6____2004
.pdfЛемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Доказательство.
Пусть X – бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим x1. В силу того, что X – бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента x1. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим x2.
Пусть в множестве X уже выбраны элементы x1,…,xn. Поскольку X – бесконечное множество, то в нем заведомо есть и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через xn и т.д. В
результате мы получим элементы xn X, n=1, 2,…, которые образуют счетное подмножество множества X.
В качестве упражнения читателю предлагается доказать самостоятельно следующую лемму:
Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Следующая теорема дает интересный пример счетного множества.
Теорема 1. Рациональные числа образуют счетное множество.
Доказательство.
Расположим рациональные числа в таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное: 0, 1, -1, 2, -2, …, n, -n, … , n N.
Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величине, причем снова за каждым положительным числом поставим ему противоположное:
1/2, -1/2, 3/2, -3/2, …
Вообще, в n-ю строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем n, упорядочив их по абсолютной величине и так, что за каждым положительным следует ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк и столбцов:
0 |
1 |
-1 |
2 |
-2 |
… |
1/2 |
-1/2 |
3/2 |
-3/2 |
5/2 |
… |
1/3 |
-1/3 |
2/3 |
-2/3 |
4/3 |
… |
………………………………
1/n -1/n……………………..
………………………………
121
Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то место в этой таблице.
Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов):
c |
d |
f |
i |
… |
Ó |
|
Ó |
Ó |
… |
e |
g |
j |
|
|
Ó |
|
Ó |
|
… |
h |
k |
|
|
|
Ó |
|
|
|
… |
• |
|
|
|
|
… … |
… |
… … |
… … |
… |
В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Q рациональных чисел счетно.
Важнейший пример несчетных множеств устанавливается следующей теоремой, которую мы приводим без доказательства.
Теорема 2 (Кантор). Множество действительных чисел несчетно.
122
Тема 9. Линейные пространства
9.1. Определение линейного пространства
Множество E элементов x, y, z, … называется линейным пространством, если в нем определены две операции:
I. Каждым двум элементам x, y E поставлен в соответствие определенный элемент x+ y E, называемый их суммой.
II. Каждому элементу x E и каждому числу (скаляру) λ поставлен в соответствие определенный элемент λ x E – произведение элемента x на скаляр λ – так, что выполнены следующие свойства (аксиомы) для любых элементов x, y, z E и любых скаляров λ , µ :
1)x + y = y + x;
2)x + ( y + z) = (x + y ) + z;
3)существует элемент 0 E такой, что x + 0 = x;
4)λ ( µ x) = ( λ µ ) x;
5)1· x = x , 0 · x = 0 (слева 0 - скаляр, а справа элемент множества E) ;
6)λ (x + y) = λ x + λ y;
7)( λ µ )x = λ x + µ x.
В качестве числовых множителей (скаляров) λ , µ , … в линейном пространстве берутся вещественные или комплексные числа. В первом случае E называется вещественным (действительным) линейным пространством, во втором – комплексным линейным пространством.
Во всяком линейном пространстве E для всякого элемента x E можно определить противоположный элемент – x , а значит, и операцию вычитания элементов y - x. Положим по определению – x = (–1) x. Тогда, согласно аксиомам 5) и 7),
x + (– x) = 1· x + (–1) · x = 0 · x = 0.
Далее под разностью x - y будем понимать выражение x - y = x + (– y).
Приведем некоторые простые следствия, вытекающие из определения линейного пространства.
Нулевой элемент – единственный.
Если λ x |
= |
µ x , |
где x ≠ 0, то λ = µ . |
Если λ x |
= |
λ y |
и λ ≠ 0 , то x = y. |
123
Подмножество M линейного пространства E называется подпространством, если сумма x+y любых двух элементов x и y из M принадлежит M и произведение λ x любого элемента x из M на число λ принадлежит M.
9.2.Примеры линейных пространств
1)Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве, на плоскости или на прямой) образует линейное пространство.
2)Рассмотрим пространство всех многочленов степени, не превышающей k: x (t) = x 0 + x1 t + … + x k t k (x 0 , x1 , …, x k – произвольные вещественные числа, t D = (– ∞,+∞)). Поскольку произведение многочлена на вещественное
число и сумма двух многочленов являются многочленами, мы получаем линейное пространство многочленов.
3) Пространство непрерывных функций C[a, b]. Пусть D =[a, b]. Берем всевозможные непрерывные на [a, b] функции x (t), y(t). Так как x (t)+y (t) непрерывна на [a, b], как сумма непрерывных функций, и λ x(t) также непрерывна, то C[a, b] является линейным пространством. Возможны вещественный и комплексный случаи.
4) Пространство C k [a, b] (k – натуральное число) – пространство k раз непрерывно дифференцируемых функций. Поскольку λ x (t) C k [a, b], если x
(t) C k [a, b], и x(t) + y(t) C k [a, b], если x (t) и y (t) C k [a, b], то C k [a, b] –
линейное пространство.
Элементы |
x1 , x2 , ... xn |
линейного |
пространства |
называются линейно |
||||
зависимыми, |
если существуют числа α1 , α2 , |
... ,αn |
(действительные или |
|||||
комплексные), |
хотя бы |
одно из |
которых |
отлично от 0 , такие, что |
||||
α1 x1 |
+ α2 x2 |
+... + αn xn |
= 0 , и линейно независимыми в противном случае, т. |
|||||
е. если равенство α1 x1 |
+ |
α2 x2 +... + |
αn xn = 0 |
выполняется только в случае |
||||
α1 |
= α2 = |
... |
=αn . |
|
|
|
|
|
Размерностью линейного пространства называется максимальное число его линейно независимых элементов. Если R – n -мерное линейное пространство (пространство размерности n ), то любая упорядоченная система n линейно независимых элементов этого пространства называется базисом пространства.
124
Пример 1.
Проверить, что матрицы с действительными элементами размеров [2 ×2] образуют
действительное линейное пространство. Найти размерность этого пространства и указать какой-нибудь его базис.
Сложение матриц и умножение
a |
b |
|
+ |
|
1 |
1 |
|
||
c |
d |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
матрицы на число определяются обычным образом:
a |
|
b |
|
|
|
a + a |
|
b +b |
|
|
||||
|
2 |
d |
2 |
|
= |
|
1 |
+c |
2 |
d |
1 |
|
2 |
|
c |
2 |
2 |
|
c |
2 |
1 |
+ d |
2 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a |
b |
= |
αa |
αb |
|
α |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
αc |
|
c |
d |
|
|
αd |
Легко проверить, что эти операции обладают всеми свойствами, |
перечисленными |
в |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
определении |
|
|
|
линейного |
пространства. В частности, нулевой элемент — это |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
−a −b |
|
|
|
|
|||||
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– это матрица |
|
, т. |
|
|||||||||||
|
|
|
, а противоположный элемент для матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−c −d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е. матрицы [2 ×2] |
|
действительно образуют линейное пространство. Для нахождения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
размерности |
|
|
|
и |
|
|
|
|
базиса |
|
|
этого |
|
пространства |
рассмотрим |
матрицы: |
|
||||||||||||||||||||
e = |
1 0 |
|
|
|
|
|
= |
0 |
1 |
e |
|
= |
0 |
|
0 |
|
|
= |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, e |
2 |
|
|
|
, |
3 |
|
|
, e |
4 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Покажем, что эти |
|
матрицы линейно независимы. Для этого |
рассмотрим |
равенство |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
α1e1 |
+ |
α2 e2 |
+ |
α3e3 + |
α4 e4 |
|
= 0 , где αi , |
i =1, |
2, |
3, |
4 |
– действительные числа; |
|
||||||||||||||||||||||||
0 – нулевая матрица: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
α |
|
0 |
+ |
0 α |
|
|
|
+ |
0 |
0 |
+ |
0 |
|
0 |
= |
|
α |
|
α |
|
= |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
α3 |
0 |
|
0 |
α4 |
|
|
α3 |
4 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Отсюда, |
α1 =α2 |
=α3 |
|
=α4 |
= 0, |
т. е. матрицы e1 , e2 , e3 , |
e4 |
линейно независимы. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Далее мы используем следующую теорему: если в линейном пространстве существует |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n линейно независимых элементов, |
а остальные элементы являются их линейными |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
комбинациями, то пространство n - |
мерно, а эти n линейно независимых элементов |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
— его базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||
Матрицы e , |
e |
|
, |
|
e |
|
, |
e |
|
линейно независимы, |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
2 |
|
3 |
4 |
произвольную матрицу |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
можно представить в виде их линейной комбинации |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
d |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
= |
a |
|
0 |
|
+ |
0 b |
|
|
|
0 0 |
+ |
0 |
|
0 |
= ae + be |
|
+ ce + de |
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
c |
d |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
c 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Значит, наше пространство четырехмерно, |
и матрицы e1 , |
e2 , |
e3 , e4 |
образуют один |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
из его базисов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125
Пример 2.
Доказать, что многочлены p = x2 + x +1; p |
2 |
= 4x2 −3x + 2; |
p |
3 |
= −3x2 |
+ 2x +5 |
|
1 |
|
|
|
|
≤ 2 (читателю |
||
образуют базис в линейном |
пространстве |
многочленов |
степени |
представляется самому проверить, что это действительно линейное пространство) и найти координаты многочлена p = 23x в этом базисе.
Из теоремы, приведенной в решении предыдущего примера, следует, что размерность нашего линейного пространства равна 3 (многочлены 1, x, x2 линейно независимы,
так как из равенства α1 + α2 x + α3 x2 |
= |
0 , где 0 — многочлен, тождественно |
равный нулю, тут же следует, что α1 =α2 |
=α3 |
= 0, и любой многочлен степени ≤ 2 |
является линейной комбинацией этих многочленов). Поэтому, чтобы доказать, что
многочлены |
p1 , |
|
p2 , |
p3 образуют базис пространства, достаточно проверить, что эти |
|||||||||||||||||||||||
многочлены линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим |
|
равенство |
|
α1 p1 |
+ |
α2 p2 |
+ |
|
|
α3 p3 |
= 0 , |
|
|
где |
|
0 |
– многочлен, |
||||||||||
тождественно равный нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
α1 (x2 + x +1) +α2 (4x2 −3x + 2) +α3 (−3x2 + 2x +5) = 0; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
(a + 4α |
2 |
−3α |
3 |
)x2 + |
(a −3α |
2 |
+ 2α |
3 |
)x +(a + 2α |
2 |
+5α |
3 |
) = 0. |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
a + 4α |
2 |
−3α |
3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда a1 −3α2 |
+ 2α3 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a + 2α |
2 |
+5α |
3 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим определитель матрицы этой однородной системы линейных уравнений |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
4 |
|
−3 |
|
|
|
|
−3 2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 −3 2 |
= 1 |
|
|
−4 |
|
|
|
−3 |
|
|
= −46 ≠ 0. |
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это означает, что система имеет только тривиальное решение α1 |
|
=α2 |
=α3 = 0, т. е. |
||||||||||||||||||||||||
многочлены p1 , |
|
p2 |
и p3 |
|
линейно независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, координаты элемента линейного пространства в некотором базисе – это
коэффициенты разложения этого элемента по базису. Пусть: |
p = β1 p1 + β2 p2 |
+ β3 p3 , |
||
т.е. 23x = β1 (x2 + x +1) + β2 (4x2 −3x + 2) + β3 (−3x2 + 2x +5) |
|
|
||
или (β1 + 4β2 −3β3 )x2 +(β1 −3β2 + 2β3 −23)x +(β1 + 2β2 +5β3 ) = 0. |
|
|||
β1 + 4β2 −3β3 = 0 |
|
|
||
|
−3β2 + 2β3 |
= 23 . |
|
|
Отсюда β1 |
|
|
||
|
+ 2β2 +5β3 |
= 0 |
|
|
β1 |
|
|
||
Решая эту систему методом Гаусса, имеем β3 = −1, β2 |
= −4, β1 = |
13, , т. |
||
е. p = {13, −4, −1}. |
|
|
|
126
Тема 10. Метрические пространства
Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x и y поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число ρ(x,y), удовлетворяющее следующим условиям:
1.ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества).
2.ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии).
3.ρ(x,y)≤ ρ(x,z) + ρ(y,z) (аксиома треугольника).
10.1.Примеры метрических пространств
1.Числовая прямая. Пусть X = R. Если x, y R , то полагаем
ρ(x, y) = x − y .
2.Евклидово пространство. Пусть Xn — арифметическое n–мерное пространство, т.е. множество всех упорядоченных систем из действительных
чисел. Если x = (ξ1, ξ2,…ξn) и y = (η1,η2,… ηn), то
ρ( x, y ) = ∑n (ξi −ηi )2 .
i=1
3.Пространство непрерывных функций с равномерной метрикой.
Пусть X — множество непрерывных функций, заданных на отрезке [−1, 1] .
Введем метрику, полагая
ρ(x, y) = max |x(t)− y(t)|.
t [−1,1]
Проверим выполнение аксиом метрики. Очевидно, что ρ (x, y)≥ 0, причем ρ (x, y) = 0 лишь если x(t) = y(t), аксиома симметрии тоже выполняется. Остается проверить аксиому треугольника. Для любого t [−1, 1] имеем
|
|
|x(t) – z(t)| ≤ | x(t) – y(t)| + | y(t) – z(t)| ≤ |
≤ |
max |x(t)− y(t)|+ + max | y(t)− z(t)|= ρ (x, y) + ρ (y, z). |
|
|
t [−1,1] |
t [−1,1] |
127
Поэтому ρ (x, z) = |
max |x(t)−z(t)|≤ ρ (x, y) + ρ (y, z). |
|
t [−1,1] |
Множество непрерывных функций с заданной таким образом метрикой называется пространством непрерывных функций и обозначается C[−1, 1] .
Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется
сходящейся к элементу x этого пространства, если для любого ε > 0
найдется номер N = N (ε) такой, что для любого n ≥ N имеем
ρ(xn, x)< ε, то есть ρ(xn, x) → 0 при n → ∞.
Заметим, что сходимость в n-мерном евклидовом пространстве есть сходимость по координатам.
Последовательность {xn} элементов метрического пространства X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 найдется номер N = N (ε) такой, что для любых n, m ≥ N имеем ρ(xn, xm)< ε.
Если в метрическом пространстве X каждая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства, то пространство X называется полным метрическим пространством.
Примеры полных пространств.
1.n-мерное евклидово пространство Rn .
2.Пространство C[−1, 1] .
3.Пространство ограниченных числовых последовательностей.
4.Пространство сходящихся числовых последовательностей.
Пример пространства, не являющегося полным.
Пространство многочленов, определенных на отрезке [0,1] c метрикой
ρ(p, q) = maxt [0,1] | p(t)−q(t)|.
Вметрическом пространстве могут быть введены многие важнейшие понятия, с которыми мы встречались в теории точечных множеств,
расположенных на прямой. Так, для множества M X точка a X называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества M \ a. Множество, полученное присоединением к множеству M всех его предельных точек, называется
замыканием множества М и обозначается M . Точка x M называется внутренней точкой этого множества, если она принадлежит этому
128
множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество M
называется замкнутым, если M = M. Множество M называется открытым, если его дополнение X \ M замкнуто. Можно показать, что множество M открыто тогда и только тогда, когда все его точки – внутренние. Множество
M называется всюду плотным в X, если M = X.
129
Тема 11. Нормированные пространства
11.1. Определение нормированного пространства
Линейное пространство E называется нормированным пространством, если каждому x E поставлено в соответствие неотрицательное число x
(норма x) так, что выполнены следующие три аксиомы: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
≥0; |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 в том и только том случае, когда x = 0; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
λx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
λ |
|
· |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
x |
|
|
|
+ |
|
|
|
y |
|
|
|
E функция с |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким |
|
|
|
образом, норма – это определенная всюду на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неотрицательными значениями и со свойствами 1) – 3). |
Заметим, что |
аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2) –
условием однородности нормы, а аксиома 3) – неравенством треугольника.
В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не превышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид
x − y |
|
≥ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
− |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
. |
(11.1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем
x = (x − y) + y ≤ x − y + y ,
откуда x − y ≥ x − y ; меняя ролями x и y, получим x − y ≥ y − x .
Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (11.1).
В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле
ρ(x, y) = x − y .
11.2. Примеры нормированных пространств
Пример 1.
В вещественном линейном пространстве m - мерных столбцов R m введем норму
130