МЭИ(ТУ) Физика

ГЛАВА II. ДИНАМИКА

§ 1. Динамика материальной точки

Законы Ньютона

I закон Ньютона

Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерно прямолинейно движется до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не вынудит его изменить это состояние. Отсюда следуют два утверждения:

1)Все тела обладают свойством инертности (т. е. сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения).

2)В природе существует хотя бы одна инерциальная система отсчёта (ИСО), в которой тело в отсутствие взаимодействия покоится или движется равномерно прямолинейно.

IIзакон Ньютона

Сила – это количественная мера взаимодействия данного тела с другими предметами. Из опыта следует, что:

1)Ускорение a прямо пропорционально силе F (a ~ F).

2)Ускорение a обратно пропорционально массе m ( a ~ m1 ), m – мера инертности

тела.

Из 1) и 2) следует, что a = k mF , k зависит от выбора системы единиц и k = 1.

F

,

.

a =

ma = ∑Fi

m

i

d

2

x

= ∑Fix ,

m

2

dt

i

d 2 r

; m

d 2 r

∑Fi

d

2 y

= ∑Fiy ,

a =

2

2

=

→

m

dt

dt

dt

2

i

i

d

2 z

= ∑Fiz .

m

2

dt

i

ПРИМЕР

Пружинный маятник, трения нет.

k

Ось х: Fx = −kx , m

d 2 x

= −kx , x ′′+

k

x = 0 .

dt

2

m

m

x

= A cos(ω0t +ϕ0 ), x ′ = −Aω0 sin(ω0t +ϕ0 ),

O

x

k

k

x ′′ = −ω02 A cos(ω0t +ϕ0 ) → x ′′ = −ω02 x == −

x → ω02

=

.

m

m

При ω02 =

k

уравнение, описывающее колебания тела массой m на пружине примет

m

x

k

следующий вид:

x =

.

A cos

m

t +ϕ0

A

O

t

Импульс тела

ma = ∑F

d(mv)

= ∑F

– второй закон Ньютона в дифференциальной форме.

a = dv

dt

dt

Скорость изменения импульса тела пропорциональна силе, действующей на тело. d(mv)= ∑Fdt , здесь mv – импульс тела, Fdt – импульс силы.

Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело.

III закон Ньютона

Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Эти силы не уравновешивают друг друга, т. к. они приложены

к разным телам.

Fki	Fik = −Fki .
	Fik

§ 2. Динамика системы материальных точек

Система материальных точек – это совокупность тел, движением которых мы интересуемся в данной задаче. (В частности, любое твёрдое тело можно представить как систему материальных точек.)

Пусть имеется система, состоящая из N тел.

	m1	f21	m2	mi – масса i-го тела системы;
	f13			fik – внутренние силы, действующие между телами системы;
	m3		F21	Fi – внешние силы, действующие на систему;
			I

m = ∑mi – масса системы.

II

Для описания системы запишем уравнение динамики для каждого тела в отдельно-

сти:

d

(m v )= f

+ f

+... + f + F ,

dt

1

1

12

13

1N

1

d

(m

v

)

= f

+ f

+

... + f

+ F ,

2

21

23

2 N

dt

2

2

...,

d

(m

v

)= f

+ f

+... + f

N (N −1)

+ F .

N

N

N 1

N 3

N

dt

Сложим левые и правые части уравнений:

d

∑mi vi

= ∑∑fij +

∑Fi ;

dt

i

j

i

i

∑fij = 0 , т. к. fij = −f ji .

j

сумма внутренних сил

d

(m1v1 + m2 v2 +... + mN vN )=

∑Fi

– закон изменения импульса системы.

dt

i

Импульс системы: pсист

= m1v1 + m2 v2 +... + mN vN .

dpсист

= ∑Fiвнеш

– скорость изменения импульса системы определяется только

dt

суммой внешних сил, действующих на систему.

Если система замкнута, то ∑Fi = 0 и pсист = const .

Центр масс системы тел

z m1

m3 r1

r3

r2 m2

x

x ц. м.

		rц.м. =		∑(mi ri )							∑mi = mс – масса
				i		– центр масс системы,
				∑mi
											i
				i
		системы.
y		Координаты центра масс системы тел:
=	∑(mi x i )			, yц. м. =	∑(mi yi )			, zц. м. =	∑(mi zi )
	i					i			i		.
		mc				mc			mc

Скорость центра масс системы тел:

d(rц. м. )

∑mi

dri

dt

vц. м. =

=

d

∑mi ri

=

.

dt

dt

m

c

m

c

	Принимая во внимание, что	dri	= vi , а ∑mi vi = pсист , получим			vц. м. =	pсист	. Отсюда
		dt
							mc
	импульс системы
				pсист = mc vц. м.	.

Следовательно, импульс системы тел можно найти двумя способами: 1) по определению ( pсист = m1v1 + m2 v2 +... + mN vN ), 2) через скорость центра масс системы

( pсист = mc vц. м. ).

Закон движения центра масс системы тел

Запишем закон изменения импульса системы:

dpсист = ∑Fiвнеш .

dt

Принимая во внимание, что pсист = mc vц. м. , запишем

	d	(mc vц. м. )= ∑Fiвнеш			.
				mcaц. м. = ∑Fiвнеш
	dt

Центр масс системы тел движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системе, под действием силы, равной сумме сил, действующих на систему.

	F1				F1
	m1			ц. м.
	m3			mс	F2
F3	m2
		F2		F3

§ 3. Динамика твёрдого тела

Сложное движение твёрдого тела можно разделить на плоское движение и другие виды движения.

Плоским движением тела называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в параллельных плоскостях. Плоское движение в свою очередь можно представить как сумму двух движений: поступательного и вращательного (относительно центра масс). Такое разбиение не единственное.

Поступательным называется такое движение, при котором прямая, соединяющая две точки тела, не меняет своей ориентации в процессе движения.

Разделим динамику твёрдого тела на динамику поступательного и динамику вращательного движения.

I. Динамика поступательного движения

Представим твёрдое тело как систему материальных точек ( mc = ∑∆mi ). Тогда

центр масс тела будет двигаться как центр масс системы материальных точек.

mтелаaц. м. = ∑Fiвнеш .

mс

∆mi

При поступательном движении все точки тела движутся, как центр масс.

Все силы, приложенные к твёрдому телу при поступательном движении, можно приложить в точку центра масс.

F2	F2
	ц. м.
F1	F1
	F3

F3

II. Динамика вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси

Всё сказанное ниже будет также справедливо и для ускоренно движущейся оси, проходящей через центр масс.

						Момент силы (M)
						Момент силы		.
							M = Fh
α				F
		h				h – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до
			·			линии действия силы).
	ось
						Момент силы – мера взаимодействия тел во вращательном
						движении.

		F				h = rsinα = rsin(rF),
r		α					M = Frsin(rF)			.
h	α				Векторная форма записи момента сил:
								M = [rF]	;
						M = rF sin(rF)= Fh .
					M					M	F
					M
					r	F					r
						r
Можно доказать,					ось вращения					ось вращения
				что ∑Mвнутр = 0 .
	Основное уравнение динамики вращательного движения
					а)	Движение					материальной
		z (ось вращения) точки				по				τ F окружности
			F
								Ось r		α
		r			Вид сверху →

O

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось τ:

maτ = F sinα		mrε = F sinα ;
aτ = εr

умножим на r левую и правую части уравнения:

mr2ε = rF sin(rF).

инертность ускорение

M –

характеристика

взаимодействия

во вращательном движении

во вращательном движении

mr 2 = IOz

– момент инерции материальной точки относительно оси Oz.

IOzε = M

– основное уравнение динамики вращательного движения материальной

точки.

Сравним: ma = F ; I – m, ε – a, M – F.

б) Движение твёрдого тела, закреплённого на оси вращения

z

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг оси

Oz. Пусть на него действуют внешние силы Fi. Разобьём тело на n

ri

Fi

малых элементов массой δmi. На каждую элементарную массу δmi

могут действовать как внутренние силы fij, так и внешние силы Fi.

δmi

Так же, как и в предыдущем случае, для каждой элементарной мас-

O

сы ∆mi запишем II закон Ньютона в проекции на касательную ось τ:

δmi aiτ

= fi1 sin(αi1 )+ fi2 sin(αi2 )+... + Fi sin(αi ).

Домножив это уравнение слева и справа на ri, и учитывая то, что aiτ = εri

, запишем сис-

тему уравнений:

2

ε = f12 r1 sin(α12 )+ f13 r1 sin(α13 )+... + F1 r1 sin(α1 ),

δm1

r1

δm

r

2

ε = f

r

sin(α

)+

f

r

sin(α

)+... + F

r

sin

(α

),

2

2

21

2

21

23

2

23

2

2

2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..

δm

n

r2

ε = f

n1

r

sin(α

n1

)+

f

n2

r

sin

(α

n2

)+... + F

n

r sin(α

n

).

n

n

n

n

Сложив уравнения этой системы, получим

n

n

n

sin(αij

)+

n

∑δmi ri2 ε = ∑∑ fij ri

∑Fi ri sin(αi ).

i=1

i=1 j=1

i=1

Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой сумму моментов внутренних сил, которая (в силу III закона Ньютона) равна нулю, что легко доказать. Вторая сумма – сумма моментов внешних сил, действующих на это тело:

n

∑Fi ri sin(αi )= ∑M iвнеш . i=1

n

Обозначим через I следующую сумму: I = ∑δmi ri2 , которую назовём моментом

i=1

инерции твёрдого тела относительно оси вращения Oz. Тогда полученное уравнение можно записать в следующем виде:

i=1

Здесь ri – расстояние от элементарной массы Если устремить ∆mi к нулю, то получим

Скорость изменения момента импульса твёрдого тела пропорциональна моменту внешних сил, действующих на это тело.

III. Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения

Момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении (аналог массы в поступательном движении). Он зависит как от массы тела, так и от её распределения по объёму тела. Кроме того момент инерции зависит от выбора оси вращения.

Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции его частей. В частности, если тело разбить на элементарные массы ∆mi, то по определению

z IOz = ∑n ∆mi ri2 .

n

IOz ε = ∑MiOz i=1

– основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси Oz.

Так как ε = ddtω , уравнение можно записать в следующим виде:

IOz ddtω = ∑Mi .

Для твёрдого тела I = const, поэтому момент инерции можно внести под знак производной:

dtd (JOz ω)= ∑Mi .

Это уравнение в общем случае справедливо и для ситуации, когда I не остаётся постоянной величиной.

Если ввести понятие момента импульса твёрдого тела относительно оси Oz:

LOz = I oz ω,

то основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела можно записать в следующей форме:

dLdtOz = ∑MiOzвнеш .

∆mi до оси вращения.

ri

∆mi

O

I = ∫r2 dm .

V

Так как dm = ρ dV , где ρ – плотность вещества, а dV – элементарный объём, то имеем:

I = ∫ρr2 dV .

V

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ

1. Момент инерции тонкого кольца и тонкостенного цилиндра z Разобьём кольцо на элементы ∆mi, тогда

		I = ∑(∆mi R 2 )= R 2 (∑∆mi )= mR 2 ;
R	∆mi
		I кольца = mR	2	.

O

R

O

щества ρ

		2. Момент инерции диска и сплошного однородного цилинд-
	z	ра
	rj	Разобьём диск на тонкие кольца толщиной ∆rj, момент инер-
							n
	∆rj	h ции		которых		равен ∆Ij. Тогда I диска	= ∑∆I j .		Так как
							j=1
		∆I	j кольца		= ∆m	r2 , то выразим массу ∆mi	через плотность ве-
						j j
	и объём кольца ∆Vj:			∆m j = ρ∆V j . Плотность цилиндра			ρ =	m	, а объём
								πR 2 h

∆V

= 2πr

∆r

h .

Тогда

∆m

=

m

2πr ∆r

h =

2mrj ∆rj

.

В

результате

πR 2 h

R 2

j

j

j

j

j j

2mr3 ∆r

j

n

∆I j = ∆m j rj2 =

j

. Так как I диска

= ∑∆I j

, то при ∆rj → 0 получим

R

2

j=1

R 2m

3

2m

r4

R

mR 2

I диска =

r

dr

=

=

.

∫ R 2

R 2

4

2

0

0

I диска

=

mR 2

.

2

цилиндра

3. Момент инерции тонкого стержня

а) Относительно оси, проходящей через центр масс

z

∆xj

Разобьём стержень на элементы массой ∆mj. Если ширина

элемента

равна ∆xj , то

∆m j = m

∆x j , где l

– длина

xj

x

O

m

l

стержня. Тогда ∆I j = ∆m j x 2j

=

x 2j ∆x j

и полный момент инерции I = ∑∆I j

или, при

l

∆x j → 0 ,

I ц. м. = 2l / 2

m x

2 dx = 2 m

x 3

l / 2

= ml 2 .

∫

l

l

3

12

0

0

Таким образом, момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр масс,

	I стержня =	ml 2	.
		12
	ц. м.

б) Относительно оси, проходящей через конец стержня

z

∆x

I = ∫l

m

x 2 dx =

m

x 3

O

x

x

0 l

l

3

I стержня =

ml

2

.

3

отн. конца

l		ml	2
	=			.
0		3

4. Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр масс

z		I шара	=	2 mR 2	(без вывода).
				5
	R

O

				5. Момент инерции бруска относительно оси, проходящей че-
z				рез центр масс
			h
	b			I = m(a	2	+ b	2	)	.
				12
a

OЕсли a = b = h, то

I куба = ma2 .

6