Нейман часть 2

I 1	jxL1	1 I 3	jxC3	3
	U 1	I 2	U 3	I 4	I 5
		r2		r4
U			U 4		jxL5
		U 2
		jxC 2		jxL4

2

Рис. 4.10

Решение

1. Задаемся комплексным током в удаленной от источника ветви

I 5I

0о А .

1

2.

Напряжение параллельных ветвей на участке 3, 2:

U 4I

I 5I jxL5

j30 30

90о

1

0о

В .

3.

Комплекс тока I 4I :

U 4I

90о

I 4I

30

90о

30

0,7

20,6о А .

r

jx

15

j40

42,7

69,4о

4

L4

4.

Комплекс тока

I 3I

найдем по первому закону Кирхгофа:

I 3I

I 4I

I 5I 0,7

20,6о

1

0о

1,66 j0, 25 1,67

8, 46о А .

5.

Напряжение на участке 1, 3:

U 3I

I 3I

81,5о В .

jxC3

1,67

8, 46о

j60

100, 2

6.

Напряжение на участке 1, 2:

U

2I

U

3I

U

4I

100, 2

81,5о

30

90о

14,8

j69,1

70,7

77,9о В .

51

7.

Комплекс тока

I 2I

:

I

70,7

77,9о

70,7

77,9о

I I

U 2

32,9о А .

2,5

2

r2

jxC 2

20

j20

28,3

45о

8.

Комплекс тока

I1I

на входе цепи:

I1I

I 2I I 3I

2,5

32,9о

1,67

8, 46о

3,75

j1,11 3,91

16,5о А .

9.

Напряжение

U

1I :

U1I

I1I

73,5о А .

jxL1

3,91

16,5о

j25 97,8

10. Напряжение на входе цепи:

I

U1I

U 2I

77,9о

U

97,8

73,5о

70,7

42,6

j24,6

49,2

30о В .

11. Для определения действительных значений токов и напряжений участков схемы определим коэффициент пересчета как отношение модулей действующего напряжения на входе цепи, заданного по условию

задачи U 230 В , к найденному U I 49,2 В :

	kпер	U	230		4,67 .
		U I	49,2

12. Действительные значения токов и напряжений участков схемы для действующих значений:

I			I I k	3,91	4,67	18, 26А ,
1			1 пер
I	2		I I k	2,5 4,67		11,67 А ,
			2 пер
I		3	I I k	1,67	4,67	7,8А ,
			3 пер
I		4	I I k	0,7	4,67	3, 27 А ,
			4 пер
				52

			I	5	I I k		1 4,67 4,67 А ,
						5 пер
U				U I k			97,8 4,67	456,7 В ,
		1			1	пер
U		2			U I k		70,7 4,67	330, 2В,
					2	пер
U	3			U I k			100, 2 4,67	467,9В ,
					3	пер
	U		4		U I k		30 4,67	140,1В .
						4 пер

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.6. Определить комплексное сопротивление всей цепи,

схема которой приведена на рис. 4.11. Дано:

r1

120 Ом ,

r2

60 Ом ,

r

200 Ом , С

20 мкФ , L 0,14 Гн , L

0,1 Гн ,

1000 с 1 .

3

1

1

2

О т в е т: Z

вх

321, 2

23,8о Ом .

Задача 4.7. Определить комплексное сопротивление всей цепи

(рис. 4.12), если

сопротивления элементов цепи при заданной частоте

источника питания: r1 3 Ом , r2

6 Ом ,

xL1

2 Ом ,

xL2

4 Ом ,

xL3

8 Ом , xС1

5 Ом .

46, 4о Ом .

О т в е т: Z

вх

6, 2

r

C

jxL1

1

1

r1

r2

jxL2

r2

L

jxL3

1

r3

L2

jxC1

Рис. 4.11

Рис. 4.12

53

Задача 4.8. Определить комплексы действующих значений токов цепи (рис. 4.13), если мгновенное значение напряжения на входе схемы

						32о В .
составляет u	60		2 sin t				Дано: r		28 Ом , x		16 Ом ,
							1			L1
xL2 36 Ом ,	xС1	12 Ом .
							79, 3о А ,			33, 9о
О т в е т:	I1 =1, 52			15, 5о		А , I 2 =1, 26			I 3 =1, 48		А .

Задача 4.9. Определить показания приборов электромагнитной системы и активную мощность всей цепи, схема которой приведена

на

рис.

4.14, если

U

36 В ,

r 21 Ом

,

r

15 Ом ,

x

10 Ом ,

1

2

L1

xС1

26 Ом .

О т в е т: I A1

1, 2 А ,

I A2

0,82 А , I A3

0,87 А , P

41,8 Вт .

r1

I

xL1

I

3

A1

1

I2

r1

A2

U

A

3

U

xL2

xL1

xC1

xC1

r2

Рис. 4.13

Рис. 4.14

Задача 4.10. В схеме (рис. 4.15) включены приборы электромаг-

нитной системы.

Определить показания приборов, если вольтметр V2

показывает напряжение UV 2

24,5 B . Дано:

r1

120 Ом ,

xL1

60 Ом ,

xС1

90 Ом , xС2

30 Ом .

О т в е т: I A1

0,82 А , I A2

0, 66 А , I A3

0, 49 А , UV1

41,9 В .

Задача 4.11. Определить комплекс действующего значения ис-

точника

ЭДС на

входе цепи

(рис.

4.16),

если

комплекс тока

I

3

6

j8 А . Дано:

r

4 Ом , r

3 Ом ,

x

6 Ом ,

x

12 Ом .

1

2

L1

С1

О т в е т: E

68,1

125о В .

54

A1

xL1

I 1

r1

I 2

I 3

V1

A

2

A

3

E

r2

jxL1

V2

xC1

r

xC 2

1

jxC1

Рис. 4.15

Рис. 4.16

Задача 4.12. Установить мгновенное значение тока источника,

питающего

схему (рис. 4.17), если комплекс действующего значения

тока

через

емкость

составляет

I C

3 j3 А .

Дано:

r 100 Ом ,

xL

120 Ом , xС

200 Ом .

О т в е т: i

63, 4о

А .

8,94

2 sin

t

k

I

xC1

xL2

I

4

1

xL

xC

xL1

r1

xC 2

r2

i

r

U

k

I2

I3

r3

I5

I6

Рис. 4.17

Рис. 4.18

Задача 4.13. Методом пропорционального пересчета найти действующие значения токов в ветвях схемы, рис. 4.18 (задаться током в

ветви с сопротивлением				r2 , равным		1 А ).	Дано: U		300 В ,
r1	125 Ом , r2	200 Ом ,	r3	160 Ом ,		xL1 100 Ом ,		xL2	110 Ом ,
xС1	60 Ом , xС2	130 Ом .
	О т в е т: kпер	0,882 ,	I1	5,81 А ,	I2	3,57 А ,	I3	2,86 А ,
	I4	1, 62 А ,	I5	1,36 А ,	I6	0,88 А .
				55

5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Все известные способы расчета резистивных цепей на постоянном токе применимы в комплексной форме к расчету цепей синусоидального тока. Сущность символического (комплексного) метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений цепи, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям относительно комплексных токов, напряжений и ЭДС.

Задача 5.1

По законам Кирхгофа рассчитать действующие и мгновенные значения токов в ветвях схемы цепи, изображенной на рис. 5.1. Выполнить проверку расчетов по балансу мощностей и построить топографическую диаграмму.

				sin 200t 90о В ,	e 200		sin 200t 180о
Дано:	e	130	2			2		В ,
	1				2

e	100	2 sin200t В ,		r		101 Ом ,	r	139 Ом ,		L 0,5 Гн ,
3				1			2			1
L2	1,0 Гн , C1		25 мкФ,	C2		50 мкФ .
		r1	r2				5	r1	4	r2	6
		L		L	2				jxL1	jxL2
		1
									3		7
		C		C					jxC1	jxC 2
		1		2
									2		8
	i1	i 2		i3		I 1			I 2	I 3
e1		e 2		e3		E 1			E 2	E 3
									1
		Рис. 5.1							Рис. 5.2
						56

Решение

1.Решение получим для схемы (рис. 5.2), приведенной относительно комплексных значений величин. Положительные направления комплексов действующих значений токов выбраны по направлению их мгновенных значений (рис. 5.1).

2.Сопротивления реактивных элементов для частоты питающих

схему источников

200 с 1 :

xL1

L1

200 0,5

100 Ом ,

xL2

L2

200 1

200 Ом ,

xC1

1

1

200 Ом ,

C1

200 25 10 6

xC 2

1

1

100 Ом .

C2

200 50 10 6

3. Комплексы действующих значений источников ЭДС:

130

2

e j90о

90о

j130 В ,

E1

130

2

200

2

e j180о

200 В ,

E2

200

180о

2

E3

100

2

e j0о 100

0о

100 В .

2

два узла ( nу 2 ).

4. Схема (рис. 5.2) содержит три ветви ( mв

3 ),

Достаточное количество уравнений для расчета цепи по законам

Кирхгофа равно трем.

По первому закону Кирхгофа:

N1

nу

1

1.

По второму закону Кирхгофа:

N2

mв

nу

1

2 .

Положительные направления обхода независимых контуров указаны на рис. 5.2.

57

5. Система уравнений, составленных по законам Кирхгофа в символической форме для цепи (рис. 5.2), имеет вид

I1 I 2	I 3 0,
I1r1 I 2 jxL1		jxC1	E1	E2 ,
I 2 jxL1	jxC1	I 3 r2	jxL2	jxC 2	E3 E2 .

6. После подстановки числовых значений сопротивлений и ЭДС получим:

I1	I 2	I 3	0,
I1	101	I 2	j100	200	j130,
I 2	j100		I 3 139	j100	300.

7. Решение системы получим с помощью определителей по методу Крамера.

Главный определитель системы:

	1	1		1
j	101	j100		0
	0	j100	139	j100

2, 404 j1,39 104 .

Дополнительные определители системы:

		0			1		1
1	j	200		j130	j100		0
		300			j100	139	j100
		2,78			j4,807 104 ,
					0		1
			1
2	j		101	200	130		0
			0	300		139	j100
				58

										4,51							j3,807 104 .
																	1							0
										1
					3		j			101							j100				200									j130
										0							j100						300
										1, 73							j1, 0 104 .
8. Комплексы действующих токов ветвей:
	I1				1		j			2,78							j4,807 104																						о
																														2	90											А ,
							j			2, 404								j1,39 104
I 2					2		j			4,51						j3,807 104													2,125					70						о		А	,
							j			2, 404							j1,39 104
	I 3				3		j				1,73							j1,0 104											0,72						0			о			А .
							j			2, 404								j1,39 104
9. Действующие значения токов ветвей:
					I1		2 А ,				I2		2,125 А ,										I3							0,72 А .
10. Мгновенные значения токов ветвей:
					200t 90о А ,																																					70о А ,
i 2 2 sin																i			2,125							2 sin					200t
1																2
								i3		0,72							2 sin200t А .
11. Проверка решения по балансу мощностей:
мощность, развиваемая источниками:
							S
											E I						E		2	I	2		E	3			I		3
							ист			1			1
							90о					180о											70о 100														0о							0о
130	90о				2					200							2,125																									0,72
						622, 4				39,9о						477, 4							j399, 4 ВА ;

59

потребляемая мощность:

S	I 2r	I 2	jx	jx	I 2	r	jx		jx
потр	1 1	2	L1	C1	3	2	L2		C2
22	101	2,1252		j100	0,722		139		j100
			476,1 j399,7 ВА .
Баланс мощностей примерно сходится: Sист								Sпотр .

12. Топографическая диаграмма напряжений.

Для построения данной диаграммы необходимо определить геометрическое место потенциала каждой точки на комплексной плоскости.

Пусть в схеме (рис. 5.2) потенциал узловой точки 1 равен		1	0 В .

Тогда комплексные потенциалы обозначенных в схеме точек:

																						2						1		E2			0			200			200 В ,
																					I						jx						200			2,125									j200
																																								70о
							3										2					2							C1
																					246,7									36,1о			199, 4						j145, 4 В,
				4											3				I		2		jx		L1		199, 4							j145, 4					2,125					70о					j100
																																					j72,7 В ,
																										72,7					90о
																				I			r						j72,7				2			90о			101		129,3							90о В ,
					5											4						1		1																90о
																																													0 В .
																										E				129,3				90о 130
																		1					5				1																						36о =
																			I 3r2										j72,7
			6										4																				0,72				0о		139		123,7
																														100				j72,7 В ,
								7											6				I 3 jxL2							100					j72,7				0,72			0о			j200
																								122,8						35,5о			100						j71,3 В ,
																																	60