6____2004

уметь:

решать геометрические задачи, связанные c поверхностями второго порядка в пространстве, приобрести навыки определения формы поверхности, заданной уравнением в прямоугольной системах координат; схематически строить поверхность, заданную уравнением второго порядка; приводить общее уравнение поверхности к каноническому виду методом Лагранжа.

При изучении темы 7 необходимо:

Читать [1] с.96 – 114.

Для самооценки темы 7 выполнить задание № 5 Контрольной работы № 3, задание № 2 Контрольной работы № 4.

ответить на вопросы:

как записать уравнение основных поверхностей второго порядка: эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров, конуса, вырожденных поверхностей; как привести общее уравнение поверхности к каноническому виду.

Для контроля знаний по темам 6 – 7 выполнить тест № 3.

2.8. Тема 8. Множества

Понятие множества. Логическая символика. Основные операции над множествами. Счетность множества. Примеры счётных и несчётных множеств. Системы множеств. Вещественные числа и их изображение на числовой оси (л.–2ч., с.–0ч.).

Цель изучения – усвоить понятие множества, операции над множествами.

Изучив тему 8, студент должен: знать:

примеры множеств, понятие счетности множеств, основные числовые множества;

уметь:

совершать основные операции над множествами, приводить примеры счетных и несчетных множеств, доказывать счетность или несчетность множеств.

При изучении темы 8 необходимо:

Читать [1] с.115 – 122.

161

ответить на вопросы:

что такое множество, какие основные операции совершаются над множествами, что такое счётное и несчетное множество, как изображаются вещественные числа на числовой оси.

2.9. Тема 9. Линейные пространства

Определение линейного пространства. Примеры. Базис линейного пространства. Разложение элемента линейного пространства по базису (л.– 2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 9, студент должен: знать:

определение линейного пространства и подпространства, базиса линейного пространства.

уметь:

приводить примеры линейных пространств.

При изучении темы 9 необходимо:

Читать [1] с.123 – 126.

ответить на вопросы:

является ли данное пространство с заданными операциями сложения и умножения на число линейным, является ли подмножество данного линейного пространства подпространством.

2.10. Тема 10. Метрические пространства

Понятие метрического пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества. Понятие сходимости. Полнота метрического пространства. Примеры полных и неполных метрических пространств (л.–2 ч., с.–2ч.).

Цель изучения – усвоить понятие метрического пространства, понятие полноты метрического пространства.

Изучив тему 10, студент должен: знать:

определение метрического пространства, примеры полных и неполных метрических пространств.

162

уметь:

доказывать, что заданная функция двух переменных может задавать метрику в заданном пространстве элементов, доказывать полноту и неполноту различных метрических пространств.

При изучении темы 10 необходимо:

Читать [1] с.127 – 129.

ответить на вопросы:

какое пространство называется метрическим, какая функция называется метрикой, какое метрическое пространство называется полным.

2.11. Тема 11. Нормированные пространства

Понятие нормы. Определение нормированного пространства. Примеры. Понятие сходимости (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 11, студент должен: знать:

определение понятия нормы, нормированного пространства, понятия сходимости в нормированном пространстве.

уметь:

приводить примеры нормированных пространств.

При изучении темы 11 необходимо:

Читать [1] с.130 – 132.

ответить на вопросы:

задает ли данная функция двух переменных норму в заданном пространстве, является ли данная последовательность сходящейся в данном нормированном пространстве.

2.12. Тема 12. Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства. Примеры. Понятие ортогонального и ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации (л.– 2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 12, студент знать:

163

определение евклидова пространства, примеры, понятие ортогонального и ортонормированного базиса;

уметь:

проверять аксиомы скалярного произведения; приводить примеры евклидовых пространств, процесс ортогонализации;

При изучении темы 12 необходимо:

Читать [1] с.133 – 136.

ответить на вопросы:

какое пространство называется евклидовым, что такое скалярное произведение элементов, что такое ортогональный базис.

2.13. Тема 13. Топологические пространства

Понятие топологического пространства. Различные способы задания топологий. Понятие сходимости. Компактность (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 13, студент должен: знать:

определение открытого и замкнутого множеств, окрестности точки, топологического пространства, внутренности множества, точки прикосновения; всюду плотного множества, сепарабельного пространства, базы топологии; понятие сходимости в топологическом пространстве, различные способы задания топологии.

уметь:

задавать топологии в различных пространствах, в том числе и метрических, давать определение сходимости последовательности в различных топологических пространствах; формулировать аксиомы отделимости.

давать определения следующих понятий:

непрерывное отображение, гомеоморфизм, компактность, гомотопия.

При изучении темы 13 необходимо:

Читать [1] с.137 – 144.

ответить на вопросы:

какое пространство называется топологическим, какая последовательность называется сходящейся, как задается топология в метрическом пространстве.

Для самооценки тем 9-13 выполнить задания № 1-5 Контрольной работы № 5.

164

Для контроля знаний по темам 8 – 13 выполнить тесты № 4, 5, 6.

2.14. Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии

Пространственная кривая. Вектор-функция и ее дифференцирование. Кривизна кривой. Формулы для вычисления кривизны плоской кривой. Естественный трехгранник пространственной кривой. Кручение кривой и его вычисление (л.–2ч., с.–2ч.).

Изучив тему 14, студент должен: знать:

определения вектор-функции, кривизны и кручения кривой

уметь:

вычислять кривизну и кручение кривой

При изучении темы 14 необходимо:

Читать [1] с.145 – 149.

ответить на вопросы:

как дифференцируется вектор-функция, что такое естественный трехгранник пространственной кривой.

165

166

Асташова И.В. Никишкин В.А.

Геометрия и топология

Практикум

Москва 2004

Асташова И.В. Никишкин В.А. Геометрия и топология. Практикум / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ). – М.: 2004. – 75 с.

Асташова И.В., 2004

Никишкин В.А., 2004

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2004.

168

Содержание
Контрольная работа № 1. (темы 1, 2: “Векторная алгебра”, “Уравнения
прямой на плоскости”)........................................................................................	170
Контрольная работа № 2. (Темы 3, 4, 5: “Плоскость”, “Прямая в
пространстве”, “Прямая и плоскость в пространстве”) ..................................	190
Контрольная работа № 3. (темы 6, 7: “Кривые второго порядка”,
“Поверхности второго порядка”, часть 1) ........................................................	201
Контрольная работа № 4. (тема 6, 7: “Общая теория кривых и
поверхностей второго порядка”, часть 2) .........................................................	212
Контрольная работа № 5. (Темы 8–13: “Множества”, “Линейные
пространства”, “Метрические пространства”, “Нормированные
пространства”, “Евклидовы пространства”, “Топологические пространства”)
...............................................................................................................................	222

169

Контрольная работа № 1.

(темы 1, 2: “Векторная алгебра”, “Уравнения прямой на плоскости”)

Вариант № 1.

1.

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r:

x ={−2, 4, 7}, p ={0, 1, 2}, q ={1, 0, 1}, r ={−1, 2, 4}.

2.

Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по векторам a и b?

a ={1, −2, 3}, b ={3, 0, −1}, c1 = 2a + 4b, c2 = 3b −a.

3.

Найти косинус угла между векторами

и

, где

AB

AC

A(1, −2, 3), B

(0, −1, 2), C (3, −4, 5).

4.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b:

a = p + 2q, b = p + 2q;

p

=1,

q

= 2, (p q)=π 6.

5.

Компланарны ли векторы a, b и c?

a ={2, 3, 1}, b ={−1, 0, −1}, c ={2, 2, 2}.

6.

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2 , A3 , A4 и его

высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2

A3 , где

A1 (1, 3, 6), A2 (2, 2, 1), A3 (−1, 0, 1), A4

(−4, 6, −3).

7.

Дана прямая

5x +3y −3 = 0 . Составить уравнение прямой, проходящей

через точку с координатами М0 (1,2), параллельной данной прямой.

8.

Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или по

разные стороны прямой 2x − y +5 = 0 .

170