поступим с их весами (P = \: Q ). После этого составляем матрицы нормальных уравнений по изложенному ранее правилу. Запишем ма N в виде (см. рис. 43, а)

0,90 -0,33\ -0,33 0,95/’

Обратив ее, получим

Следовательно, 2 а =1,27; Qa„= 1,20. Для другого случая (см. рис. 43, б)

(

Следовательно,	Qx, ул= 0,193; QXt Yo= 0,182.	тА, тв, то по
Если заданы	ошибки оцениваемых функций

формуле (103) можно вычислить ошибку единицы веса, соответст­ вующую по виду измерений той, которая была принята при вычислениях обратных весов функций по выражению (210).

При большом числе узловых точек сети возрастает порядок матрицы N и тем самым осложняется ее обращение. В этом случае требуется ЭВМ. В связи с этим были предложены способы, ис­ ключающие процедуры составления и обращения матрицы нормаль­ ных уравнений. К ним, в частности, относится широко распрост­ раненный способ последовательных приближений. Однако в сетях с большим числом узловых точек этот способ приводит к неудов­ летворительным результатам. Существуют и другие способы при­ ближенной оценки проекта полигонометрических сетей, например, модифицированный способ узлов. Приближенную оценку можно выполнить и по методу эквивалентной замены.

§ 23. Оценка проектов высотной сети

Высотная разбивочная сеть строится в виде отдельного нивелир­ ного хода, опирающегося на два исходных репера, либо в виде системы ходов, образующих замкнутые полигоны, как правило, с небольшим числом узловых точек. Обычно оценивают ошибку уравненной отметки репера, наиболее удаленного от исходного, или ошибку уравненного превышения с помощью двух смежных реперов.

Строгая оценка системы нивелирных ходов выполняется по методике, изложенной ранее (см. § 17). При этом следует иметь в виду, что обратные веса отдельных секций системы нивелирных

ходов можно	принимать равными их длинам, рыражеиным либо
в километрах,	либо в сотнях метров. В первом случае найденная

врезультате оценки проекта ошибка единицы веса |! будет относиться

ксумме превышений на 1 км хода, во втором — к ошибке превышения

отдельной станции с длиной плеча 50 м. Обратные веса назначаются из предположения, что накопление случайных ошибок нивелирования идет пропорционально квадратному корню из длины плеча на станции, что подтверждено экспериментальными данными, см. фор­ мулу (108).

В обоих случаях предполагается, что на каждой станции нивелиро­ вание выполняется по одной и той же программе, т. е. одним и тем же числом приемов п. Это позволяет выбрать любое число приемов для достижения при полевых измерениях расчетного значения |i.

Выполним оценку проекта высотной PC (рис. 44) на основе коррелатного способа относительно отметки репера 2 при тНг = 4 мм. Длины ходов, выраженные в километрах, указаны на схеме.

/

1,53

Рис. 44. Нивелирная сеть с двумя узловыми точками

В сети возникает два условных уравнения полигонов

Vl - V 1 - V z+ W l ^ 0\ V2 + V 4 + W 2 = 0

с матрицей коэффициентов А при поправках превышений /гь /z2,

/*4, равной (при указанных на схеме направлениях обхода полигонов для вычисления их невязок)

ч ; 'I - о - д

и с матрицей обратных весов измерений

«-(“ - , ,	)
V	3,62/

В соответствии с формулой (118) получаем матрицы нормальных уравнений N и N ' 1:

(4.93

— 0,84\.

/0,20960,0395^

и матрицу обратных весов уравненных превышений

(

Уравненную отметку Н 2 репера 2 от исходного репера А можно определить несколькими способами, например,

Н2 = HA + h$ = HA + hi — h2 = НA + h i ~

г.е. составить три различные весовые функции с матрицами коэф­

фициентов для каждого способа:

/ ! = ( 0 0 1 0); / 2 = ( 1 - 1 0 0); / з = ( 1 0 0 - 1 )

соответственно. По формуле (117) для каждой весовой функции

получим	один	и	тот же результат QH,= \,\9. В соответствии
с выражением		(103)	вычисляем
ц=	= 3,7 мм
v/U9

и по этому значению назначаем необходимый класс нивелирования. Заметим, что ввиду простоты матрицы А коэффициентов условных уравнений матрицу N нормальных уравнений коррелат можно со­ ставлять непосредственно по схеме сети с выписанными на ней обратными весами ходов, руководствуясь следующими правилами.

Для свободной сети (полигонов):

диагональный элемент i-и строки матрицы N должен быть равен периметру замкнутого полигона с номером /;

недиагональные элементы ij матрицы N должны быть равны

длине (обратному	весу) хода, смежного с полигонами i и j\ взятой
с отрицательным	знаком.
Для несвободной сети (хода):
диагональный элемент должен быть равен общей длине хода
между исходными	реперами;

недиагональные элементы должны быть равны сумме длин ходов, принадлежащих одновременно и полигону и ходу между исходными реперами. Они имеют знак «плюс», если направления хода и полигона совпадают, в противном случае — знак «минус». Для ходов, не являющихся общими, недиагональный элемент равен нулю.

Выполним оценку той же высотной PC (см. рис. 44) парамет­ рическим методом. В этом случае имеем уравнения поправок

и матрицу весов измерений (/>,= 1:Q/)

/0,65

1,19

	0,39
Далее в соответствии с формулой (119) вычисляем
212	1,47	1,044			0,825
N =	N ~ l =
	1,86				1,189
Следовательно, Qn,= 1,19, т. е.			получили			тот же результат, что
и в способе	коррелат.
Пусть дополнительно требуется определить точность взаимного
(высотного	положения реперов	/	и	2	(т. е.	точность	уравненного
превышения	й2). Непосредственно		по		элементам матрицы N ~ 1 по
известной формуле
Q2 = Qh1 ^-Qh2~~^Qh1h2							(215)
находим Q2= 1,04+ 1,19 — 2 -0,82 = 0,59.				То же		самое значение можно
найти по формуле (117), составив для И2					весовую функцию h2 = H 1 —H2
с матрицей	коэффициентов /=(1		—1).
Таким образом, по формуле (102) при ранее рассчитанном
(относительно шн, = 4мм) значения			|л= 3,7 мм			для т}и	имеем

тНу = 3,7 ^/0,59 = 2,8 мм.

Если же, например, величина h2 выбрана в качестве оцениваемой функции с той же самой абсолютной ошибкой шй, = 4мм, то по

выражению (103) получим ц= 4: ^/0,59 = 5,2 мм.

Этот пример наглядно показывает, что в одной и той же сети при одной и той же заданной абсолютной величине ошибки функции проектируемая точность измерений будет различна в зависимости от вида оцениваемой функции (оцениваемого параметра сети): при ш//, = 4мм = т / получено |Д= 3,7 мм, а при mhi = 4MM = mf ji = 5,2 мм.

Оценим проект нивелирной сети (рис. 45), реперы которой будут служить высотной основой при строительстве подземного самотечного

трубопровода ливневой канализации, проходящего по сложному в топографическом отношении участку. Поэтому сеть состоит из магистрального хода АВ, проложенного в стороне трассы трубо­ провода, и подходных рабочих висячих ходов 1— 5, 2— <5, 3— 7, 4 — 8. В качестве оцениваемых функций выбраны превышения hK между конечными реперами рабочих ходов, заданная ошибка которых не должна превышать 7 мм (mf = mh = l мм).

Ввиду значительной протяженности ходов (их длины, выраженные в километрах, указаны на схеме) за единицу веса примем сумму превышений на 1 км хода (ц= т ЕЛ). Тогда указанные на схеме длины ходов и будут их обратными весами.

Несмотря на простоту геометрической схемы сети технология расчетов по оценке ее точности имеет особенность: она будет различна (как и полученные результаты) в зависимости от принятого варианта организации работ. Рассмотрим отдельные варианты.

Первый вариант. Примем, что вся

сеть — свободная,

с

одним

исходным

репером.

В

том

случае

обратный

вес

Qh превышения

hK в каждой

П-образной секции,

включающей два рабочих

хода

с весами Qu и Qi+ l j j + 1

и часть магистрального

хода с весом

Qit |+ь

равен сумме названных обратных весов:

Qh — Qi.j + Qi, i+1 +Qi+1,j+1,

(216)

гДе

/— номер

репера

магистрального

хода;

j — номер

конечного

репера

рабочего хода.

Затем по формуле (103) вычисляют величину \х' для каждой секции:

Ши

й= - ^= .

(217)

V Qh

Второй вариант. Примем, что магистральный ход АВ опирается

на исходные реперы А и В; он предварительно будет

уравнен.

Реперы

7,

2,

J, 4

будут исходными

для рабочих

ходов.

В этом случае обратный вес превышения hK для каждой П-образной

секции будет определяться по формуле

Qh = Qi + Qi+1+Qi,j+Qi+i,j+i-

(218)

Значения

Gf(6/+i)

вычисляются

по

известной

формуле

Q

(219)

где

QA

QB— обратные веса (длины)

ходов

от

исходных

реперов

Л и В соответственно до оцениваемого репера

/

магистрального

хода. Далее по формуле (217) для каждой секции вычисляют

Третий

вариант.

Пусть

класс

магистрального

хода

уже

задан

(например, ход был проложен ранее по заданной программе), т. е. для него известна ошибка единицы веса ц. При этом сохраняются и условия второго варианта.

В этом случае возникает задача согласования между собой двух заданных параметров точности |! и т Л, которая решается следующим образом. По формуле (219) вычисляем Qx и Qx+\ для смежных реперов / и /4-1 магистрального хода и затем — ошибку т превышения между ними:

т 2 = ц2(СЛ+ бн1).	(220)
Ожидаемая ошибка т'н превышения hK по каждой П-образной
секции
(Mh)2 = m 2 + ( l i ' ) l Q i J + (ll )lQi + 1.7+ i •	(221)
Принимая точность нивелирования на станциях обоих рабочих
ходов одинаковой (ц1 =Ц 2 = ц')’ из выражений (220), (221)	получаем
К ) 2= ц2 ( б , +&+.)+ И 2 ( Q u + Q i ♦.. J+1)>	(222)

откуда определяем искомую характеристику точности рабочих ходов для данной П-образной секции (irih = m^:

K - H 2(g,+ g.M)			(223)
V Q i.j + Q i+ l.j+ l
Очевидно,	что	формула	(223) справедлива лишь при условии
ц= цта,<	г ^	= -	(224)

ylQl +Qr* 1

Таким образом, формулы (223), (224) служат решением задачи оценки проекта сети для третьего варианта.

Во всех трех вариантах рабочий ход, являющийся общим для двух смежных П-образных секций, будет иметь два различных

значения: \х'п из первой (левой)	секции и	из второй	(правой). За
окончательное следует принять	(т.е.назначить), очевидно,		наименьшее

из этих двух значений \х\ или даже несколько меньшенаименьшего, с тем чтобы обеспечить некоторый запас точности.

Приведем расчеты для третьего варианта организации работ по построению высотной PC (табл. 21).

Данные граф 1, 2, 3 выбирают со схемы сети. Обратные веса

реперов 7, 2, 5, 4 магистрального	хода	вычисляют по	формуле
(219). Они соответственно равны:	0,83;	1,72; 1,48; 1,07.	В графе

4 приведены вычисленные по формуле (224) максимальные значения ошибки единицы веса магистрального хода при заданной ошибке функции тн = 1 мм. Назначена окончательная величина |Л= 3 мм (графа 5) и с учетом этой величины по формуле (223) вычислены значения ошибки единицы веса рабочих ходов для каждой П-образной секции (графа 4). Из анализа этих данных для каждого рабочего хода назначено окончательное значение ц' (графа 5). Наконец, с учетом назначенных (на основании расчетов) ошибок ц' по формуле (221)

104

вычислены		(для	контроля) ожидаемые ошибки заданных функции
для каждой секции, которые не должны превышать заданной тн = 1						мм
(графа 6).
Воспользовавшись данными				табл. 21, подсчитаем	значение	|i'
для	каждой	П-образной секции по первому варианту			организации
работ, т. е.		по форхмулам (216), (217). Получим ц' равным 4,2;
4,4;	4,7 мм	соответственно для секций 1, 2, 3. Таким образом, для
всей	сети в	этом	случае можно	назначить |д'= 4мм.	Для второго

варианта организации работ по формулам (217), (218) получим ц' равным 3,5; 3,3; 3,7 мм для секций 1, 2, 3 соответственно. В этом случае для всей сети можно назначить |д'= 3,0мм. Из этих расчетов можно сделать вывод, что самым дешевым вариантом организации работ будет первый. Однако контроль полевых измерений в нем отсутствует. Из рассмотренных вариантов, обеспечивающих контроль измерений по магистральному ходу, целесообразным будет третий (см. табл. 21).

Т а б л и ц а 21. Результаты оценки точности нивелирной сети

Ход Репер

1

2

Магистральный А

А В

1

1

			2
			3
			4
			В
П о	секции	1	8
			4
			3
			7
П о	секции	2	7
			3

2

6

	Длина		Расчетное	Назначенное	Контроль
	хода,	км
			|i\ мм	ц', мм	mh, мм
	{L = Q)
	3		4	5	6
	1,0
	1,1		4,4
	1,2		3,9	3,0	—
	1,3		4,4
	1,4
	0,8		4,2
				4,0	6,6
	0,7		4,2
	0,7		3,9
				3,5	5,8
	0,6		3,9

			Длина	Расчетное	Назначенное	Контроль
Ход		Репер	хода, км
				|i\ мм	|д\ мм	/;/л, мм
			(L = Q)
1		2	3	4	5	6
По секции	3	6
			0,6	4,9
		2
		1			4,5	5,2
		1
			0,5	4,9
		5
При	строгой	оценке	проектов	ВЫ СОТНЫ Х	сетей с	небольшим

числом узловых точек эффективно применять метод эквивалентной замены. В табл. 22 приведены типовые геометрические схемы об­ разования узловых точек в нивелирных сетях и эквивалентные им схемы, обратные веса (длины) которых вычисляются по приведенным

формулам		[14]. Суть метода заключается в том,						чтобы	с	помощью
эквивалентных преобразований					нивелирную сеть			любой	сложности
Т а б л и ц а	22. Схемы		образования		точек	в нивелирных		сетях
Типовая		схема	Эквивалентная			Формула	для	вычисления		обратных
узловых		точек		схема		весов	эквивалентных			схем
С
с'«-	^ > » £		с'	п ‘
			«---------- • £
							^	> п 'п 2
							Q = n =
								П\ + п 2
			С	п ‘	_ J _

		и	, п\Из ,	п \п 2
		п2п$
'	О»	”1=ЪГ’	" i	= ~Ln
		V

Типовая	схема	Эквивалентная		Формула	для вычисления	обратных
узловых	точек		схема	весов эквивалентных		схем
				,	п 1п 2 + п2п ъ + пгп х		П
				л , =	п\		п х
		,	^
Ж		пз	/ \ п',	,	п 1п2 + п2п 3-\~п3п 1		П
		/	\	п 2 =	п2		п2
				п 3 =	п хп2 + п2пъ+ п 3п 1		П
					пъ		п3
					п
\	”,				п \ = —
					П1
					п
					п 2 = —
х *	1				п2

свести к одному эквивалентному ходу от исходного репера до наиболее удаленной (слабо определяемой) точки (марки, репера).

При эквивалентных преобразованиях важно учитывать следующие обстоятельства.

1. Прежде чем эквивалентно преобразовывать, необходимо по значениям обратных весов отдельных ходов определить в ней секцию /'/, в которой по мнению исполнителя может находиться наиболее слабо определяемый репер Е. Очевидно, что это будет секция, наиболее удаленная от исходного репера (или группы реперов) сети; чаще всего эта секция имеет наибольшую длину. Правильное определение такой секции — основа правильной оценки проекта сети в целом. Так что, решая эту задачу, исполнитель должен быть особенно внимательным. Важнейшее положение данного метода заключается в том, что слабая секция ij не подлежит эквивалентной замене вплоть до предпоследней стадии преобразования сети. Во всех без исключения случаях предпоследней стадией эквивалентных преобразований сети служит схема, в которой слабая секция ij входит в периметр полигона xijx (и которая на последней стадии преобразуется в одиночный эквивалентный ход). Дело в том, что именно на предпоследнем этапе эквивалентных преобразований реша­ ется задача о конкретном местоположении точки Е в секции ij.

2. При наличии нескольких исходных реперов в сети их можно совместить друг с другом в один условный репер с соответствующим числом исходящих от него ходов. И, наоборот,— один исходный репер можно разделить на число условных реперов, равное числу исходящих от него ходов.

	pv	хз Мз ,
	<x>--------- -— -• E
	Рис. 46. Схемы эквивалентных преобразований		нивелирной сети
3.	При вычерчивании	преобразованных	схем нет необходимости

соблюдать их масштаб или идентичность формам типовых эквивалентных замен. Форма сети может быть любой. На ней лишь отчетливо должны выделяться оставшиеся узловые точки и исходный репер. Полезно также показывать (условно) «бывшие» узловые точки и их номера. На всех преобразованных схемах необходимо указывать обратные веса соответст­ вующих ходов между узловыми точками. Схемы с подобной информаци­ ей полезно вычерчивать после каждого преобразования, намечая на их следующее очередное типовое эквивалентное преобразование.

На рис. 46 показаны отдельные этапы эквивалентного преоб­ разования схемы сети в одиночный ход. При этом каждая после­ дующая схема представляет собой результат типового эквивалентного

преобразования (см. табл. 22), намеченного на		предыдущей схеме.
В конечном итоге определяем, что точка Е находится в середине
полигона л'3— 4 — 6 — * 3, т. е. на расстоянии		от точки	л'3,	равном
( 1,59 + 7*17 +48,5 4-4,02 + 5,64): 2= 33,46 или	на	расстоянии	от	точки
6, равном 33,46 — 4,02 — 5,64 = 23,8 весовых	единиц (или 2380 м).

р ^ ___ £ _________ 9Е

Рис. 47. Схемы эквивалентных преобразований нивелирной сети при оценке проекта параметрическим способом

Обратный вес (длина) одиночного эквивалентного хода (выражен

числом	сотен	метров, т. е. за единицу		веса принято	превышение
hD при	Z) = 50 м)		и 2=1,92+16,73 = 18,65.
Пусть задано			тНь = 3 мм. Тогда по	формуле (103)	получаем
		3
Ц = »»»,,..«,=		г-— = 0,69 мм.
	V	18,65

Сравнивая полученное значение с нормативным, заключаем, что данная сеть должна по точности соответствовать III классу ниве­ лирования.

Если оценка сложной сети выполнялась параметрическим способом и была получена при этом матрица обратных весов узловых точек,

то	выписав из нее элементы, относящиеся к узловым	точкам / и /,
на	которые опирается наиболее слабая секция сети, можно построить
по ним преобразованную схему (рис. 47), в которой		— начальный
обратный вес слабой секции ij,

ni= Q ii- Q ii;		njlj
nj~Q.ij~Qib		H i j - n i - r i j ’
где x,	/, j — узловые точки.
Для	сети (см.	рис. 47) матрица обратных весов уравненных

отметок узловых точек, полученная на основе параметрического

способа,		имеет	вид
	6,83	5,06	2,18		2,14	0,36	5,41
		7,24	3,05		2,77	0,47	6,03
в =			4,58		3,24	0,55	2,76
					9,59	1,63	3,20
						4,32	0,54
							10,19
	Выпишем элементы,				относящиеся к		узлам		4 и 6 (секция 4— 6
самая слабая):
	Qa-,6	^9,59	3,20
			10,19
и	по формулам		(225) вычислим
	п4 = 9,59 - 3,20 = 6,39;				п6 = 10,19 - 3,20 = 6,99;
		6,39 •6 •6,99 _		f
	”* 48-6,39-6,99			’
	Выполняя затем			типовое эквивалентное				преобразование		звезды
в	треугольник,		можно		получать	положение		и	обратный вес	точки

Е. Данное решение совпадает с предыдущим (по методу эквивалентной замены).

Приближенная оценка сложной высотной сети может быть выпол­ нена по более простой схеме. В ней выделяются только два-три наикратчайших независимых хода от исходного репера до наиболее слабой точки Е и определяется ее эквивалентный вес.

Предположим, что слабая точка Е находится в середине секции 4— 6 (см. рис. 46). Наметим два кратчайших хода к ней от исходного

репера В: В — 3 — 4 — Е	с обратным		весом (6,5 + 11,5 +24,25) = 42,5,
и А — 1— 6 — Е с обратным		весом	(11,5+13,0 +24,25) = 48,75. Эк­
вивалентный обратный	вес	точки	Е равен 22,7. Если принять
niHt = 3 мм, то

= 0,63 мм,

V22.7

т. е. полученный результат близок к строгой оценке (0,69 мм) при несомненной оперативности расчетов.