6____2004

a22 ' = a22	−	a	2	, a33 ' = a33		−	a		2	, a23	' = a23 −			a a	,
		12						13						12 13
		a					a							a
	11							11						11
b2 '=b2 −	a b			b3 ' =b3 −	a b				c' = c		−	b 2
	12 1		,			13 1		,				1	.
	a					a
												a
	11					11						11

Особые случаи для уравнения (7.16).

1.Пусть в уравнении (7.16) a11 =0 и a22 ≠0 или a33 ≠ 0 , тогда начнем преобразование с переменной y или z .

2.Пусть в уравнении (7.16) a11 =0, a22 =0 и a33 = 0 . Уравнение в этом случае имеет вид

		2a12 xy +2a13 xz +2a23 yz +2b1x +2b2 y +2b3 z +c = 0 .		(7.16')
Если	a12 =0	, a13 =0 и a23 = 0 , то	уравнение (7.16')	не является
уравнением		поверхности второго	порядка. Пусть a12 ≠0, тогда
сделаем следующую замену:
		x = x'−y',
		y = x'+y'.
Подставив x и	y в (7.16'), получим

2a12 (x'−y')(x'+y') + 2a13 (x'−y')z + 2a23 (x'+y')z + 2b1 (x'−y') + 2b2 (x'+y') + 2b3 z +c = 0 .

Задача свелась к уже рассмотренной:

2a12 x'2 −2a12 y'2 +2(a13 + a23 )x' z + 2(a23 −a13 ) y' z + 2(b1 +b2 )x'+2(b2 −b1 ) y'+2b3 z +c = 0 .

Так как a12

≠ 0 , преобразование Лагранжа начнем с переменной x'2 .

Пусть в уравнении (7.17)

a22 ' ≠ 0 . Тогда выделим в нем группу членов,

содержащих переменную y, и дополним до полного квадрата:

2

2

a23 '

b2 '

2

2

a23

'

z

a22 ' y

+2a23

' yz +

2b2 ' y = a22 '

y

+

2

yz +2

y +

+

a22 '

a22

'

a22

'

a23 'b2

2

a23 '

2

a23 'b2

b2 '

2

'

b2 '

'

2

z −

+2

z +

−

z

−2

=

a22 '

2

a22

'

a22 '

a22 '

a22

'

		a23 '		b2 '		2
							+ F '(z) ,
= a22	' y +		z +
		a22 '		a22
					'

111

где F ' (z) = −

a '2

z

− 2

a

'b '

z

b '2

a22 '

2

a22

'

− a22 ' .

23

23

2

2

a23 '

b2 '

Вводим вторую новую переменную: y' = y +

z +

.

a22 '

a22 '

Тогда уравнение (7.17) запишется в виде

где

a11 x'2 +a22 ' y'2 +a33 '' z2 + 2b3 '' z +c'' = 0 ,

(7.18)

a23 'b2 '

b2 '2

a '' = a

'−

a

23

'2

, b3 ''= b3 '−

, c'' = c'−

.

a22 '

a22

'

a22 '

33

33

Особые случаи для уравнения (7.17).

1.Пусть в уравнении (7.17) a22'=0 и a33 ' ≠ 0 . Тогда проделаем аналогичное преобразование относительно z .

2.Пусть в уравнении (7.17) a22'=0 , a33 ' = 0 , но a23 ' ≠ 0 . Тогда сделаем преобразование аналогично п. 2 для уравнения (7.16).

3.Пусть в уравнении (7.17) a22'=0 , a33 ' = 0 и a23 ' = 0 . В этом случае уравнение (7.17) имеет вид

a11x '2 +2b2 ' y +2b3 ' z +c ' = 0 .

(7.17')

1)Если в уравнении (7.17') b2 ' = 0 и b3 ' = 0 , то в зависимости от значения c' оно определяет пару параллельных плоскостей (15), пару мнимых параллельных плоскостей (16), пару совпадающих плоскостей (17).

2) Если в уравнении (7.17') b2 ' ≠ 0 или b3 ' ≠ 0 , то сделаем замену

y ' = −b2	' y −b3	' z − c '	. Тогда уравнение (7.17') принимает вид
		2

x '2 = 2 1 y ' и определяет параболический цилиндр (12).

a11

Пусть в уравнении (7.18) a33 ' ≠ 0 . Тогда в уравнении (7.18) выделяем группу

членов, содержащих третью переменную z , и дополняем до полного квадрата:

2

a33 '' z2 +2b3

' z +c'' = a33

'' z2

+2

b3 ''

z +

b3 ''

−

b3 ''

2

=

2

a33 ''

a33 ''

a33

''

b3

2

b3

2

''

''

= a33

'' z +

−

a33 ''

.

a33 ''

112

Вводим третью новую переменную:

z'

= z +

b3 ''

. Тогда уравнение (7.18)

a33 ''

запишется в виде

a

x'2 +a

22

' y'2

+a

33

' ' z'2 +c' ' ' = 0 ,

(7.19)

11

где c''' = c''−

b ''2

.

3

a33 ''

Далее, в зависимости от коэффициентов уравнения (7.19), приводим его к одному из канонических видов, указанных в таблице классификации относительно переменных x' , y' , z' .

Особые случаи для уравнения (7.18).

1. Пусть в уравнении (7.18) a33 '' = 0 , но b3 '' ≠ 0 . Тогда сделаем замену z ' = −b3 '' z − c2'' и уравнение (7.18) примет вид a11x '2 +a22 ' y '2 = 2z ' . В

зависимости от знаков a11 и a22 ' это будет либо эллиптический параболоид (7), либо гиперболический параболоид (8).

2.Пусть в уравнении (7.18) a33 '' = 0 и b3 '' = 0 . В этом случае оно имеет вид

a11 x '2 +a22 ' y '2 +c '' = 0 .		(7.18')
1) Если в уравнении (7.18')	c '' ≠ 0 , то в зависимости от знаков a11 ,
a22 ' и c'' оно определяет	эллиптический	цилиндр (9), мнимый

эллиптический цилиндр (10), гиперболический цилиндр (11).

2) Если в уравнении (7.18') c '' = 0 , то в зависимости от знаков a11 и a22 ' оно определяет либо пару пересекающихся плоскостей (13), либо пару мнимых пересекающихся плоскостей (14).

Пример 2.

Привести уравнение
x2 −2y2 + z2 + 4xy −8xz −4yz −14x −4y +14z +18 =0	(7.20)

к каноническому виду методом Лагранжа.

В уравнении (7.20) a11 =1 ≠ 0 . Выделяем в этом уравнении группу членов, содержащих переменную x , и дополняем до полного квадрата:

x2 + 4xy −8xz −14x =(x + 2 y − 4z −7)2 − 4 y2 −16z2 +16 yz + 28y −56z − 49 .

Введем новую переменную: x'= x + 2 y − 4z −7 , тогда уравнение (7.20) запишется в виде

113

x'2 −6 y2 −15z2 +12 yz + 24 y − 42z −31 =0 .

(7.21)

Здесь a22 '=−6 ≠0 . В уравнении (7.21) выделим члены, содержащие переменную y, и дополним их до полного квадрата: −6 y2 +12yz + 24y = −6( y − z −2)2 +6z2 + 24z + 24. Вводим вторую новую переменную: y ' = y − z −2, и уравнение (7.21) запишется в виде

x'2 −6 y'2 −9z2 −18z −7 =0 .

(7.22)

В уравнении (7.22) a33 '' = −9 ≠ 0 . Выделим здесь члены, содержащие переменную z , и дополним их до полного квадрата: −9z2 −18z =−9(z +1)2 +9.

Вводим третью новую переменную: z'= z +1 и уравнение (7.22) запишется в виде

x'2 −6 y'2 −9z'2 +2 =0 .								(7.23)
Приводим уравнение (7.23) к каноническому виду:
−	x'2	+		y'2	+	z'2		=1.
						2 / 9
2			1/ 3

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид.

114

Тема 8. Множества

8.1. Основные понятия о множествах, логическая символика

Множество – есть исходное, начальное (а, следовательно, и неопределяемое) понятие. Можно лишь сказать, что множество есть совокупность объектов. Объекты этой совокупности называются элементами множества.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если множество состоит из n элементов, то это обозначают следующим образом:

A = {x1, x2, …, xn} = {xk : k = 1, 2 , …, n}.

Часто приходится иметь дело с бесконечными множествами. Таковы, например, множества всех натуральных чисел, всех нечетных чисел и т.д.

К числу конечных множеств мы будем относить и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Такое множество обозначим символом .

Если элемент x принадлежит множеству A, то пишут x A.

Запись x A , или x A означает, что x не есть элемент множества A.

Запись A B (или B A) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B или, другими словами, множество A есть подмножество множества B (или множество B включает в себя множество A).

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов; запись: A = B.

Если A есть подмножество В, причем множество А не совпадает с множеством В, то пишут А В или В А.

Если множество А не является подмножеством В, то пишут А В. Знаки ,

, , называются знаками включения.

8.2.Операции над множествами

1.Объединение А В

Множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств, называется объединением множеств А и В.

115

Указанное определение легко распространяется на случай трех и более множеств

A B ≡ {x : (x A) или (x B)}

A	B	Множество А В заштриховано на диаграмме.

Пример 1.

А= {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2},

АВ = {1, 2, 3, 4, 5}.

Множество А В по определению не содержит неразличимых элементов и, следовательно, элементы 1 и 2, входящие в множества А и В, входят в А В один раз.

2. Пересечение A ∩ В

Пересечением множеств А и В есть множество элементов, принадлежащих
одновременно и А и В.
		A ∩B ≡{x : (x A) и (x B)}
A	B	Множество А ∩ В заштриховано на диаграмме.

Пример 2.

А{1, 2, 3, 4, 5}; В{1, 2}

А∩ В = {1, 2}.

Два множества А и В называются непересекающимися, если А ∩ В = 0.

3. Разность А \ В

Разностью множеств А и В называется совокупность тех элементов А, которые не содержатся в В.

A \ B ≡{x : (x A) (x B)}

A	B	Множество А \ В заштриховано на диаграмме.

Пример 3.

А= {1, 2, 3, 4, 5}, В = {1, 2}

А\ В = {3, 4, 5}.

116

8.3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств

Если каждому элементу множества А сопоставлен единственный элемент множества В и при этом соответствии всякий элемент множества В сопоставляется одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие.

Множества, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными. Это записывается следующим образом: А В. Если два множества эквивалентны, то говорят, что они равномощны, или имеют одну и ту же мощность.

Пусть имеются два множества А и В и пусть а А, b В. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (a,b) составляет новое множество, называемое прямым произведением А и В. Прямое произведение обозначается A × B.

8.4. Вещественные числа и их изображение на числовой оси

Основным понятием математики являются натуральные числа: N ≡ {1, 2, 3, …, n, …}, которые появились в результате счета предметов.

Целые числа: Z ≡ {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Рациональным числом называется число, представимое в виде

p

отношения двух целых чисел q (q ≠ 0; p и q – целые числа). Отметим при этом, что одно и то же рациональное число представимо в виде

	отношения различных целых чисел	2		=		4	=	6	=....
		3				6		9
	Множество всех рациональных чисел будем обозначать через Q, тогда
	Q ={x : x =		p		;	p, q Z , q ≠ 0}.
			q

В курсе элементарной математики вводились определения операций сложения и умножения рациональных чисел, давалось правило сравнения этих чисел, доказывались простейшие свойства.

117

Поэтому перечислим без доказательства основные правила действий с рациональными числами и их свойства, вытекающие из соответствующих правил и их свойств для целых чисел.

I. Правило сравнения: любые два целых числа a и b связаны одним и только одним из трех знаков >, <, =, причем если a>b, то b<a.

Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два

	неотрицательных рациональных числа a =	p1	и	b =	p2		связаны тем же
		q			q	2
		1

знаком, что и два целых числа p1q2 и p2q1; два неположительных рациональных числа a и b связаны тем же знаком, что и два неотрицательных числа |b| и |a| ; если а – неотрицательное, а b – отрицательное число, то а>b.

Свойства:

1.если а>b и b>с, то a>c (свойство транзитивности знака);

2.если а=b и b=с, то a=c (свойство равенства);

II. Правило сложения.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с = а+b.

Если

a =

p1

и

b =

p2

, то

их сумма определяется

формулой

q

q

2

1

p1

+

p2

=

p1q2 + p2 q1

.

Операция

нахождения суммы

называется

q1

q2

q1q2

сложением.

Свойства:

3.a+b=b+a (коммутативность, или переместительное свойство);

4.(a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность, или сочетательное свойство);

5.0 Q : a Q a + 0 = a (существование нулевого элемента);

6.a Q a′ Q : a + a′=0 (существование противоположного элемента для числа а, обозначается a′ = (−a) ).

III. Правило умножения.

Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с = аb.

118

Если

a =

m1

и

b =

m2

, то их произведение определяется формулой

n

n

2

1

m1

m2

=

m1m2

.

n

n

2

n n

2

1

1

Свойства:

7.a,b Q ab= ba (коммутативность);

8.a,b,c Q : (ab)c = a(bc) (ассоциативность);

9.1 Q : a Q a 1=a (существование единичного элемента);

~~ =

10.a 0 a Q a Q : a a 1 (существование обратного

элемента для числа а, обозначается a	−1	~
		= a ).

Свойство, связывающее правила сложения и умножения:

11. a,b,c Q (a+b)c = ac+bc (распределительное свойство умножения относительно суммы).

Свойства, связывающие знак ’ >’ со знаком сложения и умножения:

12.a,b,c Q : a>b a+c > b+c.

13.a,b,c Q : (a>b) (c>0) ac>bc.

Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемыми столько раз, что полученная сумма превзойдет а.

Из вышеперечисленных основных свойств рациональных чисел могут быть получены как следствие все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся как к арифметическим действиям, так и к сочетанию равенств и неравенств.

Поставим в соответствие каждой точке М числовой оси некоторое число, выражающее длину отрезка ОМ. Это число считается положительным, если точка М лежит справа от точки О и отрицательным – в противоположном случае.

Очевидно, что каждому рациональному числу соответствует на числовой оси единственная точка.

Однако, из курса элементарной математики известно, что наряду с соизмеримыми отрезками (отрезками, отношение длин которых выражается рациональным числом) существуют и несоизмеримые отрезки (примером несоизмеримых отрезков могут служить сторона и высота равностороннего

119

треугольника). Это позволяет утверждать, что не все точки числовой оси соответствуют рациональным числам.

Естественно, возникает потребность расширить область рациональных чисел.

Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть действительными. Множество всех действительных чисел будем обозначать через R.

Данное действительное число мы будем считать положительным (отрицательным), если оно представимо в виде положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби.

В состав множества действительных чисел входят и все рациональные числа, ибо все они представимы в виде бесконечных десятичных дробей.

Так, рациональному числу	1	ставится в	соответствие			бесконечная
	2
десятичная дробь 0,4999…9…,		рациональному	числу	4	–	бесконечная
				3

десятичная дробь 1,333…3… .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называют

иррациональными.

На случай произвольных действительных чисел переносятся три правила и все основные свойства рациональных чисел, перечисленные выше. Рассмотрим произвольное множество действительных чисел, которое будем обозначать символом X. Будем предполагать, что множество X содержит хотя бы одно число (непустое множество). Обозначение: X= .

Множество действительных чисел X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству x ≤ M (x ≥ M ) .

Множество, равномощное с множеством натуральных чисел, называется

счетным.

Таким образом, если X счетно, то между множеством Х и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, как говорят, можно занумеровать элементы множества X, понимая под номером каждого элемента x X соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число.

Счетные множества являются в некотором смысле простейшими бесконечными множествами. Именно справедлива следующая лемма.

120