6____2004

название – "двуполостный"); каждая из них имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Двуполостный гиперболоид обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с плоскостями координат. Величины a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Заметим, что в случае a = b уравнения (7.7) определяют окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при a = b двуполостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а именно той, которая гиперболу пересекает.

7.2. Конус второго порядка

Поверхность, которая в некоторой системе декартовых координат определяется уравнением вида

	x2	+	y 2	−	z 2	= 0,	(7.8)
	a2		b2		c2

называется конусом второго порядка.

Особенностью уравнения (7.8) является то, что оно однородно, т. е. если некоторая точка М (отличная от начала координат) лежит на этой поверхности, то все точки прямой, которая проходит через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.

Такая поверхность называется конической, или просто

конусом.

Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими, точка, через которую все они проходят, называется вершиной конуса.

Чтобы определить						форму	конуса	второго	порядка,
рис. 7.4	воспользуемся			методом			поперечных		сечений.
	Рассмотрим сечение его какой-нибудь плоскостью, не
проходящей через начало координат (т.е. не проходящей через вершину).
Возьмем, например,	плоскость z = c.				Сечение		конуса	этой плоскостью
определяется уравнениями
		x2		y2
			+			=1,			(7.9)
		a2		b2
		z = c.

Очевидно, оно представляет собой эллипс с полуосями a, b, расположенный симметрично относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz (рис. 7.4).

101

Заметим, что если a = b, то эллипс, определяемый уравнениями (7.9), есть окружность с центром на оси Oz, и, следовательно, конус оказывается

круговым.

Рассмотрим уравнение

	x2	+	y 2	+	z 2	= 0.	(7.10)
	a2		b2		c2

Это уравнение определяет единственную действительную точку: x = 0, y = 0, z = 0. Однако ввиду аналогии с уравнением (7.8) его часто называют уравнением мнимого конуса, а ввиду аналогии с уравнением (7.1) –

уравнением вырожденного эллипсоида.

7.3. Параболоиды

Существуют две поверхности, которые являются пространственными аналогами парабол на плоскости. Их называют параболоидами (эллиптическими и гиперболическими).

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

	2 z =	x 2	+	y 2	(7.11)
		p		q

(при положительных p и q). Уравнение (7.11) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Исследуем эту поверхность методом сечений.

Прежде всего рассмотрим сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz. При у = 0 из уравнения (7.11) имеем уравнение сечения плоскостью Oxz:

x 2 = 2 pz .

Мы видим, что оно представляет собой параболу с параметром р, симметричную относительно оси Oz и с вершиной в начале координат. Сечение плоскостью Oyz определяется уравнениями

		2
	y		= 2qz,
	x = 0

и представляет собой аналогичным образом расположенную параболу с параметром q.

Теперь рассмотрим сечение данного параболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей

102

определяется уравнением вида z = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

	x	2		y	2
			+			= 2h,	(7.12)
	p			q
	z = h.

Отсюда видно, что

1) при h > 0 плоскость z = h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями a* = 2hp , b* = 2hq , расположенному

симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz ; 2) при возрастании h величины a* и b* возрастают;

3)если h возрастает бесконечно, то a* и b* возрастают также бесконечно;

4)при h < 0 уравнения (7.12) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость z = h при h < 0 с данным параболоидом не пересекаются

(рис. 7.5).

Сопоставляя изложенное, можем заключить, что эллиптический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями Oxz и Oyz. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной эллиптического параболоида; числа p и q называются

его параметрами.

Заметим, что в случае p = q уравнения (7.12) определяют окружность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при p = q эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси.

Поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением вида

		2 z =	x 2	−	y 2	(7.13)
	рис. 7.5
			p		q

(при положительных p и q), называется гиперболическим параболоидом. Исследуем эту поверхность.

103

Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью Oxz. При

y = 0 из уравнения (7.13) имеем			x2 = 2 pz ; таким образом,	сечение
плоскостью Oxz определяется уравнениями
	2
x		= 2 pz,
				(7.14)
y = 0.

Мы видим, что оно представляет собой параболу, симметричную относительно оси Oz, с вершиной в начале координат; параметр этой параболы равен p.

Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида x = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

	2z = −	y	2	+	h	2
							,	(7.15)
		q			p
	x = h.

Отсюда видно, что при любом h плоскость x = h пересекает гиперболический параболоид по параболе, расположенной симметрично относительно плоскости Oxz. Все эти параболы, как показывает первое из уравнений (7.15), имеют общий параметр, равный q; вершина каждой из них лежит на линии, которая образуется сечением параболоида плоскостью Oxz, т. е. на параболе, определенной уравнениями (7.14) (рис. 7.6).

Заметим, что каждая плоскость y = h пересекает гиперболический параболоид по восходящей параболе, что видно из уравнений

2z = x2 p

y = h,

рис. 7.6

−h2 q

,

определяющих такие сечения; одно из этих сечений, а именно, соответствующее значению h = 0, было рассмотрено нами в первую очередь.

На рис. 7.6 изображена часть гиперболического параболоида; край изображенной части составлен из двух отрезков восходящих парабол, плоскости которых параллельны плоскости Oxz, и двух отрезков исходящих парабол, плоскости которых

104

параллельны плоскости Oуz.

Рассмотрим, наконец, сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oху. Каждая плоскость имеет уравнение z = h, а сечение параболоида этой плоскостью определяется уравнениями

	x	2		y	2
			−			= 2h,
	p			q
	z = h.

Отсюда мы видим, что плоскости z = h пересекают гиперболический параболоид по гиперболам, расположенным симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz. Если h > 0, то соответствующая гипербола пересекает плоскость Oxz, если h < 0, – гипербола пересекает плоскость Oyz; при h = 0 гипербола вырождается в пару прямых (на рис. 7.6 изображено одно сечение параболоида плоскостью z = h для случая h > 0).

Все изложенное позволяет заключить, что гиперболический параболоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями Oxz и Oyz. Точка, с которой совмещено начало координат, называется вершиной гиперболического параболоида; числа p и q называются его параметрами.

7.4.Цилиндры второго порядка

Взаключение рассмотрим уравнение второй степени, не содержащее текущие координаты z. Мы можем написать его в виде

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

Заметим теперь, что это уравнение задает на плоскости линии второго порядка. Отсюда заключаем, что сечение рассматриваемого цилиндра плоскостью Oxy есть линия второго порядка. В зависимости от характера этой линии мы имеем цилиндры второго порядка следующих типов.

А) Эллиптический цилиндр (рис. 7.7); при помощи надлежащего выбора координатной системы его уравнение может быть приведено к виду

	x2	+	y 2	=1.
	a2		b2

Если a = b, то цилиндр оказывается круговым.

рис. 7.7

105

Б) Гиперболический цилиндр (рис. 7.8); его уравнение может быть приведено к виду

	x 2	−	y 2	= 1
	a 2		b 2

В) Параболический цилиндр (рис. 7.9); его уравнение может быть приведено к виду

y2 = 2 px.

рис. 7.8

рис.7.9

Кроме того, возможен случай, когда левая часть уравнения есть произведение двух множителей первой степени. Тогда цилиндр “вырождается “ в пару плоскостей.

Наконец, возможно еще, что уравнение совсем не имеет вещественных решений (например, x 2 + y 2 = −1 ) и, следовательно, совсем не определяет никакого геометрического образа. Относительно такого уравнения принято говорить, что оно “определяет мнимый цилиндр”.

7.5. Прямолинейные образующие

Заметим без доказательства, что на поверхности однополостного гиперболоида (см. рис. 7.10) и гиперболического параболоида (см. рис. 7.11) существуют прямые, целиком заполняющие поверхности. Эти прямые называются прямолинейными образующими.

106

рис. 7.10

рис.7.11

7.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени от трех переменных, называется поверхностью второго порядка.

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

a	x2 +a	22	y2 +a	33	z2 +2a xy +2a xz +2a		23	yz +2b x +2b y +2b z +c =0			, (7.16)
11					12	13		1	2	3
где не все коэффициенты aij						( i, j =1, 2, 3 ) равны нулю, aij				= a ji .

Приведем без доказательства следующую теорему о классификации поверхностей второго порядка в пространстве.

Теорема. Для любой алгебраической поверхности второго порядка существует прямоугольная декартова система координат Oxyz, в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих видов:

1)

x2

+

y 2

+

z 2

=1

a2

b2

c2

2)

x2

+

y2

+

z2

= −1

a2

b2

c2

3)

x2

+

y2

+

z2

= 0

a2

b2

c2

4)

x2

+

y2

−

z2

=1

a2

b2

c2

(эллипсоид);

(мнимый эллипсоид);

(вырожденный эллипсоид);

(однополостный гиперболоид);

107

	5)	x2	+			y2		−	z2	= −1	(двуполостный гиперболоид);
		a2			b2				c2
	6)	x2	+			y2		−	z2	= 0	(конус);
		a2			b2				c2
	7)	x2		+		y 2		= 2z			(эллиптический параболоид);
		a2				b2

8)	x2	−		y2		= 2z	(гиперболический параболоид);
	a2			b2
9)	x2	+		y2		=1	(эллиптический цилиндр);
	a2			b2

	10)		x2	+		y2		= −1	(мнимый эллиптический цилиндр);
			a2			b2
	11)		x2	−	y2			=1	(гиперболический цилиндр);
			a2
	12)					b2			(параболический цилиндр);
			y 2	= 2 px, p > 0
	13)		x2	−	y2			= 0	(пара пересекающихся плоскостей);
			a2
						b2
	14)		x2	+		y2		= 0	(пара мнимых пересекающихся плоскостей);
			a2			b2

15)	y 2	= a2 , a > 0	(пара параллельных плоскостей);
16)	y 2	= −a2 , a > 0	(пара мнимых параллельных плоскостей);
17)	y2	= 0	(пара совпадающих плоскостей);

Пример 1.

Определить вид поверхности и выполнить ее построение z 2 −2az − x2 − y 2 = 0 .

a) Приводим уравнение к каноническому виду:

	z 2 −2az + a2			−a2 − x2 − y 2 = 0 ,
	(z −a)2 − x2 − y 2 = a2 ,
	(z −a)2	−	x2	−	y	2	=1.
	a2		a2		a	2

б) Находим сечения поверхности координатными плоскостями и плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

2

2

2

2

2

(z −a)

−

x

−

y

=1

(z −a)

−

y

=1 – гипербола

a2

a2

a2

a2

a2

x = 0

x

= 0

108

		2			2				2
(z −a)			−	x			−	y		=1
	a2			a2				a2
			y = 0

2

2

(z −a)

−

x

=1

– гипербола

a2

a2

z

y = 0

2

2

2

a + h

(z −a)

−

x

−

y

=1

a2

a2

a2

z = a

+h,| h |>| a |

2

2

2

(a + h −a)

−

x

−

y

= 1

a 2

a2

a2

z = a + h

h

2

x

2

y

2

−

−

=1

a

a2

a2

a2

z = a +h

2

2

2

2

0

y

x

+ y

= h

−a

– окружность

z = a + h

2

2

2

(z −a)

−

x

−

y

=1

a - h

a2

a2

a2

z = a −h

h

2

x

2

y

2

x

−

−

=1

a2

a2

a2

(z – a)2 – x2 – y2 = a2

z = a −h

2

2

2

2

рис. 7.12

x

+ y

= h

−a

– окружность

z = a −h

в) уравнение z2 −2az −x2 − y2 =0 определяет двуполостный гиперболоид вращения с центром в точке (0,0, a) , ось вращения совпадает с осью 0Z (рис. 7.12).

109

7.7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду методом Лагранжа (методом выделения полных квадратов)

Предположим, что в уравнении (7.16) a11 ≠ 0 . Выделяем в уравнении (7.16) группу членов, содержащих переменное x , и дополняем до полного квадрата:

2

2

a

a

b

a11 x + 2a12 xy + 2a13 xz

+

2

xy +

2

xz + 2

x +

+ 2b1 x = a11 x

12

13

1

a11

a11

a11

a

2

2

a

2

2

a

2

2

a

2

2

a a

a a

12

y

−

12

y

13

z −

13

z

+ 2

12

13

yz −2

12

13

yz +

a

a

+ a

a

+ a

a

2

2

11

11

11

11

11

11

a12b1

a12b1

a13b1

a13b1

b1

2

2

b1

+2

y

−2

y +

2

z −2

z +

−

=

a 2

a

2

a

2

a

2

a

a

11

11

11

11

11

11

2

a12

a13

b1

2

2

a12 a13

a12

= a11 x

+

2

xy

+2

xz

+2

x +

y

+2

yz +

a11

a11

a11

2

a11

a11

2

2

2

a12b1

a13

a13b1

b1

2

a12

2

+2

y +

z

+2

z +

−

y

−

a 2

a

a

2

a

a

11

11

11

11

11

−2

a a

yz −

2

a

b

y −

a

2

z 2 −2

a

b

z −

b

2

=

12 13

12 1

13

13 1

1

a

a

a

a

a

11

11

11

11

11

a12

a13

b1

2

= a11 x

+

y +

z +

+ F( y, z) ,

a11

a11

a11

где

a

2

2

a a

a b

a

2

2

a b

b 2

12

12

13

12

1

13

13

1

1

.

F( y, z) = −

y

−2

yz

−2

y −

z

−2

z −

a

a

a

a

a

a

11

11

11

11

11

11

Вводим первую новую переменную:

x' = x + a12

y +

a13

z +

Тогда уравнение (7.16) запишется в виде

a11

a11

a x '2 + F ( y, z) +a

22

y2

+a z2

+

2a

23

yz +

2b y +

2b z

или

11

33

2

3

a x'2

+a

' y 2

+ a

' z

2 + 2a

' yz +

2b

' y

+ 2b

' z +

22

33

23

2

11

3

где

b1 .

a11

+c = 0

c' = 0 ,

(7.17)

110