9.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Важнейшей задачей молекулярно-кинетической теории газов является установление связи между макроскопическими параметрами (давлениемPи температуройT) и характеристиками составляющих газ частиц (молекул) – массой частиц, их скоростью, концентрацией и т.д.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов связывает давление P газа с микроскопическими характеристиками газа, т.е. с величинами, характеризующими движение молекул, составляющих этот газ.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории будем выводить для идеального газа. Рассмотрим газ, находящийся в сосуде, имеющем форму куба (рис. 9.6).

l– длина ребра куба,N – общее число молекул газа, находящегося в данном сосуде.

Молекулы газа находятся в непрерывном хаотическом движении. Никакого преимущественного направления движения нет.

Рассмотрим какую-нибудь молекулу в сосуде (рис. 9.6). Скорость этой молекулы в данный момент времени может быть направлена куда угодно, но эту скорость всегда можно разложить на три составляющие. Точно также можно поступить со скоростью любой другой молекулы. Поэтому, учитывая полную беспорядочность движения молекул по разным направлениям, можно считать, что по любому из трех возможных направлений движется одна треть всех молекул.

Найдем давление Pгаза на заштрихованную стенку кубического сосуда. Между левой и правой стенками движется, как уже было сказано, одна третья часть всех молекул:

, (9.15)

–число молекул, движущихся между правой и левой стенками.

Молекулы идеального газа друг с другом не взаимодействуют, следовательно, все они движутся равномерно и прямолинейно. Рассмотрим отдельную молекулу. Обозначим m₀– масса молекулы. Пусть молекула движется со скоростью к заштрихованной стенке.

–скорость молекулы до удара. Молекула ударилась о стенку сосуда и отскочила.

–скорость молекулы после удара. Скорость молекулы изменила своё направление, но по величине осталась той же самой, т.к. удар молекулы о стенку – это абсолютно упругий удар.

Изменение импульса молекулы, т.е. изменение её количества движения, равно

. (9.16)

Согласно второму закону Ньютона это изменение должно равняться импульсу силы: , где– продолжительность удара,– сила, с которой стенка сосуда действует на молекулу за время. Отметим, что, согласно третьему закону Ньютона, с такой же силой молекула будет действовать на стенку.

Отскочив от заштрихованной (правой) стенки молекула полетит к левой стенке и через время снова вернётся к правой стенке сосуда.– время от начала одного удара до другого.. Время, характеризующее продолжительность удара, есть время довольно неопределённое. А вот времяопределить можно. За время молекула проходит расстояние 2l:

и . (9.17)

Так как время найдено, то лучше вместо отдельных ударов молекулы о стенку ввести в рассмотрение силу, постоянно действующую на стенку за время. Величина этой силы должна определяться из условия:

. (9.18)

Тогда

. (9.19)

–сила, действующая на стенку за время со стороны первой рассматриваемой молекулы. Величина силы, с которой молекула действует на стенку перпендикулярную направлению движения молекулы за один удар:

или . (9.20)

Однако молекулы газа движутся с самыми разными скоростями. Если рассматриваемая молекула движется со скоростью , то другая будет двигаться со скоростью, третья со скоростьюи т.д. Молекула с номеромбудет двигаться со скоростью, где– число молекул, движущихся в направлении осиx (между левой и правой стенками). Силы, с которыми другие молекулы действуют на эту же стенку сосуда, равны

, ,, …….,. (9.21)

Результирующая сила, с которой молекулы действуют на заштрихованную стенку

(9.22)

Выражение является средним значением квадратов скоростей молекул или квадратом средней квадратичной скорости молекул газа.

Итак, средняя квадратичная скорость молекул газа

. (9.23)

Вспоминая, что , имеем

. (9.24)

Площадь стенки сосуда равна . Давление – это сила, приходящаяся на единицу площади. Следовательно,и;,– концентрация молекул, т.е. число молекул, находящихся в единице объёма газа. Тогда

(9.25)

– это выражение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Это уравнение связывает между собой макроскопический параметр – давлениеP– с микроскопическими характеристиками составляющих газ частиц – массой молекулы, их концентрацией, средним значением квадрата скорости.

Уравнение можно записать в другой форме, если выразить концентрацию молекул через полное число Nвсех молекул газа в сосуде объёмомV:

, тогда (9.26)

– это уравнение носит название основного уравнения кинетической теории газов.

Рассмотрим некоторые следствия из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

1. Записываем уравнение . Умножим и поделим правую часть уравнения на 2, получим

, (9.27)

где – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа.Давление газа определяется средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

2. Теперь умножим левую и правую части уравнения на, где– объём одного моля идеального газа. Получим

. (9.28)

Но , а, где– число Авогадро – число молекул в одном моле. Тогда

. (9.29)

Отсюда

. (9.30)

Отношение ,– постоянная Больцмана. Окончательно

. (9.31)

Напоминаем, что при выводе этой формулы молекула газа рассматривалась, как материальная точка. Из формулы видно, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа прямо пропорциональна абсолютной температуре этого газа и зависит только от температуры. Температура газа есть количественная мера интенсивности теплового движения молекул газа. Следовательно, молекулярно-кинетический смысл абсолютной температуры T состоит в том, что она служит мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул.

3. Найдем среднюю квадратичную скорость молекул .

Так как , или,

или

.

Отсюда

. (9.32)

Так как , то

, (9.33)

но ,– масса 1 моля газа. Тогда

. (9.34)

4. Записываем основное уравнение . Умножим и делим на 2 правую часть уравнения:

. (9.35)

Но . Тогда

. (9.36)

Выражение тоже является основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

С другой стороны,

или , (9.37)

где – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. Таким образом,произведение давления идеального газа на его объём равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения всех его молекул.

Суммарная кинетическая энергия молекул идеального газа называется внутренней энергиейгаза (потенциальной энергией молекулы идеального газа не имеют, т.к. они между собой не взаимодействуют). Внутренняя энергия тогда равна

, (9.38)

внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой.