4.2. Динамические модели пип

Для анализа возможных характеристик различных преобразователей, в том числе ПИП, широко используется математическое моделирование, которое бывает статическим и динамическим. Статическое моделирование основано на использовании статических передаточных функций. Одним из способов оценки динамических характеристик является способ, при котором преобразователь (ПИП, датчик) разбивается на отдельные элементы и каждый элемент рассматривается отдельно, а затем математические описания отдельных элементов объединяются в единую модель. В составе динамических моделей обязательно должна входить независимая переменная–время.

Рассмотрим некоторые элементы динамических моделей [20].

4.2.1. Механические элементы

Динамический механический элемент можно представить в виде массы (инерционного компонента), соединенной с пружиной и демпфирующим (успокаивающим) устройством. На рис. 4.3а и 4.4а показаны два возможных варианта механических моделей датчиков силы, давления, ускорения и т. п., в которых масса mудерживается пружиной с коэффициентом жесткостиk. Движение этой массы демпфируется устройством успокоения с коэффициентом затухания (успокоения)b.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Для модели, показанной на рис. 4.3а, во время движения на устройство действует ускорение а=d²x/dt², а выходной сигнал пропорционален отклонению массы на расстояниеY. Исходя из второго закона Ньютона получим

, (4.8)

с учетом ускорения свободного падения уравнение движения будет иметь вид

, (4.9)

где х– смещение подвижной части;g– ускорение свободного падения.

Для модели, представленной на рис. 4.4а, при воздействии на систему силы Fскорость движенияvмассыm по отношению к земле может быть определена из равенства

. (4.10)

Так как v = dx/dt, получим уравнение движения подвижной части механической системы

. (4.11)

Уравнения (4.9) и (4.11) являются дифференциальными уравнениями второго порядка и эквивалентны уравнению (4.7). Для устранения нежелательных колебаний на выходе подобных датчиков регулировкой коэффициента затухания kдобиваются состояния критического затухания.

4.2.2. Тепловые элементы

К тепловым элементам относятся: тепловые ПИП, нагревательные элементы, радиаторы поглотители тепла и др. В общем случае измерительные преобразователи, в том числе и датчики, являются составной частью различных устройств. При анализе характеристик ИП необходимо учитывать процессы теплообмена между преобразователем и окружающими элементами, устройствами, средой. Тепло передается тремя способами: через теплопроводность, конвекцию, тепловое излучение. В модели с сосредоточенными параметрами температуру объекта можно определить из уравнения теплового баланса, которое, исходя из первого закона термодинамики, можно записать в виде [20]

, (4.12)

где С = m^.c– теплоемкость тела, Дж/К;m– масса тела, кг; с – удельная теплоемкость материала тела, Дж/(кг^.К); ΔQ– интенсивность теплового потока, Вт.

Принимая интенсивность теплового потока, проходящего через тело, линейной можно записать

, (4.13)

где Т₁–Т₂– градиент температуры на элементе;R – тепловое сопротивление, К/Вт.

Р

а б

Рис. 4.5

ассмотрим поведение теплового элемента на примере ртутного термометра (рис. 4.5а). Выходным сигналом термометра является изменение длиныh_ртстолбика ртути 2, а входным сигналом – измеряемая температура окружающей среды Т_СР. В таком термометре можно считать, что изменение длины столбика ртути прямо пропорционально изменению температуры ртути Т_ртв резервуаре 1, т. е. за выходную величину можно принять температуру Т_рт.

Теплообмен между ртутью в резервуаре и окружающей средой происходит через стенку (обычно стеклянную) с тепловым сопротивлением R. Для данного элемента из уравнений (4.12) и (4.13) получим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:

. (4.14)

Выходная реакция теплового преобразователя на ступенчатое внешнее воздействие характеризуется тепловой постоянной времени, равной произведению теплоемкости на тепловое сопротивление: τ=RC. Уравнение (4.14) является типичным для тепловых датчиков.