6.3. Движение центра масс

В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С, называемая центром масс (или центром инерции), которая обладает рядом интересных свойств. Ее положение относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором , определяемым как

,(6.5)

где и– масса и радиус-вектор-й частицы;m– масса всей системы;n– число частиц в системе.

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, впрочем, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс системы

.(6.6)

Учитывая, что , а– есть импульссистемы, можно написать

,(6.7)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Продифференцируем выражение (6.7) по времени:

.

По второму закону Ньютона , отсюда получаем

,(6.8)

где – ускорение центра масс системы;– геометрическая сумма внешних сил, приложенных к системе.

Это и есть уравнение движения центра масс системы:центр масс системы частиц движется так, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы под действием всех приложенных к системе внешних сил.

Пример. Человек прыгает с вышки в воду. Движение прыгуна в общем случае имеет весьма сложный характер. Однако если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то можно сразу утверждать, что центр масс прыгуна движется по параболе, как материальная точка, на которую действует постоянная сила , гдеm– масса человека.

Из уравнения (6.8) следует, что если внешние силы , то, т.е. центр масс системы, либо движется равномерно и прямолинейно, либо остается неподвижным.

Уравнение (6.8) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему частиц.

6.4. Уравнение движения тела переменной массы

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, автомобиль для поливки улицы).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Решение этого вопроса покажем на примере ракеты. Принцип действия ракеты состоит в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (продукты сгорания), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с такой же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.

Пусть в момент времени tмасса ракетыm, а ее скорость. Спустя времяdt ее масса уменьшилась наdmи стала равнойm – dm, а скорость стала равной. Изменение импульса системы за времяdtравно

,(6.9)

где – скорость истечения газов относительно ракеты. Раскроем скобки в этом уравнении, получим

.(6.10)

Так как на ракету действуют внешние силы (сила тяжести, сила сопротивления воздуха), то согласно (3.3)

или . (6.11)

Величина называетсяреактивной силой.Это сила, с которой действуют на ракету вылетающие газы.

Тогда

(6.12)

– уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещерского).

Полученной формулой можно воспользоваться для расчета зависимости скорости ракеты от массы сгоревшего топлива. Будем считать, что внешние силы равны 0, т.е. движение происходит только под действием реактивной силы:

.(6.13)

Если ракета движется прямолинейно, то .

Значение постоянной интегрирования Сопределим из начальных условий. Пусть в начальный момент времени скорость ракеты равна 0, а масса равна. ОтсюдаС = u lnm₀. Следовательно,

.(6.14)

Это выражение называется формулой Циолковского. Она показывает, что при данной скорости истечения газов скорость ракеты определяется только отношением начальной массыракеты к оставшейся массеm.