МЭИ(ТУ) Физика

L x = 0,
L y = 0,	L || ω.
L z = 2m(x 2 + y2 )ωz ;

Если рассматривать любое тело, вращающееся относительно оси симметрии, то тензор инерции принимает диагональный вид:

	I xx	0	0
I =	0	I yy	0	,
	0	0	I zz

а вектор момента импульса сонаправлен с вектором угловой скорости, L || ω.

Тело любой формы имеет три взаимно перпендикулярных оси, для которых тензор инерции имеет симметричный (диагональный) вид. Если начало отсчёта совместить с центром масс тела, то эти оси называются главны-

z ми осями.

		c		1	m(b2	+ c2 )
			12
	a	y I =			0
					0
b

x

0

121 m(a2 + c2 ) 0

0

0 . 121 m(a2 + b2 )

§ 4. Закон сохранения механической энергии

Энергия – количественная мера движения материи, единая для всех форм этого движения.

I. Работа (А)

Работа – мера перехода энергии из одного вида в другой или мера передачи энергии от одного тела к другому.

1

F ∆A = (F ∆r)= F ∆r cos(F∆r).

∆r

2

2

A = ∫Fdr

.

r1

1

r2

Работа при прямолинейном движении

F

2

Fx

A = ∫Fx dx .

1

2

x

1

O

1

2 x

Работа при вращательном движении

Если ∆α → 0, то ∆r r;

(r, F)

∆A = F ∆r

, где ∆r – смещение точки приложения силы F.

r

∆r

F

∆r = r ∆α , cos(F,r)= sin(F,r) ∆α . Отсюда

∆A = (F,r)= F ∆r cos(F,r)= Fr sin(F,r) ∆α =

∆α

r'

= {Frsin(F,r)= M }= M ∆α .

,

A = ∫2 (M dα)

.

∆A = (M ∆α)

1

II. Кинетическая энергия

1. Поступательное движение тела

	F			Уравнение динамики:
		v1	v2			dv
m		m		m dt = F					×dr ,
		dr		m		dv dr		= F dr ,
r1		r2
						dt

mv dv = (F dr);

dv2 = dv2 = 2v dv, v dv = d2v2 .

Отсюда получим

	mv	2		= (F dr).
d	2

Правая часть этого уравнения есть работа, т. е. мера перехода (передачи) энергии, поэтому можно предположить, что левая часть данного уравнения – приращение энергии.

					mvкон2		mvнач2	2
		mv2
	W к =		,			−		= ∫F dr	.
		2			2		2
								1

Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу. dWк =δA .

2. Кинетическая энергия системы тел

m2

mi (dri)

Запишем уравнение динамики для каждого тела:

mi

dvi

= ∑fik + Fi

×dri ,

внутр

fi

dt

Fвнеш

mi

dvi dri = ∑(fik dri )+ (Fi dri ).

m1

i

dt

Принимая во внимание, что

vi dvi = d

v2

, получим

2

2

2

m1v1

mn vn

= ∑∑(fik

dri )+ ∑(Fi dri ),

d

+... +

2

2

fik dri + fki drk ≠ 0 ,

т. к. fik = −fki , но dri ≠ drk .

	W ксист =	m v2	+	m	v2	+... +	m	v2	;
		1 1		2	2		n	n
		2		2			2

dW ксист = δA внутр +δA внеш .

Изменение кинетической энергии системы тел определяется как работой внешних сил, так и работой внутренних сил.

3. Кинетическая энергия вращающегося тела

z

Представим энергию этого тела как сумму энергий материальных точек.

W к = ∑

δmi vi2

δmi ri2ω2

∑(δmi ri2 ) ω2

I zω2

=

=

,

2

= {vi =ωri }= ∑

2

2

2

∆mi

W квращ =

I zω

2

.

2

4. Сложное движение твёрдого тела (плоское движение)

∆mi

ц. м.

=

+

ц. м.

δm v2

=

mv2

+

I ω2

.

Wк = ∑

ц. м.

ц. м.

i i

2

2

2

III. Потенциальная энергия

dWк

= (F dr).

В зависимости от характера силы F кинетическая энергия может

быть переведена либо снова в механическую, либо в другие виды энергии.

Сила F

Переводит механическую энергию в механическую же.

Консервативные силы

Работа не зависит от формы траектории движения.

Переводит механическую энергию в другие виды энергии.

Неконсервативные (диссипативные) силы

Работа зависит от формы траектории движения.

Так как все силы в механике носят полевой характер, то классифицируем поля:

Поля

Работа сил поля не зависит от формы траектории движения.

Потенциальные поля (гравитационное и электростатическое)

Работа сил поля зависит от формы траектории движения

Непотенциальные поля

3	A132 = A142

1

4 2

Математический критерий потенциальности поля

Рассмотрим работу сил поля по замкнутому пути 1-3-2-4-1:

A13241 = A132 + A241 = {A132 = A142 }= A142 + A241 = {A142 = −A241}= A142 − A142 = 0 .

∫(F dr)= 0 .

l

Поле потенциально, если работа его сил по замкнутому контуру равна нулю (поле потенциально, если циркуляция сил поля по замкнутому контуру равна нулю).

ПРИМЕР

Поле центральных сил

Поле является центральным, если: есть силовой центр, F || r, F = F(r). Любая центральная сила всегда потенциальна.

Силовой центр			∫(F dr)= A12 + A23 + A34 + A41 ;
1 2		r	l
			A23 = A41 = 0 , т. к. F dr; A12 = −A43 →∫(F dr)= 0 .
4
	F		l
3

1. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле

Если поле потенциально, то тело помещённое в данную точку пространства обладает потенциальной энергией, причём её численное значение равно работе сил поля по перемещению тела из данной точки в точку нулевого значения потенциальной энергии.

Wп (т.1)= А1поля→т. нул. пот. ,

						т. нул. пот.
						W п (т.1)= ∫(F dr)		.
						1
	Значение Wп зависит от выбора точки нулевого уровня энергии.
1	2		O (нулевой уровень энергии)
		A20					.
					A12 =Wп (т.1)−Wп (т. 2)
	A10				δA12 =Wп (т.1)−Wп (т. 2)= −(Wп (т. 2)−Wп (т.1))= −∆Wп .

δAполя = −dW п – работа сил по перемещению тела совершается за счёт убыли по-

тенциальной энергии этого тела.

ПРИМЕР

Потенциальная энергия сжатой пружины

k	Wп = 0									Fупр = −kx .
				конеч.		0		2 0		2
	O	x	нач. x A =		∫Fdr = ∫(− kx )dx = −kx				= kx	;
	конеч.			нач.		x	2	x	2
			Wп	=	kx	2
					2	.

2. Потенциальная энергия системы тел

Если между телами системы действуют консервативные силы, то такая система обладает потенциальной энергией, причём её численное значение будет равно работе консервативных сил по переводу системы из данной конфигурации к конфигурации с условно нулевым уровнем потенциальной энергии.

mi	m1
	fik
	mk
Данная конфигурация		Конфигурация с условно нулевым
		уровнем потенциальной энергии

				Aданнаяполя	конф. →нул. конф.			=Wпвнутр	.
						δA = −dWп .
	ПРИМЕР
			Гравитационное					взаимодействие		двух	материальных
m1	F	m2 dr	точек
	r	r	Fграв = γ			m1m2	.
Исходная конфигурация						r2
			Нулевой			уровень		потенциальной		энергии	соответствует

расстоянию между телами r → ∞.

m1

m2

∞

m m

1

∞

m

m

W п = A поля = ∫γ

2

dr cosπ = −γm1m2

−

= −γ

2

.

∞

1

1

r

2

r

r

r

r

Нулевая конфигурация

Wп	r	1
0	r1	2

R

W п = −γ

m1m2

.

r

Arполя→R = −γ

М

З

m

−γ

М

З

m

−

=

r1

R

1

γМ

З

= {r1R ≈ R 2 ,r1 − R = h}==

mh = mgh .

R 2

IV. Законы изменения и сохранения энергии

Система тел

r1

m1

Тогда,

			Fd ,f d – внешние и внутренние неконсервативные силы, действую-
	dri		i i
			щие на i-тое тело; Fi, fi – внешние и внутренние консервативные
	ri
			силы, действующие на i-тое тело.
	mi	m2
			Под действием сил тело массы mi перемещается на расстояние dri.
	согласно закону изменения кинетической энергии, можно записать:
				2		2
				mi vi		= ∫FΣdri .
			∆	2
						1

mi vi2

d

d

∆ri

)+ (Fi ∆ri )+ (fi ∆ri ), так как

(

∆

)= δ внеш.

= −∆ внеш

∆

= (Fi

∆ri )+ (fi

Fi

ri

Aконс. сил

Wi п

2

и (f

∆r )= δA внутр.

= −∆W внутр , получим

i

i

конс. сил

i п

	2		= (Fi	∆ri )+ (fi	∆ri )− ∆Wi п	− ∆Wi п .
∆	mi vi
	2

Перенесём два последних слагаемых в правую часть уравнения:

		2
	∆	mi vi	+ ∆Wiпвнеш
		2

Введём некоторые обозначения:

+ ∆Wiп		= (Fi ∆ri	)+ (fi ∆ri ).	(1)
внутр		d	d

	W к = ∑		m v 2	– кинетическая энергия системы тел;
			i i
			2
	Wпвнеш	= ∑Wiвнешп			– потенциальная энергия системы во внешних силовых полях;
	Wпвнутр	= ∑Wiвнутрп			– потенциальная энергия системы во внутренних силовых полях;
	δAвнешd	= ∑(Fid ∆ri ) – работа внешних неконсервативных сил;
	δAвнутрd	= ∑(fid ∆ri )– работа внутренних неконсервативных сил.

Соотношение (1) записано для i-го тела. Записав аналогичные соотношения для всех тел системы и сложив их, получим:

∆(Wк +Wпвнеш +Wпвнутр )=δAвнешd +δAвнутрd

– закон изменения механической энергии системы тел. Обозначим:

W мех =W к +W пвнеш +W пвнутр

– механическая энергия системы тел. Тогда

∆Wмех = δAвнешd +δAвнутрd

– изменение механической энергии системы определяется работой как внутренних, так и внешних неконсервативных сил.

Закон сохранения механической энергии: если работа внешних неконсервативных сил и работа внутренних неконсервативных сил равна нулю, а внешние потенциальные поля стационарны, то механическая энергия системы остаётся постоянной.

W мех = const , если выполняются три условия (одновременно): 1) Aвнутрd = 0 , 2) Aвнешd = 0 , 3) внешние потенциальные поля стационарны.

ПРИМЕР

m1	v1
h1	m2
	v2
	h2

Земля

Система тел m1-m2, внешнее тело – Земля.

W

m v2

m

2

v2

; W внеш

= m gh + m

gh ;

W внутр

kx

2

к

=

1 1

+

2

=

;

2

2

п

1 1

2 2

п

2

Aвнешd

– работа сил сопротивления воздуха,

Aвнутрd

– неупру-

гая деформация пружины.

§ 5. Абсолютно упругий и неупругий удары

(применение законов сохранения)

I. Неупругий удар

	m1		v1		m2		v2 → m1 + m2						u
m v + m v = (m + m							)u → u =				m1v1 + m2 v2			;
1	1	2	2		1	2					(m1 + m2 )
				(m1 + m2 )u			2		2		2
	∆Wмех		=					−	m1v1		+	m2 v2	.
									2
					2						2

В выражение (**) подставим (*) и получим:

∆Wмех = −	m		m					v1 − v2		2
		1		2								.
	m1	+ m2			2

II. Абсолютно упругий лобовой удар

Удар абсолютно упругий, если не происходит потери механической энергии.

(*)

(**)

m1	v1 m2	v2 → m1	u1 m2	u2
Пусть v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара.
1. Система замкнута выполняется закон сохранения импульса:
	m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2 u2 .			(1)

2.Т. к. удар абсолютно упругий, запишем закон сохранения механической энергии:

	m v2	+	m	v2	=	m u2	+	m	u2
	1 1		2	2		1 1		2	2	.	(2)
	2		2			2		2

Объединим уравнения (1) и (2) в систему и решим её относительно переменных u1, u2:

			2						2				2				2
	m1v1				+	m2 v2				=	m1u1			+	m2 u2			,
	2						2					2				2
m		v		+ m			v	2	= m u				+ m			u	;
	1		1	2					1			1	2			2

u1 = −v1 +2 m1v1 + m2v2 ,

m1 + m2

u2 = −v2 +2 m1v1 + m2v2 .

m1 + m2

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ