Тест 4 (Топология, часть 1 – Метрические пространства)
1.Пусть задаются непрерывные функции x(t), y(t), z(t),… на [0,1]. Какое из ρ(x,y)
будет удовлетворять всем аксиомам метрики:
а) ρ(x,y)= |x(t) – y(t)|²
б) ρ(x,y)= max| x(t) – y(t)| в) ρ(x,y)= 
| x(t) – y(t)|
г) ρ(x,y)= |
∫ (x(t) – y(t))²dx |
2. Пусть последовательность задана формулой общего члена а) fn = (1+1/n)n;
б) fn = 1/2n; в) fn = n
какая из них фундаментальная?
3.Рассматривается счётное множество счётных множеств как единое множество. Будет ли оно:
а) счётно; б) несчётно?
4.В E³ - трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается какая-то плоскость, например, x + y + 2z = 1 как некоторое подмножество M E3 .
Будет ли это множество а) всюду плотно в E³? б) нигде не плотно в E³? в) ни то, ни другое?
5. На оси OX (- ∞<x<+ ∞) как её подпространство (подмножество) рассматривается
∞ |
|
множество M= ∑ Ti |
Ti = [2 i , 2 i + 1] |
1=1 |
|
Будет ли M
а) всюду плотно в E¹={x (- ∞, + ∞)}? б) нигде не плотно в E¹?
в) ни то, ни другое?
Тест 5 (Топология, часть 2 – Линейные пространства)
Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма двух любых элементов a + b и произведение любого элемента а на число α:
α а.
1.Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых целые числа:
а) да; б) нет.
2.Множество всех векторов, лежащих на одной оси: а) да; б) нет.
3.Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов x, y, z: а) да; б) нет.
4.Множество всех векторов трехмерного пространства, где a + b=[a, b], αа: а) да; б) нет.
5.Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1]: а) да; б) нет.
6.Множество всех нечетных функций, заданных на отрезке [-1,1]: а) да; б) нет.
7.Множество многочленов второй степени от x: а) да; б) нет.
8.Множество столбцов из n элементов: а) да; б) нет.
9.Множество многочленов степени не больше 3 от одной переменной: а) да; б) нет.
10.Множество всех диагональных матриц: а) да; б) нет.
11.Множество всех квадратных матриц: а) да; б) нет.
12.Множество действительных чисел: а) да; б) нет.
Тест 6 (Топология, часть 3 – Нормированные пространства)
Задано пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций (его называют С[a,b]) {x(t)}, t [a,b]. Будет ли выражение
1. |х| = sup|x(t)| t [a,b]
нормой в этом пространстве а) да; б) нет.
2. |х| = ∫в |x(t)|dt
а
а) да; б) нет.
3. Сколькими способами можно вводить норму для некоторого пространства а) одним; б) многими.
4. Задано пространство C[-1,1] непрерывных на отрезке [-1,1] функций {x(t)}, t [a,b]. С нормой
|х| = sup|x(t)|. t [a,b]
Образует ли множество многочленов степени меньшей или равной k подпространство в пространстве C[-1,1]:
а) да; б) нет.
5. В конечномерном нормированном пространстве каждое ограниченное замкнутое множество:
а) компактно; б) не компактно;
в) не обязательно компактно.
263
