При wp = 2" найдем ^ = 2^0,78=1,8 мм (1:167000).

Следует еще раз подчеркнуть, что формула (141) справедлива только в том случае, если в простую цепочку треугольников с п измеренными направлениями включены все пункты сложной, обязательной замкнутой сети, содержащей N измеренных направлений и при этом N —n ^ 10.

§ 20. Оценка проекта трилатерации

Строгая оценка проекта PC трилатерации была рассмотрена ранее (см. § 17).

Выполним строгую		оценку проекта свободной PC трилатерации
(рис. 32) относительно		положения пункта III.		Будем		использовать
коррелатный способ.	Длины сторон		St сети	(в м) и		высоты Af (в
м), опущенные из противолежащей сторонам 5,-					вершины /, сняты
графически с плана	сети масштаба		1:2000:	Si	= 379,0; S2 = 344,2;

А3= П3,8.

За исходное направление принято направление диагонали А — //, дирекционный угол которой равен о А- п = 66°.

С

Рис. 33. Сеть трилатерации в виде треугольника

В данной сети возникает одно условное уравнение — уравнение фигуры геодезического четырехугольника, которое составим в угловой форме с полюсом в вершине /,

A., Vi +А.г Уг ~ А., У3 - (Я*, - Ва>) У4 - (В.г+ С .,) У5 -
		- ( С л - С ъ )У6 + 1¥ / р = 0,		(158)
где	W/= a 1+a2 —а 3 — свободный член, с;		Vx— поправки в	стороны
сети Si, мм;		Аа., Я«(, С *— коэффициенты соотношения поправок угла
а, и	сторон	треугольника трилатерации	(рис. 33);
^ = А щУа- В лу „ - С щУс,				(159)
	Р
вычисляемые		по формулам

где	hi — высота треугольника, а,				Ъ, с— его стороны.		Значения
коэффициентов			Ащ, ВЛ[ и СЯ( найдем		для каждого	из трех	углов U
2, 3	сети	(см.	рис. 32)	(табл. 19).
Т а б л и ц а		19 .	Резул ьтаты	вычисления	коэффициентов	уравнений	поправок
разбивочной		сети	трилатерации
					Угол,с
	Обозначение
				«1	«2		«3
а				3,790	3,442	5,040
Ь				3,448	3,756	3,448
с				3,756	2,120	2,120
И				3,058	2,092	1,138
А.				0,327	0,478	0,878
в*				0,151	0,397	0,828
С.				0,190	0,077	0,741
Контроль				0,005	-0,009	-0,002

Примечание. Длины я, Ьчс, h выражены в сотнях метров. При этом для согласования размерностей в формуле (158) принято р = 2,06265. Тогда коэффициенты АлУ В%у Са будут иметь размерность 1/мм, а поправки в стороны выражены в миллиметрах.

Контроль, выполненный по формуле

Лв|а;- Д ,Д - С в|С;= 0,

показывает, что коэффициенты (158) вычислена с точностью до двух верных значащих цифр, что вполне достаточно для предварительной оценки проекта.

80

По данным таблицы получим численные значения коэффициентов условного уравнения (158):

0,327 Vx+ 0,478 V2 - 0,878 V3 +0,677 V4 - 0,587 V5 +0,664 V6 4- W / p = 0.

Таким образом, исходная матрица А имеет вид

А = (0,327 0,478 -0,878 0,677 -0,587 0,664).

Далее в соответствии с формулой (118), приняв измерения равноточными (Qt= E), можно найти jV=2,35; Л^-1 = 0,425 и матрицу обратных весов уравненных сторон сети

	/0,955		-0,066 0,122 -0,094				0,082	- 0,093
			0,906		0,178	-0,137	0,119	-0,136
Q =					0,672	-0,252 0,219		-0,249	(161)
						0,806	0,169	-0,192
							0,853	-0,167
								0,810/
Перейдем к составлению весовых функций координат пункта III
(см.	рис. 32).
Исходя		из	выражений
Х щ = ЛГл + Si				(^з	ou)»				(162)
Уш=
		+	sin (стз+ а4),
получаем
Ухш = coscTj V x - S i sina!
									(163)
r y/y/= sina! Vi+Si cos a!
В	соответствии			с	формулой (159)		для угла а4 из треугольника
А — II — III		запишем
^	=			V l —С„4 Vз

и, подставив это выражение в формулы (163), окончательно получим весовые функции абсциссы и ординаты пункта III:

—(COSCTl + АУл-шВ**) У 1 —АУа -ш АЛаУ2 + АУА-шСа4Уъ\

		(164)
= (s^n a i ~ & хл-ш В*4) Уi +	- h iАь4У2— Аха-1пС<14Уз-
По аналогии с вычислениями	для углов	/, 2, 3 коэффициенты
Ав4, Ва4 и Са4 найдем по выражению (160) из треугольника А — II— ///:
а4 = 3,442; 64= 3,790; с4= 5,040;	А4= 3,788;	А94 = 0,264; Ва4= 0,009;
Св4 = 0,174.

Приращения координат Ах, Ау, входящие в формулы (164), могут быть сняты с плана сети графически. Однако они могут быть

ивычислены по известным формулам

&Уа- ш = 3 1sin a i = 3,584;	Axaiii = S 1 cosc^ = — 1,234.
При этом
с 1= стз+ &4 = 109°,	(165)

где, в свою очередь, угол сс4 (в градусах) вычислим по формуле Карно

a4= arccos K	+£ ± _ ^ . £ il/ 2W					.			(166)
j_С4		Ь4	Ъ4 с4_|/		)
Заметим, что приращения Ах и						Ау	должныбыть		выражены,как
и стороны Siy в сотнях метров. С						учетом		этогопо формулам(164)
будем иметь
VX n = -0,293 ^	— 0,946 V2 4- 0,624 V3;
VYn/ = 0,956 V, - 0,326 V2 +0,215 V3.
Таким образом,			матрица		/ весовых			функций	координат X,
У пункта III имеет		вид
' — 0,293	-0,946			+0,624'		0 0	0^		(167)
+0,956	-0,326			+0,215		0 0	Оу

С учетом полученных матриц (161) и (167) по формуле (117) искомую матрицу обратных весов координат пункта III можно представить в виде

^0,86	0,14>
Q x ,Y = fQ f‘= V0,14	1,06у

Далее по формулам (123) — (125) выполняется точечная оценка пункта///: tg 0 = - l,4 ; 0=-54°46'; 0 max = O,86; Qmin = 0,79; б ш = 1,65.

Пусть задано М1П= 15 мм. Тогда, используя выражение (103), получаем

т8~- М щ	15 = 12 мм.
Ж ,

Заметим, что весовая функция для оценки направления						стороны
Si (если в этом	возникает необходимость) будет составляться на
основании выражения (165) из коэффициентов					уравнения (159), вычис­
ленных ранее для	угла а4:
д =(-0,009	-0,174	0,264	0	0	0).

Если свободный четырехугольник трилатерации имеет форму прямоугольника (рис. 34), то матрица обратных весов его уравненных сторон имеет вид (при Qi = E)

	'(К—tga)	-tga	-1	-1	sec a		seca
sina cosa	(£-ctga)		-1	-1	sec a		sec a
			/-.	-ctga	coseca		coseca
=------ x
			(Jf-ctga)		coseca		coseca
			(A'-secacoseca) -seca				coseca
					(K-seca) coseca
							(168)
где a — острый угол,		прилежащий		к стороне		S4	(a< /);
AT=4/(sinacosa).
Как видно, коэффициенты в			матрице	(168)	зависят	(через угол

а) только от продвига фигуры. Уравнения поправок (159) для углов

7, 2, 3	прямоугольника				трилатерации при S3 = S4, S i= S 2, S5 = S6
можно	представить			в виде
р	53 ls	- Л _ у 6 -
			S3S5	* ’
7					(169)
^ А к		5 - 1 „ 4 - 1 к 2
р	StS3	5s	Si	4s	S 3 2s'

Используя матрицу (169), нетрудно составлять весовые уравнения координат для пунктов сети и для направлений сторон при любых исходных данных (т. е. при любом расположении исходных пунктов и направления). Эти расчеты целесообразно выполнить в численном виде. Для свободной сети (прямоугольник), в которой исходный пункт — точка А, а исходное направление — сторона AB=Sx (стлв= 90°)

при продвиге АГ=— , справедливы следующие формулы для обратных

			А В
весов координат			пунктов	и	направлений		сторон:
	3 + 4ЛГ» .		(1 + 2 К 2)(3 + 2 К 2)					= ( 1 +	К 2 у
@х‘	4(1 + К 2У		®Хс	4(1 + К 2)		’ ®Х°		'
о	=о	4+3* 2•о			о	=0	=^-		о - (1+* 2>р2
SdYt)	У-Yc	4(l-j- K 2y *'a°c			<?2 У ~ aAC	^ aBO		g 2 ’	K 2S 2

Рис. 35. Сеть трилатерации в виде центральной системы

Если сеть несколько отличается от прямоугольника, то ее можно оценивать по формулам (168), (169) приближенно, полагая стороны эквивалентного прямоугольника равными средним значениям из соответствующих сторон исходной сети.

Другой типовой фигурой в трилатерации, в которой также возникает одно условное уравнение, служит центральная система (рис. 35). Для свободной правильной центральной системы, состоящей из N равнобедренных треугольников с основанием а и началом координат в центральном пункте и осью X, ориентированной по радиальной стороне г, обратные веса положения пунктов и направ­ лений радиальных и внешних сторон* определяются по формулам (при N — четном):

Qi = Qx + Qr = {U 844 +0,03657JV)2;

	Q, ^ (0,5971 +0,2170N )2,	(170)
6., = ^ (1,594+0,03894АГ)2;
а обратные веса уравненных углов у и р независимо от числа
треугольников вычисляются по формулам
Qy= ^ ( l , 423-0,01882JV)2;	бр = ^ ( 0 ,1092+ 0,2196W)2.	(171)

При нечетном п формулы для величины Q отличаются от приведенных, однако для предварительной оценки проекта это отличие можно считать несущественным.

Оценка проекта более сложных PC трилатерации произвольной формы может быть приближенно выполнена по следующей схеме

(СМ. § 18).
1.	Намечают		независимые ходовые линии от исходного пункта
до заданного,		обратный вес координат которых требуется определить.
В каждой	из	этих	линий по формуле

находятся обратные веса всех углов. Величина ha.— высота, опущенная из угла ос, на противолежащую сторону at соответствующего треуголь­ ника: bt и c'i— две другие стороны этого треугольника. Если угол ходовой линии образован углами нескольких треугольников трила­ терации, то его общий обратный вес определяется как сумма обратных весов составляющих его углов, определенных по формуле (172).

2. Вычисляют обратный вес дирекционного угла каждой стороны данной ходовой линии как сумму обратных весов предшествующих ей углов ос*:

(2а, =£2*,; Qo2= Qzl + Q*2;	+	(173)
3. Для каждой стороны	ходовой линии последовательно находят
обратные веса приращений	координат всех пунктов ходовой линии:
Q x = cos2 а,- + Qa.sin 2 CTjSt;	= sin2 а,- +	cos2 G. s f .(174)

4. Обратные веса координат оцениваемого пункта по каждой ходовой линии и с учетом всех г ходовых линий и обратный вес

положения	оцениваемого пункта определяют	по формулам (143) —
(146) (метод эквивалентной замены).		положение пункта III
Оценим	методом эквивалентной замены

разбивочной сети (см. рис. 32).

Наметим две ходовые линии А — III и А — II— III. Для связующих

углов второй ходовой линии по формуле (172)		получаем	Qai =0,162;
2а, = 0,167. Следовательно,	для дирекционных	направлений сторон
этой ходовой линии по	формулам (173)	имеем	Qa4 = 0,162;

Qa= 0,162 +0,167 = 0,329.	Далее по выражению (174) для пунктов
I и III последовательно	вычисляем:

Q x x—1,489; Q'Xm= 1,297; Qy=\A35; Q'Y/u = 4,342

и находим по формуле (143) суммарные значения обратных весов:

QX[[ = 1,489+ 1,297			= 2,686;	Qyni = 1,435 +4,342 = 5,777.
Аналогично	из	первой		ходовой линии А — III было найдено
Q * = 0Л; Q'xn = 1,390;			GVm= 1,046.
Окончательно		по	формулам		(144) — (146) получим 2*ш = 0,92
(строго 0,86);	6 у//7= 0,88 (строго				1,06).

Все вычисления целесообразно поместить в таблицу, аналогичную табл. 17, 18.

Более оперативно приближенную оценку обратных весов координат какого-либо пункта К в ряде треугольников трилатерации произволь­ ной формы и ориентирования (рис. 36) можно выполнить по формулам

Рис. 36. Ряд трилатерации из треугольников

где hi — высота / треугольника, опущенная из вершины его связующего угла на противолежащую сторону; q— обобщенный коэффициент геометрической связи ряда треугольников, вычисляемый по приближен­ ной формуле

	1,3«! +		1,5л2 + 1,6«3	(176)
	ч = -	п1	+п2 +п3
Ль	л2,	пъ— число соответственно остроугольных, прямоугольных
и	тупоугольных треугольников в данном ряде.

Из формул (175) следует, что для приближенной оценки ошибок координат любой К точки ряда трилатерации произвольной формы достаточно иметь масштабную схему ряда, с которой снимается

небольшое число необходимых элементов	hh Ахк., Аукг Gij-
В качестве примера рассмотрим ряд	микротрилатерации (см.

рис. 36). Выполним его приближенную оценку по соответствующим параметрам (табл. 20).

Таблица 20.

Параметры сети микротрилатерации

Треугольник	ht, м	а 0-, градус	AyKi, м
1	22,9		83,0
		146,0
2	25,8		68,9
		33,8
3	33,3		51,0
		153,6
4	23,9		35,6
		42,3
5	19,0		20,0

* <3	£
	I

22,9

0

33,5

0

19,0

Приближенная оценка по формулам (175) приводит к следующим результатам (при пi= 6 , n2 = n3 =--0): w ^ = 6,5 мм; шу.=2,8 мм.