6____2004

начало координат возьмем середину O отрезка от точки F до данной прямой, равного p (рис. 6.4).

	p
	Координаты точки F будут:		, 0 .
		2

Обозначим через x и y координаты произвольной точки M параболы.

Координаты точки K будут:			p					p
		−	2	,	y .	K	−		, y
								2

Так как по определению		FM = MK, то,
применяя формулу расстояния между двумя
точками, получим:
(x − p )2 + y 2	=	(x + p )2 .	-p/2
2		2

Возводя обе части в квадрат, найдем:

	p		2	2		p		2
x −			+ y		= x +		,
	2					2

или

x	2	+ px +	p2	+ y	2	= x	2	+ px +	p2	,
			4						4

откуда

y2 = 2 px.

M(x, y)

F

0 p/2

рис. 6.4

(6.8)

Чтобы исследовать форму параболы по ее уравнению (6.8), заметим, что x может принимать лишь положительные значения, т.е. все точки параболы лежат справа от оси OY. Каждому значению x соответствуют два значения y, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, т.е. кривая симметрично расположена относительно оси OX. С увеличением x ордината y увеличивается, причем, когда x неограниченно растет, то y тоже неограниченно растет, отсюда, форма кривой имеет вид, данный на рис. 6.4. Парабола имеет одну ось симметрии, один фокус F, одну вершину в точке O. Данная прямая является директрисой параболы.

Замечание. При точном вычерчивании эллипса, гиперболы и параболы нужно иметь на чертеже ряд точек этих кривых. Координаты этих точек мы получим, задавая произвольно их абсциссы и определяя ординаты из уравнения кривой.

Все три рассмотренные типа линий (эллипс, гипербола, парабола) могут быть получены путем пересечения круглого конуса плоскостью, а потому они называются коническими сечениями.

81

6.7. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы при помощи циркуля и линейки

y

y

В

M

В

M

c

F′

a

F

x

F′

0

F x

A

0

A′

A′

A

M′

2a

M′

2a

рис. 6.5

рис. 6.6

Из уравнения эллипса (6.4) определяем a и b, изображая их отрезками OA и OB на осях координат (рис. 6.5). Из точки B как центра радиусом, равным a, описываем окружность, которая в пересечении с осью OX даст фокусы

эллипса F и F', так как при таком построении	соблюдается зависимость:
с2 = а2 −b2 . Найдя фокус эллипса, делим отрезок	2a произвольно на две

части: r и r' = 2a – r и радиусами, равными r и r', описываем две окружности, принимая за их центры фокусы F и F'. Эти окружности пересекутся в двух точках M и M', лежащих на эллипсе, так как сумма расстояний каждой из этих точек до фокусов будет равна 2a. Меняя r, будем получать новые точки эллипса.

Аналогично проводится	построение		точек		y
гиперболы. Определяя из уравнения гиперболы
(6.7) a и b, изображаем их отрезками OA и OB				d	M
на осях координат (рис. 6.6). Из точки O как из
центра радиусом, равным	r	= c	= AB,

описываем окружность, которая в пересечении										F	x
с осью OX даст фокусы гиперболы F и F ′.
Найдя фокусы гиперболы, описываем из них, K									0
как из центров, две окружности радиусов r и							r'		p
= 2a + r, где		r произвольно. Эти окружности в
пересечении		дадут	точки		M и	M′ правой			M′
ветви	гиперболы,			так	как	разность
расстояний		каждой		из	этих	точек	до
фокусов	будет		равна r′		– r = 2a. Меняя r,				рис. 6.7

82

будем получать новые точки правой ветви гиперболы. Изменяя роль фокусов, получим точки левой ветви гиперболы.

Перейдем, наконец, к построению точек параболы. Прежде всего, строим фокус и директрису параболы, откладывая по оси OX отрезок OF, равный 2p ,

вправо от O, такой же отрезок OK – влево от O и проводя через точку K прямую, перпендикулярную фокальной оси (рис. 6.7). Параметр p определяется из уравнения параболы. Проводим прямую, перпендикулярную

	к фокальной оси, на произвольном расстоянии		p		от директрисы и из
		d d >
			2

фокуса F, как из центра, описываем окружность радиуса d. Прямая линия и окружность пересекаются в точках M и M', которые принадлежат параболе, так как для каждой из этих точек расстояния до фокуса и директрисы равны между собой.

6.8. Классификация линий второго порядка на плоскости

Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя переменными) имеет вид:

			a11 x2	+ 2a12 xy + a22 y2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,	(6.9)
где a11	2 + a12	2 + a22	2 ≠ 0.	Группа слагаемых a11 x2 +2a12 xy +a22 y2	называется
квадратичной частью				уравнения (6.9), группа слагаемых 2a13 x + 2a23 y −
линейной частью, а a33				− свободным членом.

Приведем без доказательства следующую теорему о классификации линий второго порядка на плоскости.

Теорема. Уравнение (6.9), где a112 + a12 2 + a22 2 ≠ 0, заданное в прямоугольной

декартовой системе координат, определяет одну и только одну из следующих линий (в некоторой прямоугольной системе координат):

1)	x2	+			y2		=1, a ≥ b > 0 (эллипс, а при a = b – окружность);
	a2				b2
2)	x2		+		y 2		= −1 (мнимый эллипс);
	a2				b2

83

	3)	x2	+			y 2			= 0	(пара мнимых пересекающихся прямых);
		a2				b2
	4)	x2	−		y2				=1 (гипербола);
		a2
						b2
	5)	x2	−		y 2				= 0	(пара пересекающихся прямых);
		a2
						b2
	6)	y2	= 2 px ,							p > 0 (парабола);

7)y2 = a2 , a ≠ 0 (пара параллельных прямых);

8)y 2 = −a2 , a ≠ 0 (пара мнимых параллельных прямых);

9)y 2 = 0 (пара совпадающих прямых).

6.9.Приведение уравнения второго порядка на плоскости к каноническому виду

6.9.1.Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов)

1.Пусть в общем уравнении (6.9) a11 ≠ 0 . Выделим полный квадрат в группе членов, содержащих переменную x :

a

12

2

a

12

2

a

x 2 + 2a

x y + 2a

x =

a

x +

y

+ a

− a

y + a

.

11

12

13

11

13

11

13

a11

Положим

a11

a12

x

′

= x

y + a13.

(6.10)

+ a

Тогда уравнение (6.9) примет вид

11

(6.11)

a11 x

′2

′

2

′

′

+ a22 y

+ 2a23 y

+ a33 = 0.

′

≠ 0 , то, положив

Если a 22

′

′

y

= y

+

a23

,

(6.12)

′

a22

приводим уравнение (6.11) к уравнению

a11a22 ≠ 0 ,

(6.13)

a11 x

′2

′

2

′′

+a22 y

+a33 = 0,

которое является приведенным уравнением I типа.

′

= 0 , то

Если в уравнении (6.11) a22

•

в случае когда

′

= 0 , уравнение (6.11)

является приведенным

a23

уравнением типа III;

′

′

′

•

в случае когда

a23

≠ 0

,

положив y

= y

+

, приводим уравнение

′

(6.11) к уравнению

2a23

a11 x

′2

′

,

+2a13 y = 0, a11a13 ≠ 0

84

которое является приведенным уравнением II типа.

2. Пусть в общем уравнении (6.9) a11 = 0, a22 ≠ 0 . Поступая так же как в п. 1 (с точностью до названия переменных), освобождаемся от слагаемого 2a12 xy и линейной части (если это возможно) и приводим к приведенным уравнениям, не изменив знаков инвариантов I2 , K3 .

3. Пусть в общем уравнении (6.9) a11			= 0,		a22		= 0 . Тогда a12 ≠ 0 . Положив
′	′		′		′	,	(6.14)
x = x	+ y ,	y = x		− y

сводим этот случай к уже рассмотренным.

Пример 2.

Определить вид кривой, координаты центра (если он существует), координаты фокусов, координаты вершин, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис, асимптот для гиперболы и величину параметра p в

случае параболы.

y

y=11/2

1) 9x2 +5y2 +54x −10y + 41 = 0 .

Группируем члены, содержащие переменные x и y:

B2

(9x2 +54x) + (5y 2 −10 y) + 41 = 0.

Вынося за скобки коэффициенты перед x 2 и y 2

и

F2

выделяя полные квадраты, получим:

9(x2 + 6x +9) −81 +5( y 2 − 2 y +1) −5

+ 41 = 0,

O

9(x +3)2 +5( y −1)2 = 45

A1

A2

или

0

x

(x +3)

2

+

( y −1)

2

=1.

5

9

F1

Это уравнение определяет эллипс с

центром

в

точке О(-3; 1) (рис. 6.8).

y=-7/2

Полуоси: a = 5; b = 3; c = 9 −5 =

2.

Фокусы F2 (−3;3), F1 (−3;−1).

Так как b > a ,

то

рис. 6.8

эксцентриситет ε =

c

, т.е. ε

=

2

.

3

b

b

3

11

7

Уравнения директрис имеют вид y −1 = ±

, т.е.

y −1 = ±

y =

,

y = −

.

ε

2 / 3

2

2

2)16x2 −9 y 2 −64x −54 y −161 = 0 .

Группируем члены, содержащие переменные x и y, выносим за скобки коэффициенты перед x 2 , y 2 и, выделяя полные квадраты, получаем:

16(x2 − 4x + 4) −64 −9( y 2 + 6 y +9) +81 −161 = 0, 16(x − 2)2 −9( y +3)2 =144

или

85

(x −2)2

( y +3)2

−

=1.

9

16

Это уравнение определяет гиперболу с центром в точке О(2; -3).

Полуоси: a = 3;

b = 4;

c =

9 +16 = 5.

Фокусы

F (7;−3), F (−3;−3).

Эксцентриситет

ε =

5

, тогда уравнения

директрис

2

1

3

a

3

имеют

вид

x − 2 = ±

, т.е. x − 2 = ±

5x −1 = 0, 5x −19 = 0.

Асимптоты

ε

5 / 3

определяются уравнениями y +3 = ± ba (x − 2), т.е. 4x −3y −17 = 0 и 4x +3y +1 = 0.

3) 4 y 2 +16x −12 y −7 = 0.

Преобразуем данное уравнение следующим образом: 4( y 2 −3y) = −16x + 7;

4( y 2 − 2(3 / 2) y +9 / 4) = −16x + 7 +9; ( y −3 / 2)2 = −4(x −1).

Это уравнение определяет параболу, вершина которой лежит в точке A(1; 32). Ось симметрии определяется уравнением y = 32 . Ветви параболы располагаются слева от

вершины. Параметр параболы p равен 2. Фокус имеет координаты (1 − p / 2; 3 / 2) , т.е. (0; 3 / 2). Директриса определяется уравнением x −1 = 2 / 2 x = 2.

6.9.2. Центр линии второго порядка на плоскости

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются

центральными.

Точка S(x0 , y0 ) является центром линии, определяемой уравнением (6.9), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

a		x		+ a	y		+ a	= 0,	(6.15)
	11		0	12		0	13
a12 x0				+ a22 y0 + a23 = 0.

Обозначим через δ определитель этой системы:

δ =	a11	a12		.
	a	a	22
	12

Величина δ составляется из коэффициентов при старших членах уравнения

(6.9) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения.

86

Если δ ≠ 0 , то система (6.15) имеет единственное решение. В этом случае координаты центра определяются формулами:

a12

a13

a13

a11

x0 =

a22

a23

,

y0 =

a23

a12

.

a

a

a

a

11

12

11

12

a12

a22

a12

a22

Если S(x0 , y0 ) – центр линии второго порядка, то после переноса начала

координат в центр линии, что соответствует следующему преобразованию: x =ξ + x0 , y =η + y0 ,

ее уравнение примет вид

a11ξ 2 + 2a12ξη + a22η2 + a33′ = 0,

где a33′ = a13 x0 + a23 y0 + a33 .

При δ ≠ 0 имеет место также следующая формула:

	′	=	∆	,
	a33		δ
где
	a11	a12		a13		.
∆ =	a12	a22		a23
	a13	a23		a33

Определитель ∆ называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

6.9.3. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка

Уравнение

a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2

+ 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 ,

(6.16)

определяющее центральную линию

второго

порядка

(δ = a11a22 − a12

2 ≠ 0) ,

можно привести к простейшему виду

22η

+ a33 =

0 ,

(6.17)

a11ξ

+ a

′

2

′

2

′

′

′

где a11

≠ 0 , a22 ≠ 0 .

Преобразуя уравнение (6.16) по формулам

где x0 ,

x = ξ + x0 ,

y =η + y0 ,

y0 - координаты центра, получим:

,

a11ξ

2

+ 2a12ξη + a22η

2

′

= 0

+ a33

87

где a33′ = a13 x0 + a23 y0 + a33 или a33′ = δ∆ .

Если a12 = 0 , то уравнение (6.16) уже приведено к простейшему виду (6.17) и дальнейшие преобразования не нужны. В противном случае упрощение завершается поворотом осей на угол α :

ξ0

=ξ cosα −ηsinα,

η0 =ξ sinα +ηcosα ,

где α удовлетворяет

условию tg 2α =

2a12

. Если

a11 = a22 , то α нужно

a − a

22

считать равным π / 4 .

11

Пример 3.

Привести уравнение к каноническому виду и определить его тип.

3x2 +10xy +3y2 −2x −14 y −13 = 0.

Так как

3

5

δ =

= −16 ≠ 0,

5

3

поэтому координаты центра находим по формулам:

5

−1

x0

=

3

−7

= 2 ,

δ

−1

3

x0

=

−7

5

= −1.

δ

Перенесем центр линии в начало координат, сделав следующие преобразования:

x =ξ +2 ,

y =η −1.

Уравнение примет вид:

3ξ2 +10 ξη +3η2 −8 = 0.

Теперь завершим преобразование поворотом осей на угол α =π / 4 :

ξ =

2 (u - v) ,

η =

2

(u + v).

2

2

Получим уравнение гиперболы:

u2 − v2 =1.

4

6.9.4. Приведение к простейшему виду параболического уравнения

Пусть уравнение (6.16) является параболическим,

т.е. δ = a11a22 − a12

2 = 0 .

Тогда линия, определяемая уравнением (6.16), либо не имеет центра,

либо

88

имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения начинают с поворота координатных осей:

x =ξ cosα −ηsinα,

y =ξ sinα +ηcosα ,

где tg 2α =

2a12

при

a11

≠ a22

и α = π

при

a11 = a22 .

В новых координатах

a

− a

22

4

11

уравнение (6.16) приводится либо к виду

,

≠ 0 ,

′

2

+

′

′

= 0

′

либо к виду

a11ξ

2a13ξ + 2a23η + a33

где a11

′

2

+

′

′

= 0

,

′

≠ 0 .

a22η

2a13ξ + 2a23η + a33

где a22

Дальнейшее упрощение достигается путем параллельного переноса повернутых осей.

6.9.5.Классификация линий второго порядка по инвариантам

6.9.5.1.Компактная запись общего уравнения

Положим

A =	a11	a12		,	b =	a13		,	X =	x .
	a	a	22			a	23			y
	12

Матрица A называется матрицей квадратичной части. В этих обозначениях уравнение (6.16) может быть записано в более компактной форме

X T AX +2bT X +a33 = 0, A = AT , A ≠ 0.

Введем новую матрицу

a11

a12

a13

A

b

B =

a12

a22

a23

=

,

(6.18)

a

bT

33

a23

a13

a33

где

A =

a11

a12

,

b =

a13 ,

bT = [a

a

].

a

a

22

a

13

23

12

23

Числа I1 =tr A,

I2 =

A

,

K3

=

B

называются инвариантами линии второго

порядка, число

K2 =

a11

a13

+

a22

a23

−

полуинвариантом.

a

a

33

a

23

a

33

13

6.9.5.2. Характеристический многочлен

Характеристическим

многочленом

матрицы A = (aij ) Rn×n называется

функция f (λ) , определенная равенством

f (λ) =| A −λI | .

(6.19)

89

Легко проверить, что:

1.

если n = 2 , то

f (λ) = (−λ)2 +a1 (−λ) +a0 , где

a1 =tr A, a0 =| A | ;

2.

если n = 3 , то

f (λ) = (−λ)3 + a2 (−λ)2

+ a1 (−λ) + a0 , где

a2 =tr A , a1 =

a11

a12

+

a11

a13

+

a22

a23

, a0 =| A | .

a21

a22

a31

a33

a32

a33

(6.20)

(6.21)

Главным минором называется минор, расположенный в строках и столбцах с одинаковыми номерами.

Матрицы A, B Rn×n называются подобными, если существует невырожденная матрица Q такая, что

A =Q−1BQ.

(6.22)

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

Следствие. У подобных матриц второго порядка совпадают следы и определители. У подобных матриц третьего порядка совпадают следы, суммы главных миноров второго порядка и определители.

6.9.5.3. Преобразования общего уравнения

Пусть исходная декартова система координат Oxy соответствует началу O и базису e = (e1 ,e2 ) . Переход к новой системе координат O′x′y′ означает

перенос начала в точку O′(x0′, y0′)							и преобразование базиса eQ = e′с матрицей
перехода					Q . При	этом старые	координаты X = (x, y)T связаны с новыми
X	′		′	′ T	формулами преобразования координат:
		= (x , y )
		1.	X	=	a + X ′,	a = ( x 0′ , y 0′ ) T , в случае переноса начала;
		2.	X =QX ′, в случае преобразования базиса.

Теорема. При переходе к новому базису e′ = eQ общее уравнение (6.16) преобразуется в уравнение

где								X ′T A′X ′+ 2b′T X ′+ a33 = 0,		(6.23)
	′	T	AQ,	b	′	= Q	T	b, при этом:
	A = Q
1.	знаки инвариантов I2 , K3								не изменяются;
2.	в случае,			когда e и e′					− ортонормированные базисы,	инварианты
	I1 , I2 , K3 и полуинвариант K2 не изменяются.

Замечание. Отметим, что при переходе к новому базису свободный член не изменяется.

90