6____2004

Вариант № 10.
1. Что означает сходимость последовательности в пространстве										Lp [a,b]
непрерывных на [a,b] функций с нормой								b	1/ p	,1 ≤ p < ∞?
				x				= ∫| x(t) |p dt
								a

Убедиться, что выполняются аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно.

2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов

x(a1 ,b1 ), y(a2 ,b2 ) положим: ρ3 (x, y) = | a2 − a1 |2 + | b2 −b1 |2 . Доказать, что это метрика.

3.Образуют ли подпространство векторного пространства векторы, у которых совпадают первая и последняя координаты?

4.Рассмотрим метрическое пространство R3 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых параллелепипедов с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Даны векторы e1 , e1 , ... , en и x , которые заданы своими координатами в

некотором базисе. Показать, что векторы e1 ,	e1 ,	... , en	сами образуют базис
и найти координаты вектора x в этом базисе.
e1 = (1, 0, 0, 0); e2 = (1, 1, 0, 0); e3 = (1, 1, 1, 0);	e4	= (1, 1,	1, 1); x = (1, 2, 3, 4).

231

Вариант № 11.

1.Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно

дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

| x(a) | +max | x'(t) | ?

t [a,b]

2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов

x(a1 ,b1 ) , y(a2 ,b2 ) положим: ρ1 (x, y) = max{| a2 − a1 |,| b2 −b1 |} . Доказать, что это метрика.

3.Образуют ли подпространство векторного пространства векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю?

4.Рассмотрим метрическое пространство R2 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых квадратов с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Найти нормированный вектор, ортогональный к векторам

f1 = (1, 1, 1, 1); f2 = (1, −1, −1, 1); f3 = (2, 1, 1, 3).

232

Вариант № 12.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве l2

последовательностей

x = (x1, x2 ,...), (xk

R) ,

удовлетворяющих условию

∞

∞

1 / 2

∑| xk |2 < ∞, с нормой

x

= ∑| xk |2

?

Убедиться, что выполняются

k =1

k =1

аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно.

2. Пусть Х – множество всех пар чисел (a,b). Для любых двух его элементов

x(a1 ,b1 ), y(a2 ,b2 ) положим: ρ2 (x, y) =| a2 − a1 | + | b2 −b1 | . Доказать, что это метрика.

3. Образуют ли подпространство векторного пространства векторы вида

(α, β,α, β,...) ?

4.Рассмотрим метрическое пространство R2 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсами с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Построить ортонормированный базис пространства E 4 , приняв за два вектора этого базиса векторы

f1 = (1/ 2, 1/ 2, 1/ 2, 1/ 2);

f2 = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 2, −5 / 3).

233

Вариант № 13.

1.Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно

дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

| x(a) | + | x'(a) | + || x"||C[a,b] ?

2. Доказать, что множество всех непрерывных функций на [a,b] образует метрическое пространство С’[a,b], если за расстояние между ϕ(x) и ψ(x)

принять число		ρ(ϕ,ψ) = ∫b | ϕ(x) −ψ(x) | dx. Эквивалентны ли			метрики
			a
пространства С[a,b] и C’[a,b]?
3.	Образуют	ли	подпространство	пространства	матриц
M n (F) симметрические матрицы порядка n ?				R2 и соответствующую
4.	Рассмотрим	метрическое пространство

метрическую топологию. Доказать, что множество открытых прямоугольников с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии.

5.	Найти	ортогональный	базис	пространства, порожденного векторами
f1	= (1, 2,	1, 3); f2 = (4, 1,	1, 1);	f3 = (3, 1, 1, 0).

234

Вариант № 14.

1.

Что означает сходимость последовательности в пространстве

l p ( p >1)

последовательностей

x = (x1, x2 ,...), (xk

R) ,

удовлетворяющих

условию

∞

∞

1/ p

∑| xk | p < ∞, с

нормой

x

= ∑| xk | p

?

Убедиться, что

выполняются

k =1

k =1

аксиомы нормы, т.е. норма определена корректно.

2.

Покажите,

что

функция d(x, y) = max[xi − yi ]

определяет

метрику на

множестве наборов из n вещественных чисел.

3.

Образуют

ли

подпространство

пространства

матриц

M n (F) невырожденные матрицы порядка n ?

4.Рассмотрим метрическое пространство R3 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами вращения с центрами, имеющими рациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Найти два вектора, ортогональные между собой и ортогональные векторам

f1 = (1, 1, 1, 2, 1); f2 = (1, 0, 0, 1, − 2); f3 = (2, 1, −1, 0, 2).

235

Вариант № 15.

1.Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно

дифференцируемых на [a,b] функций принять	за норму элемента x(t)
| x(a) | + | x'(b) | + || x"||C[a,b] ?
2. Покажите, что функция d(x, y) = max | x(t) − y(t) |	определяет метрику на
0≤t≤1

множестве X всех непрерывных вещественных функций на замкнутом интервале [0,1].

3. Образуют ли подпространство пространства матриц M n (F) вырожденные матрицы порядка n ?

4.Рассмотрим метрическое пространство R3 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых кубов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Найти два ортогональных и нормированных решения системы уравнений

3x1 − x2 − x3 + x4 = 0,x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0.

236

Вариант № 16.

1.

Что означает сходимость последовательности в пространстве m

ограниченных

последовательностей x = (x1, x2 ,...),

(xk R)

с нормой

x

= sup | xk | ? Убедиться, что

выполняются аксиомы

нормы,

т.е. норма

k

определена корректно.

2.

Покажите, что функция d(x, y) =1 при x ≠ y , d(x, x) = 0

определяет метрику

на произвольном множестве X.

3.

Образуют ли подпространство пространства матриц M n (F) матрицы

порядка n со следом, равным нулю?

4.

Рассмотрим

метрическое

пространство R3

и

соответствующую

метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсоидами, с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.

5. Проверить, что векторы f1 = (1, − 2, 2, −3); f2 = (2, −3, 2, 4) ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса.

237

Вариант № 17.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

max | x(t) | ?

t [a,b]

2.Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой

x= max | x(t) | . Образует ли множество четных функций подпространство в

t [−1,1]

пространстве С[-1, 1]?

3. Пусть RS - пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства RS функции f (x) Rs , принимающие значение a в данной точке s S ?

4. Рассмотрим метрическое пространство R3 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых параллелепипедов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.

5. Проверить, что векторы f1 = (1, 1, 1, 2); f2 = (1, 2, 3, −3) ортогональны и дополнить их до ортогонального базиса.

238

Вариант № 18.

1. Можно ли в линейном пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций принять за норму элемента x(t)

max | x'(t) | ?

t [a,b]

2.							Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой
			x				= max | x(t) | . Образует ли множество многочленов подпространство в
							t [−1,1]
пространстве С[-1, 1] ?
3.							Пусть RS - пространство всех функций, определенных на множестве S и

принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства RS функции f (x) Rs , обращающиеся в нуль хотя бы в одной точке множества S ?

4. Рассмотрим метрическое пространство R2 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых квадратов с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.

5. Найти векторы, дополняющие векторы f1 =(2/3, 1/3, 2/3) и f2 =(1/3, 2/3, −2/3) до ортонормированного базиса.

239

Вариант № 19.

1. Что означает сходимость последовательности в пространстве c0

стремящихся

к нулю последовательностей

x = (x1, x2 ,...),(xk R)

с нормой

x

= max | xk | ?

Убедиться,

что выполняются

аксиомы нормы,

т.е. норма

k

определена корректно.

2. Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой

x

= max | x(t) | .

Образует

ли множество непрерывно дифференцируемых

t [−1,1]

функций подпространство в пространстве С[-1, 1]?

3. Пусть RS - пространство всех функций, определенных на множестве S и принимающих вещественные значения. Образуют ли подпространство пространства RS функции f (x) Rs , имеющие предел a при x → ∞ (при

S = R )?

4.Рассмотрим метрическое пространство R2 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых множеств, ограниченных эллипсами с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.

5.Найти векторы, дополняющие векторы f1 =(1/2, 1/2, 1/2, 1/2) и f2=(1/2, 1/2, −1/2, −1/2) до

ортонормированного базиса.

240