Нейман часть 2

здесь U 3

360e j35о

360e j35о 1e j180о

360e j 35о 180о , так как

1 1e j180о .

Задача 3.3

Заданы комплексы действующих значений токов в алгебраической форме:

I1 4 j3 А , I 2 4 j3 А , I 3 4 j3 А , I 4 4 j3 А .

Записать выражения для мгновенных значений токов.

Решение

jarctg

3

о

42

32

1.

I

1

4

j3

e

4

= 5e j36,9

А

(рис. 3.3). Мгновенное

t 36,9о

значение тока:

i

5 2 sin

А .

1

jarctg

3

2.

I 2

4

j3

42

32

e

4

5e j36,9о

А (рис.

3.4).

Мгно-

венное значение тока:

i

5

2 sin

t

36,9о А .

2

jarctg

3

3. I 3

2

2

4

j36,9о

4 j3

4 j3

4

3 e

5e

5e j143,1о

А

(рис. 3.5).

Мгновенное

значение

тока:

143,1о

i3

5

2sin

t

А .

jarctg

3

j36,9о

2

2

4

4. I 4

4 j3

4 j3

4 3 e

5e

=

5e

j143,1о А (рис. 3.6). Мгновенное значение тока:

143,1о А .

i4

5

2 sin

t

31

j	I	1	j	I 3	j		j
	36,9o		1	1	143,1o	1	0
0	1		0		0		143,1o
			36,9o
			I 2			I 4
Рис. 3.3			Рис. 3.4		Рис. 3.5		Рис. 3.6

Задача 3.4

Напряжения представлены комплексами действующих значений U1 5 j12 4e j30о В , U 2 4 j3 16 j12 В . Записать выражения для мгновенных значений напряжений.

Решение

о

jarctg

12

о

2

2

1. U1

j30

5

j30

5 j12 4e

5 12 e

4e

13e j67,4о

4e j30о

52e j97,4о В ,

97, 4о

тогда u

52

2 sin

t

В .

1

2. U 2

4

j3

16

j12

28

j96

jarctg

96

282

962 e

28

100e

j73,7о В ,

t 73, 7о

тогда u2

100

2 sin

В .

Задача 3.5

Комплексы действующих значений напряжения и тока равны: U 12,5 j30 В , I 1,6 j1, 2 А . Определить сдвиг фаз между напря-

жением и током.

32

Решение

1. Комплексы действующих значений напряжения и тока в показательной форме:

									30
									e jarctg					32,5e j67,4о В ,
				12,52			302
U											12,5
									1,2
										e jarctg				2e j36,9о А .
				1,62			1,22
			I									1,6
2. Сдвиг фаз между напряжением и током:
						u	i		67,4о 36,9о 30,5о .

Задача 3.6

Определить комплекс амплитудного значения и мгновенное значение падения напряжения на участке цепи с комплексным сопротивлением Z 26 j42 Ом , если мгновенное значение тока через элементы

цепи составляет i 1, 25sin t 25о А .

Решение

1. Согласно закону Ома напряжение на участке: U

m

I mZ .

Комплекс амплитудного значения тока:

I m

1, 25e j25о

А .

Комплекс амплитудного значения падения напряжения:

о

о

jarctg

42

2

2

j 25

j 25

26

U m I mZ 1,25e

26

j42

1,25e

26

42

e

1, 25e j25о 49, 4e j58,2о

61,75e j83,2о В .

2. Мгновенное значение падения напряжения на участке:

u Umsin

t

u

61, 75sin t

83, 2о

B .

33

Задача 3.7

Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника, если напряжение и ток на входе двухполюсника:

u 2202 sin t 40о В , i 52 sin t 10о А .

Решение

1. Согласно закону Ома комплексное сопротивление двухполюсни-

ка Z	U		m	.
		I m

Комплексы амплитудных значений напряжения и тока:

j

u

j40о

U m

Ume

220 2 e

В ,

j

i

j10о

I m

Ime

5 2 e

А .

Комплексное сопротивление:

U m

e j 40о

Z

220

2

44e

j30о

38,1 j22 Ом .

I m

e j10о

5

2

2. Комплексная проводимость:

Y

I m

1

1

0,023e

j30о

U m

Z 44e j30о

19,68

j11,36 10 3 См .

Задача 3.8

В узле цепи (рис. 3.7) соединены три ветви. Определить комплекс действующего значения тока I 3 , если I1 1, 4e j43о А ,

I 2 3,6e j60о А .

34

I1				i 2
	I 3	i1			i3
I 2				i 4
Рис. 3.7			Рис. 3.8

Решение

На основании первого закона Кирхгофа, согласно рис. 3.7:

I 3	I 2	I1 3,6e j60о	1, 4e j 43о
1,8 j3,12	1,02	j0,95 0,78	j4,07 4,14e j79,2о А .

Задача 3.9

В узле цепи (рис. 3.8) соединены четыре ветви. Определить мгновенное значение тока i1 , если мгновенные значения остальных токов равны:

i2 15sin t 15о А , i3 25sin t 35 о А , i4 12sin t 60 о А .

Решение

На основании первого закона Кирхгофа, согласно рис. 3.8, для комплексов амплитудных значений токов

	I1m I 2m	I 3m	I 4m .
Найдем
I 2m	15e j15о	14,5	j3,9 А ,
I 3m	25e j35о	20,5	j14,3 А ,
I 4m	12e j60о	6	j10, 4 А .
	35

Следовательно,

I1m 14,5		j3,9 + 20,5 + j14,3		6 j10, 4
	29 j20,8		35,7e j35,7о А .
Мгновенное значение тока i1 :
i		35,7sin	t 35,7о	А .
1

Задача 3.10

Найти комплексные сопротивления и комплексные проводимости

участков цепи (рис. 3.9 – 3.11), если r 25 Ом , xL

60 Ом ,

xС 30 Ом .

r

xL

r

xC

r

xC

xL

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Решение

1. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для участка цепи, рис. 3.9:

	Z1		r	jxL	25 j60		65e j67,4о Ом ,
	1			1	1		о
Y1							0,0154e j67,4
	Z1		25	j60		о
						65e j67,4

0,0059 j0,0142 См .

2. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для участка цепи, рис. 3.10:

Z	2	r jx 25 j30 39,1e j50,2о	Ом ,
		С

	1	1			1		о
Y 2							0,0256e j50,2
	Z 2	25		j30		о
						39,1e j50,2
				0,0164 j0,0196 См .
					36

3. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость для участка цепи, рис. 3.11:

Z

3

r jx

L

jx

25

j60

j30 25

j30 39,1e j50,2о Ом ,

С

1

1

1

о

Y 3

0,0256e j50,2

Z 3

25

j30

о

39,1e j50,2

0,0164

j0,0196 См .

Задача 3.11

Определить параметры элементов и характер цепи, состоящей из двух последовательно включенных сопротивлений r и x , если мгновенное значение напряжения на входе и ток соответственно равны:

u 1002 sin 100 t 15о В , i 3,82 sin 100t 38о А .

Решение

1. Комплексы амплитудных значений напряжения и тока:

U m 1002 e j15о В , I m 3,82 e j38о А .

2. Комплексное сопротивление цепи:

ZU m 1002 e j15о 26,3e j53о 15,8 j21 Ом . I m 3,82 e j38о

3.Активное сопротивление является действительной составляющей (вещественной частью) комплексного сопротивления:

r Re Z Re 15,8 j21 15,8 Ом .

Реактивное сопротивление является мнимой составляющей комплексного сопротивления:

x xL Im Z Im 15,8 j21 21 Ом .

37

Индуктивность

L	xL		21	0,21 Гн .
		100

4. Характер цепи r L активно-индуктивный, что определяется

положительным знаком перед мнимой частью комплексного сопротивления Z цепи.

Задачи для самостоятельного решения

Задача			3.12. Мгновенные значения			напряжения и тока:
			t 20о В , i 3		sin t 15о
u 220 2 sin				2		А . Записать комплексы

для действующих значений синусоидальных функций в показательной, алгебраической и полярной формах.

О т в е т: 1) U			220e		j20о В , I			3e j15о А ;
2) U			206, 7		j75, 2 В , I 2,9 j0, 78 А ;
									15о А .
3)U			220	20о В , I				3

Задача 3.13. Записать выражения для мгновенных значений на-

пряжений.

Комплексы для амплитудных значений напряжений зада-

36о В ,

ны

в

полярной форме:

U1m

280

0о В ,

U 2m 115

U 3m

36

120о

В , U 4m

127

43о В .

t 36о

О т в е т: u

280sin

t В , u

115sin

В ,

1

2

u

36sin

t 120о

В , u

127sin

t

223о В .

3

4

Задача 3.14. Записать выражения для мгновенных значений напряжений. Комплексы действующих значений напряжений заданы в

38

алгебраической

форме:

U1

25

j60 В ,

U 2 60

j25 В ,

U 3 25 j60 В , U 4

60 j25 В .

t 22, 6о

О т в е т:

u

65

2 sin

t

67, 4

В , u 65

2 sin

В ,

1

2

112, 6о

В ,

u

65

2 sin

t

3

157, 4о

В .

u

65

2 sin

t

4

Задача 3.15. Токи представлены комплексными выражениями для

40

j36

230

64о

действующих

значений:

I1

А

,

I 2

А ,

50

j60

320

j280

I 3

24 j30

4

j12

А ,

I 4

120

j150

А . Записать выраже-

260e

j60о

3

j6 65

43о

ния для мгновенных значений токов.

О т в е т:

92, 2о

А ,

i

0, 69

2 sin

t

1

22,8о

А ,

i

0,54

2 sin

t

2

62,9о

А ,

i

1,87

2 sin

t

3

157,8о

А .

i

0, 44

2 sin

t

4

Задача 3.16. Определить комплексное сопротивление участка цепи в полярной и алгебраической формах, если падение напряжения на

120о В ,

участке и

ток

соответственно

равны:

u

220

2 sin t

1

36о

i1

2

2 sin

t

А .

О т в е т:

Z1

110

84о

Ом ,

Z1

11,5

j109, 4 Ом .

Задача

3.17.

Мгновенное

значение

тока

задано

суммой

i1

i2

i3

i4 . Записать выражение для комплексной амплитуды этого

39

тока в показательной, полярной и алгебраической формах, если

i

1, 6sin t

120о

А ,

i

2, 4sin

t

15о

А , i

1, 2sin t

30о А .

2

3

4

О т в е т:

I1m =3,3e j128,6о А ,

I1m =3,3

128, 6о А ,

I1m = 2,1

j2,6 А .

Задача 3.18. Определить ток i , равный разности токов i2

i1 . Да-

но:

i1 3, 2sin

t

60о

А и

i2

4, 6sin

t 45о

А .

О т в е т:

i

1, 72sin

t

16, 2о

А .

Задача 3.19. Определить закон изменения тока через элемент цепи

с комплексным сопротивлением Z 112

j58 Ом , если закон измене-

ния напряжения на элементе u

124sin

t

90о В .

О т в е т:

i

0,98sin

t

62, 6о

А .

Задача 3.20. Вычислить параметры схемы из двух последовательно включенных сопротивлений, если напряжение и ток соответственно

равны: u 300sin 628t 45о		В , i	1, 24sin 628t	86о А .
О т в е т: r	182, 6 Ом , x	xC	158, 7 Ом , C	10 мкФ .
Задача 3.21.	Записать закон изменения напряжения на входе цепи

с последовательным соединением сопротивлений, если мгновенное

значение тока	равно i 4, 6sin 314t 64о А . Дано: r 2,5 Ом ,
L 4,5 10 2 Гн , С 600 мкФ .
О т в е т: u	42, 2sin 314t 138, 2о В .

40