3.7. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (рис. 3.8). Пусть система движется с постоянной скоростьюотносительно другой системыK. Выберем оси координат систем так, чтобы осиxисовпадали и были направлены вдоль вектора. За начало отсчета времени берем момент, когда начала координатОисовпадали. Пусть– радиус-вектор точкиМв системеК, а– радиус-вектор той же точки в системе. Соотношение междуиимеет вид:

= +. (3.13)

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от системы отсчета, т.е.

. (3.14)

Соотношения (3.13) и (3.14) представляют собой так называемые преобразования Галилея. В проекции на оси координат эти преобразования имеют вид:

, ,, (3.15)

Преобразования Галилея устанавливают связь между координатами при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы лишь в случае классической механики, при движении тел со скоростями много меньших скорости света в вакууме с.

Рис. 3.8

Если продифференцировать (3.13) по времени, то найдем правило сложения скоростей в классической механике:

, (3.16)

где – скорости точкиMв системахи.

Ранее мы говорили, что любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы равномерно и прямолинейно, будет также инерциальной. Теперь мы имеем возможности доказать это утверждение. Если продифференцировать по времени выражение (3.16), то найдем, что .

Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, оказывается одним и тем же. Поэтому, если одна из этих систем инерциальная (это значит при отсутствии сил ), то и другие будут инерциальными (также равно нулю).

В классической механике справедлив механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): уравнения динамики не изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой. С механической точки зрения, все инерциальные системы отсчета равноправны: ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, находясь в вагоне поезда, который движется без толчков равномерно и прямолинейно, мы не сможем определить, движется вагон или покоится, если не посмотрим в окно.

Тема 4 работа и энергия

4.1. Работа силы. Мощность

Пусть тело под действием силы Fсовершает перемещение по некоторой траектории1-2(рис. 4.1). В общем случае силав процессе движения тела может меняться как по модулю, так и по направлению.

Рассмотрим элементарное перемещение, в пределах которого силу можно считать постоянной.

Элементарной работой силы на перемещенииназывается скалярная величина

, (4.1)

где – угол между векторамии;– элементарный путь,– проекция векторана вектор,.

С

Рис. 4.1

ила, действующая на материальную точку, как правило, изменяется по мере перемещения материальной точки по траектории относительно системы отсчета. При этом сила может зависеть как от координатx, y, zточки, так и от скорости движения точки. Таким образом, силав общем случае – функция нескольких переменных. Поэтому, как показывается в математике, элементарная работа силыне является полным дифференциалом какой-либо функции координат точки. Чтобы это подчеркнуть, элементарная работа обозначается символом , а не.

В прямоугольных декартовых координатах , а. Поэтому согласно правилу скалярного умножения векторов, элементарная работа силыравна:, где– проекции силына оси координат;– проекции вектора перемещенияна оси координат.

Работа А, совершаемая силойна конечном перемещении материальной точки из положения1в положение2, равна сумме элементарных работ силына всех малых участках траектории материальной точки от1до2. Эта сумма сводится к интегралу.

Суммируя (интегрируя) выражение (4.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1до точки2, найдем работу силына данном пути:

. (4.2)

Если сила имеет постоянные величину и направление, а движение прямолинейное, то проекцию вектора силы в выражении для работы можно вынести за знак интеграла, в результате чего получится формула

. (4.3)

• Прямолинейное движение (рис. 4.2).

Рис. 4.2

. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos> 0), работа положительна. Если угол– тупой (cos< 0), работа отрицательна. При работа равна 0.

• Движение по участку траектории (рис. 4.3).

Рис. 4.3

FS – проекция вектора на вектор перемещения.

Единица работы в СИ – джоуль(Дж).

1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м (1 Дж = 1 ).

Рис. 4.4

При графическом изображении FS(S) работа равна площади под кривой (рис. 4.4). Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени. Средняя мощность за промежуток времени Δt

. (4.4)

Если за время dt силасовершает работу, то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени (мгновенная мощность) есть. Учитывая, что, получим

. (4.5)

Таким образом, мгновеннаямощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы.

Как и работа, мощность – скалярная величина. Единица мощности в СИ – ватт(Вт): 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

Выразим работу Асилы на конечном пути через мгновенную мощностьN. Так как мгновенная мощность, то элементарная работа, тогда, гдеt₁иt₂– моменты времени, соответствующие пребыванию материальной точки в точках1и2траектории движения.

Р

Рис. 4.5

абота силы тяжести. Пусть тело массойmперемещается вдоль произвольной траектории из точки1в точку2. При этом на тело (материальную точку) действует постоянная сила тяжести.

Работа силы тяжести равна: . Мысленно разделим всю траекторию на элементарные участки и вычислим элементарную работуна одном из них:

, (4.6)

где α – угол между векторами и;– приращение координатыzтела, соответствующее его перемещению;. Как видно из полученного выражения, элементарная работа зависит только от переменнойz. При перемещении тела из точки1в точку2траектории координатаzизменяется в пределах отz₁доz₂. Тогда работа силы тяжести равна:

. (4.7)

Из полученной формулы видно, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела, а определяется только ее координатой z в начальном и конечном положении.

Работа гравитационной силы. Пусть в точке О пространства находится тело (материальная точка) (рис. 4.6) массы M, которое действует на тело (материальную точку) массой m с силой гравитационного взаимодействия :

Рис. 4.6

, (4.7)

где – единичный вектор, направленный по вектору; γ – гравитационная постоянная.

Если тело переместилось из точки 1в точку2траектории под действием гравитационной силы взаимодействия, то работа гравитационной силы на этом пути

. (4.8)

Работа δАгравитационной силы на элементарном перемещении(одном из элементарных участков траектории) равна, где величинаравна приращениюмодуля радиус-вектора.

При перемещении тела из точки 1в точку2модуль его радиус-вектора изменяется отдо, поэтому работа гравитационной силы на пути между точками1и2равна

. (4.9)

Работа гравитационной силы не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела относительно другого тела.

Работа упругой силы. Рассмотрим пружину, один конец которой закреплен, а другой может перемещаться горизонтально под действием внешней силы (рис. 4.7). Направим координатную осьxпараллельно оси пружины и выберем начало отсчета координатыx(x = 0) в положении незакрепленного конца недеформированной пружины (точкаО).

Рис. 4.7

При растяжении или сжатии пружины возникает упругая сила , где– радиус-вектор, проведенный из точкиО к незакрепленному концу деформированной пружины. Под действием внешней силы , работу которой рассматривать не будем, незакрепленный конец пружины, к которому приложена также, переместится на. Если незакрепленный конец пружины переместился вдоль осиxиз точки с координатойx₁в точку с координатойx₂, то работаравна

(4.10)

или в проекции на ось x

. (4.11)

Из полученного выражения видно, что работа упругой силы на конечно пути зависит только от начальной x₁ и конечной x₂ координат точки приложения силы.

Работа силы трения скольжения. Рассмотрим тело массойm, движущееся по горизонтальной поверхности под действием внешней силыпо произвольной криволинейной траектории из точки1в точку2 (рис. 4.8). При перемещении тела относительно поверхности между соприкасающимися телами возникает сила трения скольжения, где– коэффициент трения скольжения, аN– модуль силы нормальной реакции опоры ().

Рис. 4.8

Работа силы трения скольжения на одном из элементарных участков траектории равна:

(4.12)

где – модуль вектора элементарного перемещения равен элементарному пути. В любой момент времени вектор силы трения скольжениянаправлен противоположно. Если тело перемещается из точки1 в точку 2, то работа силы трения будет равна:

, (4.13)

где S – пройденный телом путь по траектории.

В отличие от работы силы тяжести, гравитационной силы и упругой силы, работа силы трения зависит от длины пройденного телом пути S, и следовательно, зависит от формы траектории.

Таким образом, среди рассмотренных сил можно выделить такие, работа которых не зависит от формы траектории и характера движения тела, а определяется только начальным и конечным положением относительно других тел. Это – сила тяжести, гравитационная сила, упругая сила.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением относительно других тел, называются консервативными.