Pankratov_V_V_Uchebnoe_posobie_po_AUEP_Avtorsk

нейтрали. Падение напряжения в щеточно-коллекторном узле пренебре-

жимо мало. Влияние вихревых токов и потерь на перемагничивание (ги-

стерезис) на динамические характеристики не учитывается, что допусти-

мо для машин малой и средней мощности.

Для справки: модель ДПТНВ, учитывающую влияние вихревых токов,

можно найти, например, в [1].

2.Обмотки двигателя питаются от сетей постоянного тока бесконечной мощности (с пренебрежимо малыми внутренними активным сопротивле-

нием и индуктивностью). Пульсации питающих напряжений отсутствуют.

3.Электропривод имеет одномассовую (абсолютно жесткую) кинематиче-

скую схему с постоянным приведенным моментом инерции исполнитель-

ного органа механизма. Люфты в кинематической передаче отсутствуют.

Механические потери на трение в двигателе и передаче приведены к мо-

менту сопротивления нагрузки.

С учетом принятых допущений электромагнитные и электромеханиче-

ские процессы в ЭП описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

diя

1

u

e

R i

,

dt

L

я

я

я

я

я

d в

u

R i ,

в

dt

в в

d

1

M M с ,

J

dt

где uя , uв , iя , iв – мгновенные значения напряжений и токов цепей обмотки якоря и обмотки возбуждения двигателя; – механическая скорость (угловая частота вращения) ротора двигателя; Rя , Lя – активное сопротивление и ин-

дуктивность цепи якоря двигателя, состоящие из соответствующих параметров собственно обмотки якоря, обмотки добавочных полюсов и, если она есть, –

компенсационной обмотки (для машин большой мощности), включенных по-

следовательно; Rв, в – активное сопротивление и полное потокосцепление обмотки возбуждения; J – суммарный момент инерции ЭП, приведенный к ва-

21

лу двигателя (равен сумме момента инерции ротора двигателя и приведенного к нему момента инерции исполнительного органа механизма); eя сeФ – ЭДС вращения двигателя (ЭДС якоря); M cmФiя – электромагнитный момент, раз-

виваемый двигателем; Mс – момент сопротивления нагрузки, приведенный к валу двигателя; Ф – магнитный поток возбуждения (одного полюса), сцеплен-

ный с обмоткой якоря; ce , cm – конструктивные постоянные двигателя.

Остановимся подробнее на параметрах этой системы уравнений. В систе-

ме единиц СИ конструктивные постоянные ЭДС и момента одинаковы:

c ce cm pn N , 2 a

здесь: pn – число пар полюсов двигателя; N , a – число активных проводников и параллельных ветвей обмотки якоря.

Так как часто значение полной индуктивности цепи якоря двигателя Lя в

справочниках не приводится, для его ориентировочного нахождения можно

применять приближенную (эмпирическую) формулу Уманского – Линвилля [2]

	Lя	Uн	,
		pn Iн н

где Uн , Iн – номинальные напряжение и ток цепи якоря двигателя; н – номи-

нальная угловая частота вращения ротора двигателя; для компенсированных машин по различным первоисточникам 0,1[3] ... 0,25 [4], для некомпенсиро-

ванных (без компенсационной обмотки) – 0,5 [3] ...0,6 [3, 4].

Если не известно значение активного сопротивления цепи якоря, то для номинального теплового состояния машины его можно оценить по приближен-

ной формуле, полученной из предположения о равенстве постоянных и пере-

менных потерь в «правильно» спроектированной электрической машине [5]:

Rя Pн (1 н ) , 2н Iн2

где Pн – номинальная мощность; н – номинальное значение коэффициента полезного действия (КПД) двигателя.

22

Кроме того, при последовательном соединении всех полюсов обмотки

возбуждения

в 2 pnwв Ф(iв ) kвФ(iв ) , aв

где wв – число витков обмотки возбуждения; aв – число ее параллельных вет-

вей; 1,06...1,13 – коэффициент, учитывающий влияние потоков рассеяния

[6]; Ф(iв ) – характеристика намагничивания двигателя, качественно изобра-

женная в относительных величинах на рис. 2.1, здесь Фн , Iвн – номинальные значения магнитного потока (на один полюс) и тока возбуждения,

Iвн Uвн / Rв ,

Uвн – номинальное напряжение цепи возбуждения ДПТНВ,

причем для двигателей, рассчитанных на параллельное возбуждение (Uвн Uн )

	Iн	Pн	Iвн .
		нUн
Ф	, o.e.
Фн

iв , o.e.

Iвн

Рис. 2.1 – Характеристика намагничивания ДПТНВ

Подставляя описанные величины в уравнения двигателя, запишем их в

виде

23

diя

1

u

cФ R i

,

dt

L

я

я

я

я

dФ

k

1 u

R i ,

(2.1)

в

dt

в

в в

d

1

cФiя M с ,

dt

J

что позволяет с учетом зависимости Ф(iв ) построить структурную схему ДПТНВ как объекта управления (ОУ), приведенную на рис. 2.2, где ОХН – об-

ратная характеристика намагничивания iв (Ф) .

Rя

Mс

(-)													(-)
uя				1			iя			c	M					1
					L												J
(-)					я

eя c

uв					1				Ф
(-)						kв			ОХН

iв

Rв

Рис. 2.2 – Структурная схема ДПТНВ

	Mс
uя
	ДПТ	M iя
uв	НВ

Рис. 2.3 – ДПТНВ как двухканальный объект управления

24

Таким образом, ДПТНВ представляет собой двухканальный ОУ, имею-

щий два управляющих воздействия – uя , uв , одно возмущающее воздействие –

Mс и две динамически взаимосвязанные выходные координаты – скорость и

электромагнитный момент M (или безынерционно связанный с моментом ток якоря iя ), см. рис. 2.3. Оба управляющих воздействия по-своему влияют на каждый из выходов объекта, однако следует отметить, что напряжение обмотки возбуждения, в конечном итоге определяющее магнитное состояние электриче-

ской машины ( Ф ), отвечает за условия протекания электромеханического пре-

образования энергии в двигателе, в частности, его КПД.

2.2. Линеаризация уравнений ДПТНВ

Система уравнений (2.1), описывающая свойства ДПТНВ как объекта управления при изменяющемся магнитном потоке, является существенно нели-

нейной. Согласно структурной схеме, изображенной на рис. 2.2, модель двига-

теля содержит два нелинейных звена типа «перемножение» и одну неаналити-

ческую нелинейность типа «обратная характеристика намагничивания». Для того чтобы решать задачи анализа и синтеза систем автоматического управле-

ния (САУ) такими объектами, в классической теории автоматического регули-

рования применяют линеаризацию модели объекта по Тейлору, переходя к рас-

смотрению малых отклонений его координат от некоторых равновесных значе-

ний, соответствующих т.н. точке линеаризации.

В окрестности любого интересующего нас установившегося режима ра-

боты двигателя все переменные, входящие в (2.1), можно представить как сум-

му их статических значений в точке линеаризации и отклонений от них, кото-

рые будем выделять индексом «0» и символом « » соответственно, например,

Ф Ф0 Ф . Подставляя представленные таким образом величины в уравне-

ния (2.1), запишем их в виде

25

d iя

1

(u

u

) c (Ф

Ф)(

) R (i

i

) ,

dt

L

я0

я

0

0

я

я0

я

я

d Ф

k

1 (u

u

) R (i

i ) ,

(2.2)

в0

dt

в

в

в

в0

в

d

1

c(Ф0

Ф) (iя0 iя ) (Mс0 Mс ) ,

dt

J

где уже учтен тот факт, что значения переменных в точке линеаризации посто-

янны, и их производные по времени равны нулю.

Вместе с тем, для равновесного состояния справедлива система уравнений

0	1	u				cФ		R i			,
				я0						я0
	Lя							0 0	я
					1 u				,
	0 k							R i			(2.3)
							в0
					в			в в0
	0		1		cФ0 iя0 M с0 ,
			J

причем Ф0 Ф(iв0) согласно характеристике намагничивания.

Почленно вычитая уравнения (2.3) из соответствующих уравнений (2.2) и пре-

небрегая произведениями любых двух малых приращений как величинами еще более высокого порядка малости, получим модель ДПТНВ в отклонениях

d iя

1

u

c (Ф

Ф ) R i

,

dt

L

я

0

0

я

я

я

d Ф

k 1 u R i ,

dt

в

в в в

d

1

c (Ф0 iя Фiя0 ) Mс .

J

dt

Для завершения линеаризации модели ДПТНВ необходимо линейно увя-

зать приращения тока возбуждения и магнитного потока:

					Ф kн iв ,
	где	kн	dФ		Ф Ф0 – коэффициент наклона касательной к характеристике
			diв
					iв iв0

намагничивания в точке линеаризации.

В результате линеаризованная модель ДПТНВ принимает вид

26

d iя

1

u

c (Ф

k

i ) R i

,

dt

L

я

0

н

в

0

я

я

я

d iв

1

u

R i

,

(2.4)

dt

Lв

в

в в

d

1

c (Ф0 iя

kн iвiя0) Mс ,

dt

J

где Lв kнkв – дифференциальная индуктивность обмотки возбуждения.

Система уравнений (2.4) линейна и поэтому вполне пригодна для перехо-

да к классическим операторным методам анализа. В частности, в символиче-

ской форме Хевисайда или в изображениях по Лапласу она записывается как

p i

( p)

1

u

( p) c (Ф

( p) k

i

( p) ) R i

( p) ,

я

я

0

н

я

Lя

в

0

я

p i

( p)

1

u

( p) R i

( p) ,

(2.5)

в

в

Lв

в в

1

p( p)

c (Ф0 iя ( p) kн iв ( p)iя0 ) Mс ( p) ,

J

где p – оператор дифференцирования (Хевисайда) или оператор Лапласа.

Структурная схема линеаризованной модели ДПТНВ, построенная по

уравнениям (2.5), изображена на рис. 2.4. Здесь Tя Lя Rя

– электромагнитная

постоянная времени цепи якоря двигателя,

обычно Tя (0,02...0,1) с., причем

бóльшие значения она принимает для некомпенсированных и тихоходных дви-

гателей; Tв Lв Rв – постоянная времени обмотки возбуждения, зависящая от режима работы двигателя (от точки линеаризации), для двигателей с номиналь-

ной мощностью от 1 до 1000 кВт на линейном участке кривой намагничивания

Tв (0,2...5) с и быстро нарастает с увеличением Pн [2].

27

Mс ( p)

uя ( p)

iя ( p)

M ( p)

(-)

( p)

1 Rя

cФ0

1

(-)

Tя p 1

Jp

ciя0

eя ( p)

cФ0

uв ( p)

1 Rв

iв ( p)

k

c 0

Tв p 1

н

Ф( p)

Рис. 2.4 – Структурная схема линеаризованной модели ДПТНВ

Операторные уравнения линеаризованного ДПТНВ в координатах «вход

– выход» при нулевых начальных условиях по отклонениям координат и их производным имеют вид

( p) W u ( p) uя ( p) W M ( p) Mс ( p) W в ( p) uв ( p) ,	(2.6)
iя ( p) Wiu ( p) uя ( p) WiM ( p) Mс ( p) Wi в ( p) uв ( p) ,	(2.7)

причем передаточные функции по управляющим и возмущающему воздействи-

ям определяются следующими выражениями:

W

( p) W ( p)

1

1

,

W

( p)

Rя

Tя p 1

,

u

iM

cФ0

D( p)

M

(cФ0 )2

D( p)

Wiu ( p)

J

p

,

(2.8)

(cФ0 )2

D( p)

k

н

(T p 1) R i

я0

1 R

1

W

( p)

я

я

в

,

в

Ф

0

cФ

0

0

T p 1 D( p)

в

k

н

J

1

R

1

W

( p)

0

p i

в

,

T p

i в

Ф

0

cФ

0

я0

1 D( p)

в

28

где D( p) TяTм p	2	Tм p 1	–	характеристический полином; Tм	JRя	–
					(cФ0 )2

электромеханическая постоянная времени линеаризованной модели ДПТНВ.

2.3. Механическая и электромеханическая характеристики,

способы регулирования скорости ДПТНВ

Аналитические выражения для электромеханических (скоростных) харак-

теристик ДПТНВ (Iя ) и механических характеристик (M ) непосредственно вытекают из первого уравнения системы (2.3), описывающей установившиеся режимы работы двигателя. Для их записи в общепринятой форме опустим ин-

дексы «0» в обозначении статических значений переменных и введем обозна-

чения Uя , Iя для установившихся напряжения и тока якоря.

Электромеханическая характеристика описывается выражением

	Uя		Rя Iя	,	(2.9)
	cФ		cФ

а механическая (с учетом равенства M c Ф Iя ) –

	Uя		RяM	.	(2.10)
	cФ		(cФ)2

Обе статические характеристики представляют собой прямые линии в плоско-

сти ( Iя , ) или ( M , ), и изображены на рис. 2.5.

Первые слагаемые в (2.9) и (2.10) представляют собой скорость идеально-

го холостого хода ДПТНВ при текущих напряжении якоря и магнитном потоке возбуждения (традиционно обозначается нижним индексом «0», что отражает равенство нулю суммарного момента сопротивления нагрузки и момента тре-

ния в двигателе):

0 UcФя ,

а вторые (с обратным знаком) – статический перепад (просадку) скорости под нагрузкой:

29

Rя Iя RяM . cФ (cФ)2

Внимание! Обращаем внимание читателя на тот факт, что эти классиче-

ские величины не имеют прямого отношения к 0 и из раздела 2.2, где та-

ким образом обозначались значение скорости в точке линеаризации модели ДПТНВ при изменяющемся магнитном потоке и ее отклонение.

	0
0	Iс	Iя (M )

Рис. 2.5 – Электромеханическая (механическая) характеристика ДПТНВ,

где Iс Mс – статический ток якоря cФ

Отношение момента сопротивления нагрузки к соответствующему ему статическому перепаду скорости называется жесткостью механической ха-

рактеристики:

M (cФ)2 .Rя

Эта величина обратно пропорциональна коэффициенту наклона механической характеристики (2.10), взятому с обратным знаком.

Примечание. В силу линейности (2.10) для ДПТНВ величина не зависит от

M и постоянна при неизменном магнитном потоке Ф . Для других типов электрических машин (кроме синхронных) жесткость механической характе-

ристики варьируется в зависимости от рабочей точки ЭП и определяется как

30