6____2004
.pdf
Вариант № 19.
1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между
его директрисами равно 10 23 и эксцентриситет ε = 34 .
2.Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы F1(3; 4), F2(-3; -4) и расстояние между директрисами 3,6.
3.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса
x −5 = 0 .
4. Привести уравнение 2x2 −3y2 + 20x + 6 y + 22 = 0 к простейшему виду; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: 8x2 − 4 y2 + 2z 2 − 48 = 0.
Вариант № 20.
1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 23 ,
фокус F(2; 1) и уравнение соответствующей директрисы x −5 = 0 .
2. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что ее оси
2a =10 и 2b = 8 .
3. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку А(1; 1).
4. Привести уравнение 7x2 −5y2 −14x − 20 y + 22 = 0 к простейшему виду
путем параллельного переноса осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно старых и новых осей координат.
5. Определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат Ox, Oy, Oz: 4x2 −9 y2 +36z 2 −16x −54 y −72z −65 = 0.
211
Вариант № 3.
1. Определить вид кривой 2x2 −3xy − y2 +3x + 2 y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности
5x 2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2xy − 4 yz + 2zx − 4 y − 4z + 4 = 0
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить тип кривой 9x2 |
−6xy + y2 + 2x −7 = 0 методом инвариантов. |
|
|
Вариант № 4. |
1. |
Определить вид кривой |
x2 − 2xy + y2 − 4x −6 y +3 = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
2. |
Определить вид поверхности x2 − 2 y 2 + z 2 + 6 yz − 4zx −8x +10 y = 0 |
|
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
3. |
Привести уравнение x2 − 4xy +3y2 + 2x − 2 y = 0 к простейшему виду, |
|
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 методом инвариантов.
213
Вариант № 5.
1. Определить вид кривой 3x2 − 2xy +3y2 + 4x + 4 y − 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности
4 x 2 + y 2 + 9 z 2 − 4 xy − 6 yz +12 zx + 8x − 4 y +12 z − 5 = 0
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение x 2 − 2xy − 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить тип кривой x2 |
− 2xy + y2 − 4x −6 y +3 = 0 методом инвариантов. |
|
|
Вариант № 6. |
1. |
Определить вид кривой |
x2 + 6xy +9 y2 + 4x +12 y −5 = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
2. |
Определить вид поверхности x2 + 4 y 2 + 5z 2 + 4xy −12x + 6 y −9 = 0 |
|
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
3. |
Привести уравнение 2x2 −6xy +5y2 − 2x + 2 y −10 = 0 к простейшему виду, |
|
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 3x2 − 2xy + 4 = 0 методом инвариантов.
214
Вариант № 7.
1. Определить вид кривой 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности 3x2 + 2 y 2 + 4 yz − 2zx − 4x −8z −8 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 9x2 −12xy + 4 y2 −1 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить тип кривой 7xy −3 = 0 методом инвариантов. |
|
Вариант № 8. |
1. |
Определить вид кривой x2 − 2xy −3y2 − 4x −6 y +3 = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
|
2. |
Определить вид поверхности |
x2 + 25 y 2 + 9z 2 −10xy −30 yz + 6zx − 2x − 2 y = 0 |
|
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
|
3. |
Привести уравнение x2 − 4xy + 4 y2 +10x − 20 y + 25 = 0 к простейшему виду, |
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 2x2 −6xy +5y2 − 2x + 2 y −10 = 0 методом инвариантов.
215
Вариант № 9.
1. Определить вид кривой 9x2 −6xy + y2 + 2x −7 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности x2 + 2 y 2 + 2z 2 + 2xy − 2x − 4 y − 4z = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 3x2 − 2xy + 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. Определить тип кривой 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 методом инвариантов.
Вариант № 10.
1. Определить вид кривой 5x2 −3xy + y2 + 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности y 2 + 3xy + 2 yz + zx + 3x + 2 y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение x2 − xy − y2 − x − y = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. Определить тип кривой x2 + 6xy +9 y2 + 4x +12 y −5 = 0 методом инвариантов.
216
Вариант № 11.
1. Определить вид кривой x 2 − 2xy − 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности 9x2 − 4 y 2 −91z 2 − 40 yz +18zx −36 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 3x2 − 2xy +3y2 + 4x + 4 y − 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить тип кривой 9x2 |
−12xy + 4 y2 −1 = 0 методом инвариантов. |
|
|
Вариант № 12. |
1. |
Определить вид кривой |
x2 − 4xy + 4 y2 +10x − 20 y + 25 = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
2. |
Определить вид поверхности |
|
2x2 −3z 2 + 4xy + 2 yz −5zx −8x −12 y +17 z + 6 = 0 |
||
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
||
3. |
Привести уравнение x2 − 2xy −3y2 − 4x −6 y +3 = 0 к простейшему виду, |
|
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой 3x2 + 2xy +3y2 + 6x − 2 y −5 = 0 методом инвариантов.
217
|
|
|
Вариант № 13. |
|
|
1. |
Определить |
вид кривой |
3x2 − 2xy + 4 = 0 приведением |
ее уравнения к |
|
каноническому виду методом Лагранжа. |
|
||||
2. Определить вид поверхности x2 −5z 2 |
+ 3xy + 2 yz − 7x − 6 y − 2z +10 = 0 |
||||
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
|||||
3. |
Привести |
уравнение |
7xy −3 = 0 |
к простейшему |
виду, используя |
преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить |
тип кривой |
x2 − 4xy + 4 y2 +10x − 20 y + 25 = 0 методом |
инвариантов. |
|
|
|
|
|
Вариант № 14. |
|
1. |
Определить |
вид кривой 2x2 |
−6xy +5y2 − 2x + 2 y −10 = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности x2 + 2 y 2 + 4z 2 − 2xy − 4 yz + 2x − 2 y − 4 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение x2 + 6xy +9 y2 + 4x +12 y −5 = 0 к простейшему виду,
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 + 6xy + y2 + 6x + 2 y −1 = 0 методом инвариантов.
218
Вариант № 15.
1. Определить вид кривой 9x2 −12xy + 4 y2 −1 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности x2 + 3y 2 +8z 2 + 2xy +8 yz − 4x +8z + 6 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 2x2 − 4xy +5y2 −8x + 6 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 − 2xy −3y2 − 4x −6 y +3 = 0 методом инвариантов.
Вариант № 16.
1. Определить вид кривой x2 − xy − y2 − x − y = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности 6x 2 − 2 y 2 + 6z 2 + 4zx +8x − 4 y −8z +1 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 5x2 −3xy + y2 + 4 = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. Определить тип кривой x2 + 2xy + y2 + 2x + 2 y − 4 = 0 методом инвариантов.
219
Вариант № 17.
1. Определить вид кривой 7x2 + 4xy + 4 y2 − 40x −32 y +5 = 0 приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
2. Определить вид поверхности
x 2 − 2 y 2 + z 2 + 4 xy − 8zx − 4 yz −14 x − 4 y +14 z +16 = 0
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа.
3. Привести уравнение 2x2 −3xy − y2 +3x + 2 y = 0 к простейшему виду, используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат.
4. |
Определить тип кривой 4x2 − 4xy + y2 + 4x − 2 y +1 = 0 методом инвариантов. |
|
Вариант № 18. |
1. |
Определить вид кривой x2 − 4xy +3y2 + 2x − 2 y = 0 приведением ее |
уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
|
2. |
Определить вид поверхности |
x 2 + y 2 + 5z 2 − 6xy + 2zx − 2 yz − 4x + 8 y −12 z +14 = 0 |
|
приведением ее уравнения к каноническому виду методом Лагранжа. |
|
3. |
Привести уравнение x2 − 2xy + y2 − 4x −6 y +3 = 0 к простейшему виду, |
используя преобразования параллельного переноса и поворота осей координат; определить его тип; установить, какой геометрический образ оно определяет; изобразить на чертеже образ относительно осей координат. 4. Определить тип кривой x2 − 2xy + 2 y2 − 4x −6 y +3 = 0 методом инвариантов.
220