МЭИ(ТУ) Физика

1. m1 = m2

u1 = v2 и u2 = v1 – обмен скоростями.

(a) v2 = 0; m2 >> m1: u2 ≈ 0, u1 ≈ -v1.

2.Удар тела массой m1 о неподвижную плиту массой m2 (m2 >> m1, v2 = 0)

После удара u2 ≈ 0; u1 ≈ –v1.

ГЛАВА IV. КОЛЕБАНИЯ

§ 1. Свободные затухающие колебания

I. Вывод дифференциального уравнения

Колебания можно подразделить на механические и электромагнитные.

Механические колебания

Пружинный маятник

k

m

		x
O			x

Силы

3.Сила упругости Fупр = −kx .

4. Сила сопротивления Fсопр = −rv ,

где r – коэффициент сопротивления.

Уравнение динамики

max = Fупр + Fсопр ;

	m	d 2 x			= −kx − r				dx	;
		dt		2					dt
	d 2 x		+		r dx		+	kx	= 0 .
	dt 2				m dt			m

mk =ω02 – собственная частота колеба-

ний в системе без затухания;

mr = 2β – коэффициент затухания.

x ′′+2βx ′+ω02 x = 0 .

Электромагнитные колебания

Электромагнитный контур

1 2 C

R

L

Запишем обобщённый закон Ома для участка цепи 1–R–L–C–2:

IR = (ϕ1 −ϕ2 )−E ,

E = E самоинд = −L dIdt ;

ϕ1 −ϕ2 = qCC ;

I = − dqdtC

Знак «–» объясняется тем, что ток в цепи возникает за счёт убыли заряда на конденсаторе.

−

dq

C

R =

q

C

+ L

d 2 q

C

,

C

dt 2

dt

d 2 q

+

R dq

+

q

= 0 ;

dt 2

L

dt

LC

1

= ω02 ,

R

= 2β .

LC

L

q′′ +2βq′ +ω02 q = 0 .

II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = 0

– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать решение этого уравнения в следующем виде:

x = eλt , тогда x′ = λ eλt , x′′ = λ2 eλt . eλt (λ2 + 2βλ +ω02 )= 0 ;

eλt ≠ 0 → λ2 + 2βλ +ω02 = 0

– характеристическое уравнение. Его корни:

λ1,2 = −β ± β 2 −ω02 .

Рассмотрим 4 случая: β = 0, β < ω0, β > ω0, β = ω0.

1)0 ≤ β < ω0

Всистеме имеется слабое затухание (малые потери энергии).

Пусть ω02 − β 2 = ω12 , здесь ω1 – собственная частота колебаний в системе с затуха-

нием. Тогда

			λ1,2	= −β ± iω1 ,
где i = −1 – мнимая единица;
x = eλt ,								.
			x = e−βt (a1eiω1t + a2e−iω1t )
Известно, что
eiϕ + e−iϕ					eiϕ − e−iϕ	= sinϕ .
2			= cosϕ ,		2i
Отсюда
							.
		x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 )
а) β = 0
Потери отсутствуют.
x = A cos(ω0t +ϕ0 ), при β = 0 ω1 → ω0 .
Гармонические колебания
x				А – амплитуда.
T0

A

t

ϕ = (ω0t +ϕ0 ) – фаза (определённое состояние системы в данный времени, φ0 – началь-

ная фаза (зависит от выбора начала отсчёта времени).

φ		Собственная частота колебаний
φ0		ω0	= 2π ,
			T0
		Т0 – период колебаний.
		t
б) 0 ≤ β < ω0
Малые потери энергии
	x = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ),
A e−βt – амплитуда затухающих колебаний.
Амплитуда			cos(ω1t + φ0)
A	A e-βt
0	t	0	t
x

A1(0)

A1(τ) = A(0)/e

	t
τ
Здесь A = A e−βτ	– амплитуда затухающих колебаний, ω				1	=	ω2	− β 2	– собствен-
1							0
ная частота затухающих колебаний, T =		2π =	2π	, T1 > T0; τ – время релаксации
	1	ω1	ω02 − β 2

(затухания) – время, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.

A1e(0) = A1 (τ ), A1 = A e−βτ = A e−1 → βτ = 1;

τ = β1 .

N – число колебаний, по истечении которых амплитуда спадает в е раз,

	N =	τ	=	1		.
		T		β T
		1		1

Логарифмический декремент затухания

A (t)

A e−βt

β T

1

θ = ln

1

= ln

= ln(e

1

)= β T1 ,

θ = β T1

=

.

A1

(t + T1 )

A e

−β (t+T1 )

N

Добротность контура

Q = π N .

При малых β:

Q = 2π ∆WW ,

здесь W – запас энергии в контуре, ∆W – потери энергии за одно колебание. 2) β > ω0

Сильное затухание в системе

λ1 = −(β +		β 2 −ω02 )= −κ1 < 0 ,
λ2 = −(β −		β 2 −ω02 )= −κ2 < 0 ,
	x = a1 e−κ1t + a2 e−κ2t		.
x			x

0 t 0 t

Апериодический процесс – колебаний нет. 3) β12 = ω0, λ1,2 = –β

x= (a1 + a2t) e−βt

–апериодическое решение, колебаний нет.

§ 2. Вынужденные колебания

I. Вывод дифференциального уравнения

Механическая система

k	m	Ω
		x

Силы:

Fупр = −kx ,

Fсопр = −rv ,

Fвынуждающая = F0 cos(Ωt).

m d 2 x = −kx − r dx + F			cos(Ωt);
dt2	dt	0

x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt).

2β = mr , ω02 = mk , f0 = Fm2 .

Электромагнитная система

1+ –2

C

R

L

Закон Ома:

IR = (ϕ1 −ϕ2 )− L dIdt +ε0 cos(Ωt), I = − dqdtC ,

ϕ1 −ϕ2 = qCC ;

d 2 q	+ 2β dq			+ω02 q = f0 cos(Ωt);
dt 2			dt
2β	=	R	, ω02	=	1	, f0	= −	ε0	.
		L			LC
								L

q′′ + 2βq′ +ω 02q = f0 cos(Ωt).

II. Решение дифференциального уравнения x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt)

– неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение этого уравнения можно представить в виде x = x1 + x2 ,

где х1 – общее решение однородного уравнения, х2 – частное решение неоднородного уравнения.

При β < ω0:

x1 = A e−βt cos(ω1t +ϕ0 ),

x

t

Графическое решение

x

τ

x2 = A cos(Ωt +ϕ0 ).

x

2π t

Ω

стационарный режим

A

t

τ– время установления колебаний

Втечение времени τ происходит затухание общего решения и остаётся только ча-

стное решение. В результате частота вынужденных колебаний будет равна частоте вынуждающей силы.

Рассмотрим частное решение:

x2 = A cos(Ωt +α0 );

x′′+ 2βx′+ω02 x = f0 cos(Ωt),	(1)
x2′ = −AΩ sin(Ωt +α0 ),	(2)
x2′′ = −AΩ2 cos(Ωt +α0 ).	(3)

Ищем решение при β < ω0. Из (1), (2) и (3):

− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= f0 cos(Ωt +α0 −α0 )

(прибавили и отняли α0 в аргументе косинуса в правой части уравнения). Из тригонометрии имеем:

− AΩ2 cos(Ωt +α0 )− 2βAΩ sin(Ωt +α0 )+ω02 A cos(Ωt +α0 )= = f0 cos(Ωt +α0 ) cos(α0 )+ f0 sin(Ωt +α0 ) sin(α0 ).

Всегда можно найти такие моменты времени, когда либо cost = 0 , либо sint = 0 :
− 2βΩA = f0 sin(α0 ), cost = 0;	(4)
	(5)
− AΩ2 +ω02 A = f0 cos(α0 ), sin t = 0.

Разделим верхнее уравнение системы на нижнее:

tgα0 = − 2βΩ .

ω02 − Ω2

α0	Колебания отстают по фазе от вынуждающей силы
ω0	Ω на α0.

0

–π/2

–π

Возведём в квадрат уравнения (4) и (5) и сложим их:

4β 2Ω2 A2 + A2 (ω02 − Ω2 )2 = f02 (cos2 (α0 )+ sin2 (α0 ))= f02 ;

A =	f0	,
	4β 2Ω2 + (ω02 − Ω2 )2

где A – амплитуда гармонических колебаний.

Если

здесь Ωрез

		f	0
Ω = 0	A =
			2	где-то должен быть максимум.
	, то	ω0
Ω → ∞
	A → 0

ddΩ [(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 ]= 0 ; 2(ω02 − Ω2 ) (− 2Ω)+ 4β 2 2Ω = 0 ;

Ω = 0Ω2рез = ω02 − 2β 2 ,

– резонансная частота.

Ωрез

ω

1

ω

0

ω

контур без затухания

ω02 − 2β 2

ω02 − β 2

.

При

Ωрезон. =

ω02 − 2β 2

A =

f0

=

f0

2

β ω02 − β 2

2βω1

A

Резонансная кривая

f0

А

β2 > β1

2βω1

β1

f0

ω02 β2

Ωрез ω1 ω0

Ω

Электрический колебательный контур

C

L

~

R

Резонанс

Резонанс напряжения

Резонанс тока

q′′+ 2βq′+ω02 q = ε0 cos(Ωt);

I = q′ =

d

[A cos(Ωt

+α0 )]=

U =

q

, l0 = −

ε0

;

dt

= −AΩ sin(Ωt +α0 );

L

C

l0

l0Ω

q =

(ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 .

I = (ω02 − Ω2 )2 + 4β 2Ω2 .

Ωрез = ω0

.

2

− 2β

2

Ωрез =

ω0

.