4.6. Потенциальные кривые. Условия равновесия механической системы

Рассмотрим материальную точку, положение которой может быть определено с помощью одной величины, например, координаты x, т.е. потенциальная энергия точки является функцией .

Графическая зависимость потенциальной энергии от координаты x называется потенциальной кривой. Зная вид функции E_п(x), можно сделать ряд заключений о характере движения частицы.

В качестве примера рассмотрим шарик, скользящий без трения по изогнутой в вертикальной плоскости проволоке. На шарик действует консервативная сила – сила тяжести. График потенциальной энергии E_п(x) показан на рис. 4.15. Проанализируем эту кривую. Полная энергия шарика E изображена на графике горизонтальной линией, поскольку имеет место закон сохранения энергии E = E_к + E_п.

Частица может находиться только там, где , т.е. в областях отx₁ до x₂ или от x₃ до бесконечности. В области x < x₁ и x₂ < x < x₃ частица проникнуть не может, т.к. потенциальная энергия не может стать больше полной энергии. Таким образом, область x₂ < x < x₃ представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть при данном запасе полной энергии. Область x₁ < x < x₂ называется потенциальной ямой.

Рис. 4.15

Минимуму потенциальной энергии соответствует на графике точка с координатой x₀. Условие минимума потенциальной энергии имеет вид .

Поскольку действующая на частицу сила

, (4.40)

то в точке x₀ . При смещении частицы из положенияx₀ она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение x₀ является положением устойчивого равновесия. Итак, устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии частицы. В точке , соответствующей максимуму потенциальной энергии, выполняются эти же условия равновесия. Однако это равновесие будетнеустойчивым: при смещении частицы из положения возникает сила, которая будет удалять его из положения равновесия.

Рис. 4.16

Таким образом, неустойчивому равновесию соответствует максимум потенциальной энергии.

В точке х₀: тело в равновесии.

Тело находится в положении устойчивого равновесия, если потенциальная энергия тела минимальная.

Этот вывод распространяется и на систему тел.

Тема 5 динамика вращательного движения

5.1. Момент инерции твердого тела

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Разобьем тело на такие малые части, что каждую из них можно считать материальной точкой. Пусть m_i – масса i-й материальной точки, r_i – ее расстояние до некоторой оси O.

Величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат кратчайшего расстояния ее до данной оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси:

. (5.1)

Сумма моментов инерции всех материальных точек тела называется моментом инерции тела относительно некоторой оси:

. (5.2)

М

Рис. 5.2

омент инерции твердого тела зависит, как нетрудно видеть, от распределения масс относительно интересующей нас оси.

Если тело представляет собой обруч массы m, толщина которого мала по сравнению с радиусом R, то момент его инерции относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной к плоскости обруча, равен

. (5.3)

Для тел более сложной формы суммирование выражения (5.2) производится методами интегрального исчисления согласно формуле

, (5.4)

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

В

Рис. 5.1

качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Разобьем диск на кольцевые слои толщинойdr.

Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен:

,

где b – толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и

,

где dm – масса кольцевого слоя.

Теперь по формуле (5.4) находим момент инерции

,

где R – радиус диска;

.

Наконец, введя массу диска m равную произведению плотности на объем диска, получим

. (5.5)

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Твердое тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Тонкий стержень длины	Перпендикулярна стержню и проходит через центр тяжести
Сплошной цилиндр радиуса R	Ось вращения совпадает с осью цилиндра и проходит через центр тяжести
Тонкий диск радиуса R	Ось вращения совпадает с диаметром диска
Шар радиуса R	Ось вращения проходит через центр тяжести шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то можно найти момент инерции относительно любой другой параллельной оси. Для этого надо воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера:

момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту его инерции I_c относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния a между осями:

. (5.6)

Н

Рис. 5.3

айдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс. Найдем момент инерции тела относительно осиz параллельной оси z_C. Ось z_C проходит через центр масс тела. Разделим мысленно тело на частицы массой m_i, где i – порядковый номер. Определим положение каждой частицы относительно осей z и z_C. В соответствии с определением момента инерции , где– это кратчайшее расстояние до оси вращения (радиус окружности, которую описывает точка при своем движении вокруг оси вращения).

На рис. 5.3 видно, что , тогда момент инерции точки массойm_i относительно оси z равен: , а для всего тела момент инерции относительно осиz равен сумме моментов инерции всех частиц тела относительно этой же оси:

(5.7)

По определению – момент инерции тела относительно осиz_C, проходящей через центр масс тела; , тогда. Выражениеможно преобразовать. Величина, равнаяопределяет положение центра масс тела относительно осиz_C. Из рисунка видно, что , т.к. центр масс лежит на осиz_C.

Тогда получим

(5.8)

– момент инерции I_z тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно параллельной ей осиz_C, проходящей через центр масс, и величины ma², где m – масса тела, a – расстояние между осями.

Пример. Момент инерции тонкого стержня (массы m и длины ) относительно оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его конец, равен:

. (5.9)