5.2. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО. Мысленно разобьем тело на материальные точки массой m_i. Каждая материальная точка движется по окружности радиуса r_i с линейной скоростью . Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий этих точек:

. (5.10)

Л

Рис. 5.4

инейная скорость материальной точки зависит от расстояния до оси вращенияr_i:

, (5.11)

где – угловая скорость тела.

Отсюда , т.к.,

то

, (5.12)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения; – его угловая скорость.

В случае плоского движения тела, например, шара, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

, (5.13)

где m – масса тела; – скорость центра масс тела;I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; – угловая скорость тела.

5.3. Момент силы

Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 5.5). Пусть сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения 0.– радиус вектор точки приложения силы относительно оси вращения;d – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, называемое плечом силы.

В

Рис. 5.5

екторная величина, численно равная произведению силы на плечо, называетсямоментом силы относительно оси вращения:

. (5.14)

Как видно из рисунка:

,

,

т.е. в векторном виде:

. (5.15)

Направление совпадает с направлением поступательного движения винта при его вращении отк(в нашем примере вдоль оси вращения «от нас»).

В частном случае, когда (линия действия силы пересекает ось вращения). Такая сила уравновешивается реакцией опоры и вращения не вызывает.

5.4. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Пусть тело вращается вокруг оси О под действием силы(рис. 5.6). Найдем работу этой силы.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силыB проходит путь:

,

где r – радиус окружности, описываемой точкой B. Элементарная работа равна:

. (5.16)

Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращающегося тела, т.к. , а, то

. (5.17)

Поэтому .

Радиус окружности r является плечом силы F, следовательно, и

Рис. 5.6

, (5.18)

или

. (5.19)

Учтя, что векторы иимеют одинаковое направление, придем к соотношению:

. (5.20)

Это – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает второй закон Ньютона для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции I, роль линейного ускорения – угловое ускорение , роль силы – момент силы.

Из этого уравнения, в частности, видно, что момент инерции I определяет инерционные свойства тела при вращении: при одном и том же значении момента сил , тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение. Заметим, что работа при вращении тела согласно (5.16) равна:. На рис. 5.6 сила, поэтомуили. С другой стороны– угловое перемещение. Вектораинаправлены по одной прямой, поэтомуили

(5.21)

(сравним с формулой для работы при поступательном движении тела ).

5.5. Момент импульса

Рассмотрим движение отдельных точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

К

Рис. 5.7

аждая из них массойm_i движется по окружности постоянного радиуса r_i. Ее линейная скорость , импульс. Скорость и импульс перпендикулярны радиусу, т.е. радиус является плечом вектора. Поэтому можно записать, что момент импульса данной точки равен

, (5.22)

и направлен по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта. Учитывая, что , получим

, (5.23)

где – момент инерции материальной точкиотносительно оси вращения

Момент импульса твердого тела относительно оси равен сумме моментов импульсов всех его точек:

, или (5.24)

Итак, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно этой же оси на угловую скорость.

Учтя, что векторы иимеют одинаковое направление, придем к соотношению:

. (5.25)

При описании динамики вращательного движения момент импульса играет такую же роль, что и импульс при поступательном движении.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Поступательное движение		Вращательное движение
Масса		Момент инерции
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы
Импульс		Момент импульса
Основное уравнение динамики		Основное уравнение динамики
Работа		Работа
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия