3289-electrodinam

1.5.4. Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля

Проведем построения, аналогичные предыдущим (см. рис. 1.3). Применим к полю в полученном объеме четвертое уравнение Максвелла

∫ BdS = 0 .

S

Так как, в отличие от третьего уравнения, четвертое уравнение имеет нулевую правую часть, то и в граничных условиях для Bn

также будет нулевая правая часть, то есть

B1n − B2n = 0.

(1.12)

Отсюда с использованием материального уравнения получим граничные условия для нормальных составляющих вектора напряженности магнитного поля:

μ1H1n = μ2 H2n , H1n = μ2 , H2n μ1

где μ1 и μ2 — абсолютные магнитные проницаемости первой и второй среды соответственно.

1.5.5. Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля

Рассечем поверхность раздела двух сред S плоскостью Р, которую можно считать перпендикулярной некоторому малому элементу этой поверхности. В плоскости Р возьмем прямоугольный контур ABCD. В общем случае по границе раздела в произвольном направлении может протекать ток I.

Проведем контур так, чтобы одна его часть была в первой среде, другая — во второй (рис. 1.4). Единичные векторы n0 и τ0 ле-

жат в плоскости контура, единичный вектор N0 перпендикулярен ей.

31

Применим к полю вблизи границы первое уравнение Максвел-

ла:

∫ H

dl = I ;

I = ∫ H2dl + ∫ Hdl + ∫ H1dl + ∫ Hdl .

L

AB

BC

CD

DA

1-я среда

D

l

C

P

n0

S

h

τ0

N0

B

2-я среда

A

Рис. 1.4. К выводу граничных условий для тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля

В пределах контура поле однородно, так как размеры контура очень малы, поэтому можно записать

I = H2 (−τ0 ) l + Hn0 h + H1τ0 l − Hn0 h.

Устремим h → 0 , тогда

I = H1τ0 l − H2 τ0 l .

Введем понятие поверхностного тока. Поверхностным током будем называть приведенный в движение поверхностный заряд. Плотность поверхностного тока определяется формулой

η = η0	lim	I	,
	l→0	l

где η0 — орт, показывающий направление тока; I — часть тока,

пересекающая отрезок l . С учетом этого

H1τ0 − H2 τ0 = ηN или H1τ − H2τ = ηN ,

32

где ηN — проекция вектора плотности поверхностного тока на на-

правление, перпендикулярное плоскости контура. В векторной форме

					)	= η.	(1.13)
n ,(H		− H		2
0 1

Итак, при наличии поверхностного тока на границе раздела тангенциальная составляющая напряженности вектора магнитного поля терпит разрыв, равный его плотности.

Рассмотрим два частных случая.

1. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный диэлектрик».

Ток на границе отсутствует (η = 0 ) и тогда

H1τ = H2τ .

2. Граница раздела «идеальный диэлектрик – идеальный проводник».

В этом случае H2τ = 0, тогда H1τ = ηN или в векторной форме

η = n0 , H1 .

Таким образом, на границе с идеальным проводником при наличии магнитного поля всегда возникает поверхностный ток.

1.5.6. Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля

Обратимся ко второму уравнению Максвелла

∫ Edl = − dtd ∫BdS .

l

Рассуждения, аналогичные представленным в предыдущем пункте, приводят к соотношению

			τ l −				τ l = −	d	(B h l).
		E			E	2
	1			0			0	dt

33

Устремив высоту контура к нулю, получим
E1τ − E2τ = 0 .	(1.14)

Из соотношения (1.14) следует, что тангенциальная составляющая вектора E непрерывна на границе с любой средой.

Рассмотрим границу «идеальный диэлектрик – идеальный проводник». Так как поле в идеальном проводнике равно нулю, т.е. E2τ = 0, то E1τ = 0. Значит, линии вектора E всегда перпендикулярны поверхности идеального проводника.

1.6. Энергия электромагнитного поля

1.6.1. Закон Джоуля – Ленца и превращение энергии

Поскольку электромагнитное поле физически реально, оно обладает энергией. После ряда рассуждений и операций над уравнениями Максвелла мы выясним, каким образом векторы поля E, H , D и B определяют его энергию W. Можно подойти к этому, начав с вопроса о превращениях энергии поля.

Известно, что при наличии тока в реальной среде выделяется тепло. Зная плотность тока j и напряженность поля E , нетрудно, как мы увидим, найти энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени, т.е. мощность тепловых потерь P. Оказывается, в объеме V расходуется мощность

P = ∫				dv.	(1.15)
	j		E
V

Чтобы убедиться в справедливости записанного выражения, обратимся к простому варианту, в котором область V представляет собой цилиндр длиной l с площадью основания S . Ось цилиндра совпадает с направлением вектора плотности тока. Пусть в пределах объема выделенного цилиндра поле однородно. В этом случае применение формулы (1.15) дает

P = j EV = j S l E = IU .

34

Как видно, полученное равенство эквивалентно закону Джоуля

– Ленца, известному из курса общей физики. Таким образом, применение формулы (1.15) означает обращение к закону Джоуля – Ленца. По смыслу равенства (1.15) подынтегральное выражение

p =				(1.16)
	j		E

есть не что иное, как плотность мощности, т.е. мощность, отнесенная к единице объема:

p = lim	P	.	(1.17)
V →0	V

Полученные выражения мощности и ее плотности имеют универсальный характер. Они верны не только при расчете джоулевых потерь, но и сохраняют смысл во всех случаях, когда рассматриваются токи.

Отметим, что в зависимости от направления движения зарядов величина р может быть как положительной, так и отрицательной. Заряды могут ускоряться полем. При этом j и E параллельны,

р > 0 и энергия у поля отбирается. Очевидно, что р < 0, если j и E антипараллельны. Это будет, например, в том случае, когда движение зарядов против поля создается каким-то неэлектромагнитным, «сторонним», процессом, который отдает свою энергию полю, тормозящему заряды.

Описание неэлектромагнитных факторов, как говорят сторонних сил, в большинстве случаев сводится к изменению вида материального уравнения. Используется одна из следующих формализаций:

= σ(

−

ст ),

= σ

+

ст.

(1.18)

j

E

E

j

E

j

Введенные здесь функции Eст и jст при решении электродинамических задач являются заранее заданными. Величина Eст на-

зывается напряженностью сторонних сил (или просто сторонней напряженностью). Теперь мы можем детализировать выражение плотности мощности (1.16). Используя (1.18), имеем:

p = σ−1

2 −

p = σ

2 +

.

j

jE ,

E

j

E

ст

ст

35

Таким образом, можно записать

р = рп + рст,

(1.19)

где

p = σ−1(

)2 = σ

2 , p

= −

=

.

(1.20)

j

E

jE

j

E

п

ст

ст

ст

Параметр pп характеризует поглощение,

потери электромаг-

нитного процесса, а

pст — действие сторонних сил. Сторонние си-

лы обычно локализованы. Если, например, они										сосредоточены в
некоторой					области VΣ , то согласно первому					равенству (1.18)
		= σ		ст в	VΣ и		= σ		вне VΣ . Будем называть VΣ областью источ-
	j		E			j		E

ника.

Позднее мы не раз еще вернемся к обсуждению понятия сторонних сил. Интерпретация их будет несколько расширена.

1.6.2. Баланс энергии электромагнитного поля

Дальнейшее обсуждение будет опираться на уравнения Максвелла (1.1), (1.2). Все члены второго из них умножим на H , а все члены первого — на E :

H rot E = −H ∂∂Bt ,

E rot H = E ∂∂Dt + Ej.

Вычтем левую и правую части второй строчки из соответствующих частей первой, тогда слева получим выражение

H rot E − E rot H , которое мы свернем, так как оно равно div E, H . В результате будем иметь

∂

−

∂

−

.

div

B

D

(1.21)

E

, H

= −H

E

j

E

∂t

∂t

Равенству нетрудно придать интегральную форму. С этой целью проинтегрируем все его члены по некоторому объему V, огра-

36

ниченному поверхностью S, а затем левую часть преобразуем на основании теоремы Остроградского – Гаусса:

∂

∫

B

∂D

∫

(1.22)

E, H dS = −

H

∂t

+ E

−

jEdv.

∫

∂t

S

V

V

Остается проанализировать полученный результат. После некоторых рассуждений мы увидим, что равенство (1.22) есть уравнение баланса энергии поля в объеме V.

Ключевым для нас является последний член справа в (1.22). Согласно формуле (1.15) это мощность Р, причем Р будет рассматриваться как величина, характеризующая все процессы преобразования энергии в объеме V (в п. 1.6.5 будет сделано уточнение). Разумеется, размерность мощности имеют и все остальные члены в

(1.22).

Следующим важным моментом является тот факт, что для всякой энергетически изолированной системы уравнение баланса энергии имеет вид

P = − dW	,	(1.23)
dt

где W — запас энергии.

В частности, из равенства (1.23) следует, что потери энергии (Р > 0) могут происходить только в результате уменьшения этого

запаса dW	< 0 .
dt

Если граница S области V является энергетически изолирующей и при наличии поля внутри объема V оно отсутствует во внешней среде, то поверхностный интеграл в (1.22) равен нулю. Таким образом, равенство (1.22) принимает вид

				∂				∂
	∫				D				B
P = −						+ H					(1.24)
		E		∂t						dv
								∂t
V

и мы вправе истолковать его как уравнение баланса энергии для изолированной системы. Сопоставляя (1.24) и (1.23), имеем:

37

dW

∂

∂

∫

D

B

(1.25)

=

+ H

dt

E

∂t

dv.

∂t

V

В результате определена временная производная запаса энер-

гии.

Сохраняя интерпретацию (1.25) и переходя к общему случаю, запишем (1.22) в виде

						+ dW	+ P = 0.	(1.26)
					ds
	E	, H
∫						dt
S

Очевидно, что равенство (1.22) предстает как уравнение баланса энергии в области V, причем вследствие неизолированности системы появился дополнительный член в виде поверхностного интеграла

Σ

∫

∫

P

=

E

, H

ds ≡

Пds.

(1.27)

S

S

Величина PΣ есть поток вектора

=

(1.28)

П

E

, H

через границу S области V. Вектор П называется вектором Пойнтинга.

Поток PΣ вектора Пойнтинга П показывает, насколько внутренние процессы не уравновешены. Если, например, PΣ > 0, это

означает потери энергии в области V из-за перехода энергии во внешнее пространство. В таком случае говорят об активном балансе энергии. Если же PΣ < 0, то энергия поступает в объем V извне —

пассивный баланс энергии. В обоих случаях абсолютная величина PΣ есть не что иное, как энергия, проходящая через граничную по-

верхность S за единицу времени. Поэтому величину PΣ называют

потоком энергии через поверхность S. Положительный поток энергии равен, таким образом, мощности излучения во внешнее пространство, а отрицательный — мощности поглощаемого внешнего излучения.

38

Баланс будем называть активным, когда PΣ > 0, т.е. отдача

энергии во внешнее пространство преобладает; согласно (1.26) при этом dWdt + P < 0 . В случае чистого излучения может оказаться, что внутренний запас энергии остается постоянным: W = const, тогда, как видно, PΣ = –Р. Поскольку PΣ < 0, то Р< 0: излучение создается сторонними силами в объеме V (согласно (1.19) Р = Рп + Рст , и в отсутствие потерь Р = −Рст).

Наконец, если Р∑ = 0 , это нейтральный баланс энергии. Поток

энергии в данном случае может проходить насквозь, так что число входящих линий вектора Пойнтинга равно числу выходящих; он также может не входить в область V или вообще отсутствовать.

Пример. Рассмотрим поток энергии, проходящий через поверхность бесконечного цилиндрического провода с постоянным током I (рис. 1.5). В силу аксиальной симметрии системы для определения магнитного поля вплоть до поверхности провода (r = R) можно пользоваться формулой H = α0 I 2πR, известной из курса

физики.

	2R		E
		H	z

I

Рис. 1.5. К определению потока энергии, проходящего через поверхность бесконечного цилиндрического провода с постоянным током

Электрическое поле найдем из выражения для плотности тока

= σ

;

=

σ = z0 I

(πR2σ).

Поэтому на боковой поверхности

j

E

E

j

провода

−r I 2

П = E, H =

0

.

2π2 R3σ

39

Мы видим, что вектор Пойнтинга направлен внутрь провода. Значит, из внешнего пространства в провод входит поток энергии PΣ (1.27). Вычислим PΣ на участке провода длиной l :

∫Пds = I 2 ,

S

где = IπR2σ — электрическое сопротивление данного участка. Входящий поток энергии равен мощности, поглощаемой со-

гласно закону Джоуля – Ленца.

1.6.3. Энергия электромагнитного поля

Исходя из равенства (1.25), можно путем интегрирования определить энергию поля. При некоторых оговорках, которые будут сделаны в п. 1.6.5, справедливы следующие операции:

∂

∂

∂

ε

ε

2

D

E

E

E

= ε

εE

=

0

,

∂t

0

∂t

2

∂t

∂

μ

2

B

∂H

∂

μH

H

= μ

μH

=

0

.

∂t

0

∂t

2

∂t

Это значит, что операцию дифференцирования по времени в (1.25) можно вынести за знак интеграла. В результате запас энергии в области V выражается следующим образом:

W =

1

∫(ε0ε

2

2 )dv =

1

∫(

)dv.

(1.29)

E

+μ0μH

E

D

+ H

B

2

V

2

V

Как видно, энергия слагается из двух частей, одна из которых связана с электрическим полем, а другая — с магнитным. Поэтому пишут W =Wэ +Wм, различая магнитную энергию

2

∫

2

∫

W = μ0

μH

2dv = 1

H

Bdv

(1.30)

м

V

V

и электрическую энергию

40