанса токов

Im Y вх

0

получим:

1

xC

.

xL

r2

xC2

Из выражения следует квадратное уравнение

x2

x x

r2 0 .

C

L C

После подстановки значений xL и r квадратное уравнение относительно xC приводится к виду

xC2 5xC 4 0 .

Из решения квадратного уравнения находим:

x	5	52	4	4	5		3 ,
C1,2		2					2
xC1	4 Ом , xC2				1 Ом .

Резонанс токов возможен при двух значениях емкостных сопро-

тивлений xC1 и xC 2 .

3. Показание амперметра определим как действующее значение тока в неразветвленной части схемы.

Ток в неразветвленной части схемы определим по закону Ома через полную входную проводимость Y вх , которая является чисто активной:

U r

I A UYвх r2 xC2 .

84

При xC	xC1	4 Ом , для тока получим:
		I A	30		2		3 А .
			22		42
При xC	xC2	1 Ом , для тока получим:
		I A	30		2		12 А .
			22		1

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.7. В цепи (рис. 6.9) последовательно включены катушка индуктивности с активным сопротивлением и конденсатор. Определить емкость конденсатора, при которой в цепи установится резонанс напряжений. Найти ток, мощность, выделяемую в цепи, напряжение на катушке и конденсаторе. Построить топографическую диаграмму

напряжений.	Дано: U 48 В , Lк 0,06 Гн , rк 20 Ом ,		f 100 Гц .
О т в е т:	C	42,3 мкФ , I 2, 4 А , P 115, 2 Вт , Uк	102, 4 В ,
	UC	90, 4 В .

Задача 6.8. Цепь (рис. 6.10) настроена на резонанс. Показание ваттметра соответствует мощности P 200 Вт , а показание ампер-

метра току

IA

5 А . Определить параметры цепи и приложенное к

входу напряжение, если напряжение на конденсаторе UC

160 В , уг-

ловая частота

0

500 с 1 .

О т в е т: r

8 Ом , L 64 10 3 Гн , С

62,5 мкФ , U

40 В .

I

C

*

*

C

W

L

UC

Lк

UC

U

rк

Uк

U

r

A

Рис. 6.9

Рис. 6.10

85

Задача 6.9. При резонансе приборы электромагнитной системы,

установленные в цепи (рис. 6.11), показали: UV1						100 В , UV 2	40 В ,
UV 3 50 В ,		IA	0,5 А .	Определить	параметры	цепи, если	угловая
частота	0	500 с 1 .
О т в е т:		r1	60 Ом ,	r2 140 Ом , L	0,16 Гн , С	25 мкФ .

Задача 6.10. Определить значение сопротивления r2 , при кото-

ром в цепи (рис. 6.12) установится резонанс напряжений на частоте f 100 Гц . Рассчитать входное сопротивление цепи и ток в нераз-

ветвленной части схемы, соответствующие резонансному режиму. Да-

но: U

96 В , r1

6 Ом , L

0,015 Гн , С

120 мкФ .

О т в е т:

r2

20,8 Ом ,

rвх

12 Ом ,

I

8 А .

C

I

r1

L

V

V2

r1

V3

U

r2

C

1

L

A

r2

Рис. 6.11

Рис. 6.12

Задача 6.11. Для цепи (рис. 6.13) определить резонансную часто-

ту

и

эквивалентное сопротивление

при

резонансе

токов,

если

r

16 Ом , L

0,04 Гн , С

5 мкФ .

О т в е т:

0

2200 с 1 ,

r

500 Ом .

экв

Задача 6.12. Для схемы (рис. 6.14) рассчитать резонансные час-

тоты

и соответствующие

частотам

входные

сопротивления,

если

r

200 Ом ,

L

8 10 3 Гн

, L

10 10

3 Гн ,

С

25 мкФ .

1

1

2

2

О т в е т:

1) резонанс токов:

0

2000 с 1 , Z

вх

Ом ;

2) резонанс напряжений:

0

3000 с 1 , Z

вх

200 Ом .

86

L

r

r1

L1

Zвх

C2

L2

C

Рис. 6.13

Рис. 6.14

Задача 6.13. Для цепи (рис. 6.15) определить показания ампер-

метров, установленных в схеме,

если

U

200 В , xL

xC

20 Ом ,

r

40 Ом .

О т в е т: I A1

I A4

0 , I A2

I A3

I A6

5 А , I A5

10 А .

Задача 6.14. Цепь, рис. 6.16, настроена на резонанс. Определить

показания

приборов,

установленных

в

цепи,

если

U

24 B ,

r

30 Ом ,

xL xC

10 Ом .

О т в е т: I A1

0, 4 А , I A2

0 , I A3 1, 2 А , UV

12 B .

xL

xC

A2

r

A1

A2

A1

A4

r

xL

U

xC

U

xL

xC

xL

xC

A3

A

5

A

3 V

A6

r

r

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Задача 6.15. В цепи, рис. 6.17, имеет место резонанс. Показание амперметра, установленного на входе цепи, соответствует току

87

I A

2 А . Определить напряжение

на входе цепи, если

r 10 Ом ,

xC

20 Ом .

О т в е т: U

100 B , ( xL 25 Ом ).

Задача 6.16. В цепи (рис. 6.18) резонанс токов. Показания ам-

перметров соответствуют токам IA2

0,5 А , IA3 0,4 А . Определить

показание амперметра А1 .

О т в е т: I A1

0,3 А .

A

C

r

U

xL

r

A1

A2

xC

A3

L

Рис. 6.17

Рис. 6.18

7.РАСЧЕТ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Приступая к расчету электрических цепей синусоидального тока при наличии индуктивно связанных элементов (элементов, обладающих взаимной индуктивностью), необходимо учитывать напряжения взаимной индукции. Чтобы учесть напряжения взаимной индукции при составлении уравнений цепи по второму закону Кирхгофа, необходимо знать их условные положительные направления на схеме, которые определяются согласным или встречным включением индуктивно связанных элементов.

Расчет сложных цепей при наличии взаимной индуктивности производится в основном методами уравнений Кирхгофа и контурных токов, записанных в комплексной форме. Метод узловых потенциалов, в котором используется первый закон Кирхгофа, не применяется.

В ряде случаев расчет индуктивно связанных цепей может быть упрощен, если осуществить переход к эквивалентной схеме без индук-

88

тивных связей (способ расчета с развязкой индуктивных связей). В этом случае снимаются все ограничения по использованию методов расчета по отношению к способу расчета, где развязка индуктивных связей не предусмотрена.

Задача 7.1

Две индуктивно связанные катушки включены по схеме, показанной на рис. 7.1. Найти комплекс действующего значения тока, протекающего в цепи, и комплекс полной мощности. Определить значение указанного тока при замене местами выводов обмотки катушки L2 .

Построить в			масштабе		векторную диаграмму. Параметры			схемы:
U	160	В ,	r1	12 Ом ,	r2 10 Ом ,	L1 10 Ом ,	L2	8 Ом ,
M	6	Ом ,	1	C 10 Ом .

Решение

1. По схеме (рис. 7.1) определим характер включения обмоток катушек L1 и L2 . Из рис. 7.1 следует, что при заданном направлении то-

ка в каждой из обмоток катушек потоки самоиндукции и взаимоиндукции одинаково направлены (действуют согласно). Следовательно, катушки включены согласно, и напряжения взаимоиндукции имеют положительные направления. Заданная схема после разметки одноименных зажимов обмоток катушек может быть представлена схемой замещения, показанной на рис. 7.2.

r1

U

r2

1	L1	2 I
		r	1	j	L1	I	2
1		1
		C					j 1
				j	M
		U					C
		2

	L2		r2	3	j	4
3		4				L2

Рис. 7.1

Рис. 7.2

89

2. На основании второго закона Кирхгофа для схемы замещения (рис. 7.2) запишем уравнение

r I j L I

j MI

j

1

I j L I

j MI r I

U ,

1

1

C

2

2

из которого найдем комплекс действующего тока

U

I

160

0о

42,3о А .

5,38

1

r1 r2

j L1

j L2

2 j M j

22

j20

C

П р и м е ч а н и е. Если направления токов относительно одноименных зажимов индуктивно связанных элементов цепи совпадает, то включение этих элементов согласное, и напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком плюс, в противном случае включение элементов встречное, а напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении со знаком минус.

3. При замене местами выводов обмотки катушки L2 индуктивно

связанные катушки окажутся включенными по схеме, показанной на рис. 7.3.

Из рис. 7.3. следует, что при заданном направлении тока в каждой из обмоток катушек потоки самоиндукции и взаимоиндукции направлены противоположно друг другу (действуют встречно). Следовательно, катушки включены встречно, и напряжения взаимоиндукции имеют отрицательные направления. Схема замещения заданной цепи после

r1	1		L1	2 I
					r	1	j	L1	I	2
				1	1
					C					j 1
U							j	M
					U					C
r2				2
		3	L2	4	r2	4	j	L2		3
	Рис. 7.3						Рис. 7.4
					90