9.5. Средняя длина свободного пробега молекул газа

Длина свободного пробега– это расстояние, которое проходит молекула от одного столкновения до другого.

Рассмотрим идеальный газ, в котором все молекулы движутся хаотично. Траектория движения отдельной молекулы – это ломаная линия (рис. 9.7). Выделим из большого числа молекул одну и будем за ней следить, считая, что остальные молекулы в это время неподвижны. Взаимодействие молекул друг с другом – удар.

Считаем, что все молекулы, кроме одной, неподвижны. Взаимодействие молекул происходит в результате удара. Следовательно, центр «подвижной» молекулы будет двигаться по ломаной линии.

От удара до удара будет прямая линия, длина которой называется длина свободного пробега λ_i:

(9.39)

– средняя длина свободного пробега;

z – число столкновений.

Молекула на своём пути будет сталкиваться со всеми молекулами (рис. 9.8), расстояние между центами которых и центром движущейся молекулы ≤ d:

d = r₁ + r₂ = R,

где r₁ – радиус движущейся молекулы,

r₂ – радиус покоящейся молекулы.

Рис. 9.7	Рис. 9.8

Если r₁ = r₂, то 2r = d – диаметр молекулы, т.е. столкновения между двумя молекулами будут происходить, если центры неподвижных молекул окажутся внутри объёма с площадью сечения , длинойl = λ_i, S – полное поперечное сечение взаимодействия. – называетсяэффективным радиусом молекулы. Величина называется эффективным диаметром молекулы.

Выпрямим ломаную траекторию движения молекулы в прямую. В этом случае z (число ударов молекулы о другие молекулы)  равно числу молекул в объёме с длинойl (), равном пути, пройденному движущейся молекулой за времяt, например, за единицу времени (в 1 сек). Тогда, среднее расстояние, которое пролетела молекула от одного удара до другого, равна, где– число столкновений за время. Найдём. Объёмцилиндра, в котором движется молекула можно определить по формуле:.

Если – концентрация молекул, то число молекул в объёмеравно, это число будет равно числу столкновений, т.к. движущаяся молекула столкнётся со всеми молекулами, центры которых заключены в ломаном цилиндре. Итак,. Если учесть, что все молекулы движутся одновременно, то расчёты дают формулу:

. (9.40)

Тогда

или . (9.41)

Из формулы видно, что длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна концентрации молекул: , т.к. давление, то, следовательно,.

Если уменьшать давление , то средняя длина свободного пробегаувеличивается.

Можно откачать газ из сосуда так, что линейные размеры сосуда . Тогда молекулы будут летать от стенки к стенке, не испытывая столкновений. В этом случае говорят, что в сосуде вакуум.

Тема 10 элементы статистической физики

10.1. Элементы теории вероятностей

Физические величины, встречающиеся в молекулярной физике (давление, объём, температура, средний квадрат смещения частицы при броуновском движении и т.д.) имеют смысл средних значений, которые принимают при определенных условиях какие-то функции микросостояний системы. Про величины такого рода говорят, что они имеют статистический характер или являются статистическими величинами. Все эти величины подчиняются определенным закономерностям, не свойственным отдельным атомам и молекулам. Это связано с большим количеством частиц в системах. Такие закономерности, обусловленные большим количеством участвующих в их возникновении молекул, атомов, называются статистическимииливероятностными закономерностями.Статистические закономерности изучаютсятеорией вероятности.Приведем некоторые элементарные понятия теории вероятности, необходимые для дальнейшего изложения материала.

1. Событиями или случаями в теории вероятностей называют всякие явления, относительно которых имеет смысл ставить вопрос, могут они происходить или нет. Опыт или совокупность условий, в результате которых появляется то или иное событие, в теории вероятностей называется испытанием.

Если событие при данных условиях обязательно произойдет, то такое событие называется достоверным.Если событие произойти не может, то такое событие называетсяневозможным.

Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти.

2. Два случайных события называются равновозможными или равновероятными, если нет никаких оснований ожидать, что при испытаниях одно из них будет появляться чаще другого. Несколько событий называют равновозможными, если каждые два из них равновозможные события.

3. Вероятность случайного события – это количественная мера ожидаемой возможности его появления. Вероятностью случайного события называется отношение числа равновозможных случаев его появления к числу всех испытаний.Если всего испытанийN, а число равновозможных случаев появления случайного событияdN, то вероятность случайного события

. (10.1)

Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю.

Это понятие вероятности случайного события применительно к случаю, когда число равновозможных случаев появления случайного события из большого множества испытаний имеет конечное значение. Иначе говоря, величина, описывающая случайное событие может принимать ряд дискретных значений.

1. Если величина, описывающая случайное событие принимает непрерывный ряд значений, то необходимо рассматривать вероятность того, что значение этой величины заключено в некотором интервале или вероятность dpтого, что значение величины, описывающей случайное событие, заключено в интервале отa доa+da. Вероятность такого события пропорциональна ширине бесконечно узкого интервалаdaи её можно представить в виде:, причем коэффициент пропорциональностизависит отa. Функцияназывается плотностью вероятности.

2. Функция плотности вероятности случайного события должна удовлетворять следующему условию (условию нормировки): т.к., а, то. Проинтегрируем это выражение по всем возможным значениям непрерывной величины; т.к., то

или (10.2)

– это условие называется условием нормировки.

3. Основные теоремы теории вероятностей – теорема сложения вероятностей и теорема умножения вероятностей. Сформулируем эти теоремы без доказательства.

Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Пусть событие Вявляется суммой событийА₁иА₂, т.е. состоит в появлении либо событияА₁, либо событияА₂(безразлично какого), тогда вероятность появления событияВравна сумме вероятностей появления событияА₁и вероятности появления событияА₂:

. (10.3)

Теорема умножения вероятностей.Вероятность произведения двух событийА₁иА₂равна произведению вероятностей одного события на вероятность другого события, если эти события независимые. Если вероятность каждого из двух событийА₁иА₂не зависит от того, произошло второе событие или не произошло, то такие события называются независимыми. Тогда

. (10.4)

4. Важным понятием в теории вероятностей является понятие среднего значения случайной величины (математического ожидания). Пусть величина аможет принимать непрерывный ряд значений, тогда среднее значение величины можно определить по формуле

. (10.5)