6____2004

Уравнение (2.5) выражает условие, при котором точка M (x, y) лежит на данной прямой, и называется нормальным уравнением этой прямой.

2.7.Приведение общего уравнения первой степени

кнормальному виду

Возьмем уравнение первой степени общего вида:

Ax + By +C =0.

(2.6)

Умножим наше уравнение на постоянный множитель M, подобрав его так, чтобы получилось нормальное уравнение. Уравнение (2.6) примет вид:

MAx + MBy + MC =0.

(2.6′)

Для того чтобы уравнение (2.6′) привести к виду (2.5), положим:

MA −cosα , MB =sinα , MC = −p .

(2.7)

Из равенства (2.7) найдем неизвестные M , α и p , выраженные через

A, B, C . Возводя первые два равенства из (2.7) в квадрат и складывая, имеем:

M 2 A2 + M 2 B2 =cos2 α +sin2 α =1,

или

M 2 ( A2 + B2 ) =1,
откуда	1
M =	± A2 + B2 .	(2.8)

В формуле (2.7) нужно брать знак, противоположный знаку свободного члена C , как видно из последнего равенства (2.8). Множитель M называется

нормирующим множителем.

Пример 6.

Уравнение прямой линии 4x – 3y + 15 = 0 привести к нормальному виду.

Нормирующий множитель есть

41

	M = −	1	= −			1 .
		32 + 42		4		5	3
	Умножая на него данное уравнение, получим:		−		x +			y −3 = 0.
				5			5

Для данной прямой имеем: p = −1, cosα = −54 , sinα = 53 .

2.8. Расстояние от данной точки до данной прямой

Пусть даны прямая линия, заданная уравнением в нормальном виде: xcosα + ysinα − p =0 ,

и точка A(x′, y′) . Определим длину перпендикуляра d , опущенного из точки A на данную прямую (рис. 2.4).

y	A
	d

p K

α

R x

рис. 2.4

Проведем через данную точку A вспомогательную прямую параллельно данной прямой и обозначим через P длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую. Уравнение вспомогательной прямой в нормальном виде будет:

xcosα + ysinα − P =0 ,

так как направление перпендикуляра P определяется углом α (рис. 2.5). Искомое расстояние d определяется формулой: d =| P − p |.

y

A(x′,y′)

p	P	d

α x 0

рис. 2.5

42

Так как точка A(x′, y′) лежит на вспомогательной прямой, то ее координаты

должны удовлетворять уравнению этой прямой: x′cosα + y′sinα − P = 0 ,

откуда

P = x′cosα + y′sin α .

Подставляя это значение P в формулу для d , найдем:

d =| x′cosα + y′sinα − p | .

Величина δ , вычисленная по формуле δ = x′cosα + y′sinα − p ,					окажется
положительной,		если данная точка	A и начало	O лежат по		разные
стороны	от	данной прямой	( P > p >0 );	и наоборот, она		будет

отрицательной, если точка A и начало O лежат по одну сторону от данной прямой. Величина δ называется отклонением точки A(x′, y′) от прямой

δ= xcosα + ysinα − p .

2.9.Уравнение прямой линии в отрезках

Обозначим через a и b длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат (рис. 2.6).

N

b

M

0 a

рис. 2.6

Уравнение данной прямой будет иметь вид

Ax + By +C =0, C ≠ 0.

(2.9)

Так как точка M (a, 0) лежит на прямой линии, то ее координаты

удовлетворяют уравнению (2.9):

Aa +C =0 ,

или

43

A

= −C .

(2.10)

a

Аналогично, координаты точки N(0,

b) должны удовлетворять уравнению

(2.9), что дает:

Bb +C =0,

или

C

B = −

.

(2.11)

b

Подставляя значения A и B из равенства (2.11) в уравнение (2.9), получим:

−C

x

−C

y

+C =0.

a

b

Сокращая на C, которое по предположению не равно нулю, найдем:

−

x

−

y

+1 =0

a

b

или

x

+

y

=1.

(2.12)

a

b

Это и есть искомое уравнение данной прямой в отрезках.

Пример 7.

Написать уравнение прямой 2x + 3y + 2 = 0 в отрезках.

Запишем уравнение в виде 2x +3y = −2 и разделим уравнение на (-2), получим:

− 1x + 2y =1.

44

Тема 3. Плоскость

3.1. Общее уравнение плоскости

Можно показать, что любое уравнение от 3-х неизвестных первого порядка

Ax + By +Cz + D =0

определяет плоскость, и любая плоскость может быть задана этим уравнением (см. п. 3.9 и 3.10).

3.2. Исследование общего уравнения плоскости

Если некоторые коэффициенты в общем уравнении вида

Ax + By +Cz + D =0

(3.1)

равны нулю, то плоскость, изображаемая этим уравнением, расположена особым образом относительно осей координат. Так, если D =0 , то уравнению (3.1) удовлетворяют x = y = z =0 (т.е. координаты начала), таким

образом, плоскость проходит через начало координат. Если C =0 , то уравнение (3.1) будет иметь вид:

Ax + By + D =0

(3.1′)

Рассматривая это уравнение на плоскости XOY , мы будем иметь прямую линию. Рассматривая же уравнение (3.1′) в пространстве, мы получим геометрическое место тех точек, которые проектируются на плоскость XOY в точки указанной прямой. Таким образом, уравнение (3.1′) изображает плоскость, параллельную оси OZ . Аналогично, если B =0, то уравнение

Ax +Cz + D =0

изображает плоскость, параллельную оси OY . И, наконец, если A =0, то уравнение

By +Cz + D =0

45

изображает плоскость, параллельную оси OX . Вообще, если в уравнении плоскости отсутствует координата z, y или x , то плоскость параллельна

оси OZ , OY или OX соответственно.

Допустим теперь, что два коэффициента равны нулю, например:

D =C =0.

Тогда уравнение

Ax + By =0

изображает плоскость, проходящую через начало координат параллельно оси OZ, т.е. это будет плоскость, проходящая через ось OZ .

Аналогично, уравнение вида

Ax +Cz =0

изображает плоскость, проходящую через ось OY , а уравнение

By +Cz =0 –

плоскость, проходящую через ось OX .

Если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, например, A = B =0, то уравнение Cz + D =0 изображает плоскость, параллельную оси

OX и оси OY , т.е. плоскость,			параллельную плоскости координат XOY .
Также	уравнение	By + D =0	и	Ax + D =0 изображают плоскости,
параллельные соответственно плоскостям координат XOZ и					YOZ .
Если,	наконец, три коэффициента равны нулю, например				B =C = D =0, то
уравнение Ax =0 или x =0 изображает плоскость координат YOZ .
Также	уравнения	By =0 и Cz =0		изображают соответственно плоскости
координат XOZ и		XOY .

3.3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору

Утверждение. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

M 0 (x0 , y0 , z0 ) и перпендикулярной данному вектору n ={A, B,C}, имеет вид

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) =0

(3.2)

Доказательство.

Пусть дана точка M0 с координатами (x0 , y0 , z0 ), и пусть уравнение искомой плоскости имеет вид

46

Ax + By +Cz + D =0 .

(3.3)

Так как по условию искомая плоскость проходит через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) ,

то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3.3). Отсюда получаем условие:

		Ax0 + By0 +Cz0 + D =0.	(3.4)
Выясним геометрический смысл коэффициентов			A, B, C .
Обозначая через		, вектор, имеющий начало в т. M (x0 , y0 , z0 ) , а конец в т.
	r

M (x, y, z) , принадлежащей плоскости, и через n – вектор, перпендикулярный к плоскости, мы легко получим искомое уравнение в

векторной

форме. В самом деле,

векторы

и

должны быть

r

n

перпендикулярны, потому что вектор

лежит в искомой плоскости, а вектор

r

перпендикулярен этой плоскости. Следовательно,

скалярное произведение

n

векторов

и

должно быть равным нулю:

r

n

= 0 .

(3.5)

n

r

Переходя к координатам и подставляя

={x − x0 , y − y0 , z − z0 }

и

={A, B,C},

r

n

получим уравнение (3.2).

3.4.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M 0 (x0 , y0 , z0 )

ипараллельной неколлинеарным векторам

l1 ={m1, n1 , p1} и l 2 ={m2 , n2 , p2 }

Из пункта 3.3. следует, что для того, чтобы написать уравнение плоскости, необходимо знать координаты точки, принадлежащей плоскости, и координаты вектора, перпендикулярного к плоскости.

Зная векторы l1 и l 2 , параллельные плоскости, можем взять в качестве вектора n вектор l1 ×l 2 , т.к. этот вектор будет перпендикулярен векторам l1 и l 2 , следовательно, перпендикулярен плоскости.

Т.о.

i j k

n =l1 ×l 2 = m1 n1 p1

m2 n2 p2

47

Далее, зная координаты точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектора n , запишем уравнение плоскости (3.2).

Пример 1.

Составить уравнение плоскости, содержащей т. M 0 (1,2,3) и параллельной векторам l1 ={3, −1, 2}; l2 ={6,1,0}.

1)Вычисляем координаты вектора n , перпендикулярного плоскости:

ij k

n = l1 ×l2 = 3 −1 2 = i (−1 0 −2 1) − j (3 0 −6 2) +k (3 1−6 (−1)) = 6 1 0

=−2i +12 j +9k, где n ={−2,12,9}.

2)Записываем уравнение плоскости -2(x-1)+12(y-2)+9(z-3)=0, или 2x-12y-9z+49=0.

3.5.Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

M1 (x1 , y1 , z1 ) ; M 2 (x2 , y2 , z2 ) ; M 3 (x3 , y3 , z3 ) ,

не лежащие на одной прямой

Определим координаты

={x2 − x1 , y2

− y1 , z2 − z1}

и

векторов l1 = M1M 2

l2 = M1M 3 ={x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1}, принадлежащих плоскости.

Определим координаты вектора

i

j

k

n =

×

=

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

.

l1

l2

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

Зная координаты точки

M1 (x1 , y1 , z1 ) ,

принадлежащей

плоскости,

и

координаты вектора n , перпендикулярного плоскости, запишем уравнение плоскости (3.2).

Пример 2.

Записать уравнение плоскости,			проходящей через три точки M1 (1, −1, 2) ;
M2 (3, 2, −1) ; M3 (−1,0,9) .
1) Определим координаты векторов l1			и l2 :

48

l1 = M1M2 ={3 −1, 2 −(−1), −1−2} ={2,3, −3}; l2 = M1M3 ={−1−1,0 −(−1),9 −2} ={−2,1,7}.

2) Определим координаты вектора, перпендикулярного плоскости:

i

j

k

n =

×

=

2

3

−3

=i(3 7 −1 (−3)) − j(2 7 −(−2) (−3)) +k(2 1−2 3) =

l1

l2

−2

1

7

= 24i −8 j +8k, т.е. n ={24, −8,8}.

3) Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной

вектору n : 24(x-1)-8(y+1)+8(z-2)=0 или 24x-8y+8z-24-8-16=0, откуда 24x-8y+8z-48=0.

Деля обе части уравнения на 6, получим 3x-y+z-6=0.

3.6. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости α1	и α2 заданы уравнениями:
α1 :		A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0;
α2	:	A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0.	(3.6)

Определим величину двугранного угла между ними. Этот угол, очевидно, равен углу между векторами, перпендикулярными этим плоскостям и определяется по формуле:

cosϕ =	(n1 ,n2 )	=	A1 A2 + B1B2 +C1C2	,	(3.7)
	| n1 || n2 |		A12 + B12 +C12 A22 + B22 +C22

где

n1 ={A1, B1,C1}, n2 ={A2 , B2 ,C2}.

3.7. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда параллельны перпендикулярные им векторы n1 || n2 , т.е. тогда и только тогда, когда выполняются условия

49

A1

=

B1

=

C1

.

(3.8)

A

B

2

C

2

2

Плоскости α1 и α2 перпендикулярны

тогда и только

тогда, когда

параллельны перпендикулярные им векторы:

1 и

2 , т.е. (

1 ,

2 ) =0 или

n

n

n

n

A1 A2 + B1 B2

+C1C2 = 0.

(3.9)

Пример 3.

Показать, что плоскости:

x + y – z – 1 = 0 и

3x +3y – 3z + 5 = 0

параллельны.

Условие параллельности (3.5) здесь будет иметь вид: 13 = 13 = −−13 ,

оно выполняется.

Пример 4.

Показать, что плоскости:

x + y + z = 0 и 2x + 2y – 4z + 3 = 0

перпендикулярны.

Условие перпендикулярности (3.6) здесь будет иметь вид: 1 2 + 1 2 + 1 (-4) = 0.

Оно выполняется.

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.

Пусть даны точка M (x1 , y1 , z1 ) и плоскость своим уравнением:

A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0 .

Напишем уравнение произвольной плоскости, проходящей через данную точку M (x1 , y1 , z1 ) :

A(x − x1 ) + B( y − y1 ) +C(z − z1 ) =0.

Чтобы эта плоскость была параллельна данной плоскости, нужно выполнить условие:

A = B = C ,

A1 B1 C1

откуда можем взять:

A = A1 , B = B1 , C =C1.

50