6____2004

a , b , c

вектор b . (Точка пересечения существует, так как векторы a и b не коллинеарны.) Тогда C = OC = O A +O B .

Так как вектор O A коллинеарен ненулевому вектору a , то O A = λa . Аналогично, O B = µb , т.е. c = λa + µb .

Или λa + µb + (−1)c = 0 . □

Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы a и b , для любого вектора c , лежащего в одной плоскости с векторами a и b , найдутся такие вещественные числа λ и µ, что c = λa + µb .

Следствие 2. Если векторы a , b , c не компланарны, то они линейно независимы.

1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов

Теорема 1.3. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.

Доказательство.

Исключим случай, когда какая-нибудь тройка из данных четырех векторов компланарна, так как тогда указанная тройка линейно зависима и, следовательно, все четыре вектора линейно зависимы.

Осталось рассмотреть случай, когда среди четырех векторов и d никакая тройка векторов не компланарна.

Приведем все четыре вектора к общему началу О и проведем через конец D вектора d плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов b , c; a, c; a,b . Тогда

.

D

d

=

O

A

+

O

B

+

O

C

.

O A = λa , O B = µb , O C

= γ

c

С

d

Следовательно,

B

E

d

= λa + µb +γc .

b

с

0	a	A	Или λa + µb +γc +(−1)d = 0 . □

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы a , b , c , для любого

вектора d найдутся такие вещественные числа α, µ и γ, что справедливо равенство

d = λa + µb + γc .

21

1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты

Три линейно независимых вектора a , b , c образуют в пространстве базис, если любой вектор d может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a , b , c .

Аналогично определяется базис на плоскости π.

Два лежащих в плоскости π линейно независимых вектора a и b образуют базис на этой плоскости, если любой лежащий в этой плоскости вектор c может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a и b .

Имеют место следующие утверждения:

1.Любая тройка некомпланарных векторов a , b , c образует базис в пространстве;

2.Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов a и b образует базис на этой плоскости.

Теорема 1.4. Каждый вектор d может быть единственным способом разложен по базису a , b , c :

d

= λa + µb +γc .

Числа λ, µ, γ

называются координатами вектора

относительно базиса

d

a ,

,

.

b

c

Доказательство.

Пусть таких разложений два:

d

= λa + µb + γ

c

и d

= λ1 a + µ1b + γ1

c

.

Вычитая почленно, получаем

(λ − λ1 )

a

+ (µ − µ 1 )b

+ (γ − γ 1 )

c

= 0 .

В силу линейной независимости базисных векторов a ,

,

имеем

b

c

λ −λ1 = 0 , µ - µ1 = 0, γ -γ1 = 0, илиλ = λ1 , µ = µ1 ,γ = γ1 .

Единственность разложения по базису доказана. □

Теорема 1.5.

и

При сложении двух векторов d1

d2 их координаты

складываются. При умножении вектора d1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.

Доказательство.

Пусть d1 = λ1a + µ1b +γ1c, d2 = λ2 a + µ2 b + γ2 c .

Тогда в силу свойств линейных операций

22

= (λ1

+ λ2

)a + (µ1 + µ2 )

+ (γ1 + γ 2 )

.

d 1 + d 2

b

c

(αλ 1

)a +

(αµ 1 )b

+ (αγ 1 )

.

α d 1 =

c

В силу единственности разложения по базису теорема доказана.

Аффинная координата в пространстве определяется заданием базиса a , b , c и некоторой точки О, называемой началом координат.

Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора O М (относительно базиса a , b , c ).

Свойства базиса и понятие аффинных координат на плоскости аналогичны случаю пространства.

1.1.8. Проекция вектора на ось

Проекцией			вектора	a =				на ось U
					A		B
называется величина A1B1 направленного
отрезка			оси U, где	A1 , B1				– основания
	A1 B1

перпендикуляров, опущенных на ось U из точек A и B соответственно.

Теорема 1.6.

Проекция

вектора a

на ось U равна длине вектора a ,

умноженной на косинус угла ϕ наклона вектора a к оси U.

Доказательство.

Обозначим через V ось, проходящую

B

через начало A вектора a и имеющую

a

тоже направление, что и ось U, и пусть C –

A

ϕ

C

V

проекция B на ось V.

A ′

B′

U

BAC = ϕ, A1B1 = AC.

Так как по определению

прv a = A1 B1 , то прv a = AC . Но AC =

cosϕ =

a

cosϕ.

AB

Следовательно, прv a =

a

cosϕ . □

1.1.9. Прямоугольная (декартова)

система координат в пространстве

Декартова система координат является частным случаем аффинной системы, отвечающим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных

23

векторов i , j, k . Принято направления векторов i , j, k брать совпадающими с направлением декартовых осей Ox, Oy, Oz соответственно. Нами получено, что любой вектор d может быть разложен, причем единственным способом, по декартову прямоугольному базису i , j, k , т.е.

для каждого вектора d существует единственная тройка чисел X, Y, Z такая, что

d = X i + Y j + Z k .

Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами

вектора d . Если M – любая точка пространства, то декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовыми прямоугольными координатами вектора OM .

= {X ,Y , Z }.

Вектор d

= X i

+ Y j + Z k

будем также записывать в виде d

Теорема

равны

1.7. Декартовы прямоугольные координаты вектора d

проекциям этого вектора на оси OX, OY и OZ соответственно.

Доказательство.

d

С

B

k j

0

i

A

d = OD = O A +OB +OC .

D O A = X i , O B = Yj , O C = Z k

OA = X , так как из OA = Xi и того, что i =1, получаем OA = X .

Но знаки OA и X совпадают, так как когда векторы OA и i направлены в одну сторону, оба числа OA и X положительны, а в случае когда векторы OA и i направлены

в противоположные стороны, оба числа OA и X отрицательны. Т.е. OA = X. Аналогично OB = Y, OC = Z. □

Обозначим α, β, γ углы наклона вектора d к осям Ox, Oy, Oz соответственно.

Числа cosα, cos β, cosγ называют направляющими косинусами вектора d .

Из теорем 1.6 и 1.7 имеем

X =

cos α, Y =

cosβ, Z =

cos γ

(1.2)

d

d

d

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств OA = X, OB = Y, OC = Z получим выражение для длины вектора d через его координаты:

24

			d =	X 2 +Y 2 + Z 2			(1.3)
	Из формул (1.2) и (1.3) имеем:
	cosα =	X	, cosβ =	Y	, cosγ =	Z	.
		X 2 +Y 2 + Z 2		X 2 +Y 2 + Z 2		X 2 +Y 2 + Z 2

Возводя в квадрат и складывая последние равенства, получим cos2 α + cos2 β +cos2 γ =1.

1.2.Скалярное произведение двух векторов

1.2.1.Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение будем обозначать символом (a,b ), тогда если ϕ –

угол между векторами a и b , имеем
(a , b )= a b cos ϕ	(1.4)

Можно сформулировать другое определение скалярного произведения двух векторов. Из теоремы 1.6 имеем:

пр a b = b cos ϕ

(проекция вектора b на ось вектора a ).
Отсюда получаем
(a,b )= a прa b или (a,b )= b прb a .	(1.5)

1.2.2. Геометрические свойства скалярного произведения

Теорема 1.8. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть векторы a и b ортогональны, ϕ- угол между ними. Тогда cosϕ = 0 и, в силу формулы (1.4), (a,b )= 0 .

2) Достаточность.

25

Пусть (a

)= 0. Докажем, что векторы a и

ортогональны.

b

b

Если хотя бы один из векторов a или

является нулевым, то он ортогонален

b

любому вектору. Если же векторы a и

ненулевые, то

a

> 0 ,

> 0 , поэтому

b

b

из равенства (a ,

)=

a

cos ϕ = 0 вытекает, что cosϕ = 0,

т.е. векторы

b

b

ортогональны. □

Замечание. Углом между двумя векторами считаем тот, который не превосходит π. (0 ≤ ϕ ≤ π)

Из формулы (1.4) следует

Теорема 1.9. Два ненулевых вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

1.2.3.Алгебраические свойства скалярного произведения

1.(a,b )= (b , a )

2.((αa ),b )=α(a,b )

3.((a +b ), c )= (a, c )+ (b , c )

4.(a, a )> 0 , если a – ненулевой вектор, и

(a, a )= 0 , если a – нулевой вектор.

Доказательство.

Свойство 1 следует из формулы (1.4).

Свойство 2 получается из формулы (1.5) скалярного произведения:

((αa ),b )= b прb (αa )=α b прb a =α(a,b ).

Свойство 3 получаем из свойств линейности проекции вектора на ось

прc (a +b )= прc a + прc b и формулы (1.5) :

((a + b ), c )= c прc (a + b )= c (прc a + прc b )= c прc a + c прc b = = (a , c )+ (b , c ).

Свойство 4 вытекает из (1.4): (a, a )= a 2 .□

26

1.2.4. Выражение скалярного произведения в декартовых прямоугольных координатах

Теорема 1.10. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a = X1i +Y1 j + Z1k = {X1 ,Y1 , Z1 }, b = X 2i +Y2 j + Z2 k ={X 2 ,Y2 , Z2 },

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

(a,b )= X1 X 2 +Y1Y2 + Z1Z2 .

Доказательство.	(i , i )= i i cos 0 =1 1 1 =1 , также(j, j)=1, (k , k )=1.
По формуле (1.4)

(i , j)= i j cos π2 = 1 1 0 = 0 , также (i , k )= (j,i )= (j, k )= (k ,i )= (k , j)= 0 .

Используя алгебраические свойства скалярного произведения, имеем

(a,b )= X1 X 2 (i ,i )+ X1Y2 (i , j)+ X1Z2 (i , k )+Y1 X 2 (j,i )+Y1Y2 (j, j)+

+Y1Z2 (j, k )+ Z1 X 2 (k ,i )+ Z1Y2 (k , j)+ Z1Z2 (k , k )= X1 X 2 +Y1Y2 + Z1Z2 .

□

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов a ={X1 ,Y1 , Z1} и b ={X 2 ,Y2 , Z2 } является равенство X1 X 2 +Y1Y2 + Z1Z2 = 0 .

Следствие 2.		Угол ϕ между векторами a и			определяется по формуле
				b
cosϕ =		X1 X 2 +Y1Y2 + Z1Z2	.
	+Y 21 + Z 21 X 2 2 +Y 2 2 + Z 2 2
X 21

1.3.Векторное произведение двух векторов

1.3.1.Правые и левые тройки векторов и системы координат

Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из них является первым, какой – вторым и какой – третьим.

То есть запись ab c означает, что первым элементом является вектор a , вторым – b , третьим – c .

Тройка некомпланарных векторов ab c называется правой (левой), если после приведения этих векторов к общему началу с конца вектора c кратчайший

27

поворот от a к b в плоскости, определяемой векторами a и b , виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Правая тройка		Левая тройка

Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Вдальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.

1.3.2.Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c = [a,b ], удовлетворяющий трем условиям:

1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ϕ между ними:

c

=

a

sinϕ ;

(1.6)

b

2)вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b ;

3)вектор c направлен так, что тройка векторов ab c является правой.

1.3.3.Геометрические свойства векторного произведения

Теорема 1.11. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство.

1) Необходимость вытекает из определения векторного произведения.

2) Достаточность.

Пусть [a,b ]= 0 . Докажем, что векторы a и b коллинеарны.

Если хотя бы один из векторов a или b является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.

28

Если же оба вектора a и

ненулевые, то

a

> 0 ,

> 0

и поэтому из равенства

b

b

[a,

]=

a

sin ϕ = 0 следует, что sinϕ = 0, ϕ

= 0,

т.е. векторы a и

b

b

b

коллинеарны. □

Замечание. Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними: Sпар = a b sin ϕ .

Из определения векторного произведения (пункт 1.3.2) получим, что длина (или модуль) векторного произведения [a,b ] равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b : [a , b ] = S пар . В этом и заключается геометрический смысл векторного

произведения.

1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения

Из определения векторного произведения получаем следующие четыре свойства:

1.[a , b ]= −[b , a ];

2.[(αa ),b ]=α[a,b ];

3.[(a +b ), c ]= [a, c ]+[b , c ];

4.[a, a ]= 0 для любого вектора a .

1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую m строк и n столбцов называют матрицей.

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее

элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

a	b
1	1
	b	.
a2		2

Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице, называется число, равное a1b2 −a2b1 и обозначаемое символом

29

a1	b1	= a b		−a b .
a2	b2	1	2	2	1

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:

a		b	c
	1	1		1
a2		b2	c2		.
a	3	b	c	3
		3

Определителем третьего порядка, соответствующим этой матрице,

называется число, обозначаемое символом ∆ и равное

a1 b1 c1

∆ = a2 b2 c2 = a1b2 c3 + b1c2 a3 + c1a2 b3 − c1b2 a3 −b1a2 c3 − a1c2 b3 . a3 b3 c3

Последнюю формулу для удобства запоминания можно записать в виде:

a1

b1

c1

b 2

c 2

a 2

c 2

a 2

b 2

.

∆ =

a 2

b 2

c 2

=

a1

− b1

+ c1

a 3

b3

c 3

b3

c 3

a 3

c 3

a 3

b3

Такая запись называется разложением определителя ∆ по элементам первой строки.

1.3.6. Выражение векторного произведения в декартовых прямоугольных координатах

Теорема 1.12.

Если два вектора a и

определены своими декартовыми

b

прямоугольными координатами

+Y1

={X1 ,Y1 , Z1},

+ Z1k

a = X1i

j

+Y2

={X 2 ,Y2 , Z2 },

b

+ Z2 k

= X 2i

j

то их векторное произведение имеет вид

[a,

]=

(Y1Z2 −Y2 Z1 )i

+(Z1 X 2 −Z2 X1 )

+(X1Y2 − X 2Y1 )k

.

(1.7)

b

j

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя (см. предыдущий пункт) и переписать ее в виде

30