fix1

pOSKOLXKU DLQ GIPERBOLY HARAKTERNO, ^TO a < c TO \KSCENTRISI- TET GIPERBOLY = ac > 1:

gIPERBOLA { KRIWAQ, SIMMETRI^NAQ OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDI- NAT I KOORDINATNYH OSEJ.

w OTLI^IE OT \LLIPSA GIPERBOLA { \TO NEZAMKNUTAQ KRIWAQ, IME- @]AQ ASIMPTOTY ; PRQMYE, K KOTORYM WETWI GIPERBOLY NEOGRANI- ^ENNO PRIBLIVA@TSQ. uRAWNENIQ ASIMPTOT

	b			b
y =		x I	y = ;		x:
	a			a

dLQ POSTROENIQ GIPERBOLY :

a) STROIM OSNOWNOJ PRQMOUGOLXNIK GIPERBOLY S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I STORONAMI 2a NA OSI OX I 2b NA OSI OY

b)^EREZ CENTR I WER[INY PRQMOUGOLXNIKA PROWODIM PRQMYE (ASIMP- TOTY GIPERBOLY),

c)OTME^AEM WER[INY GIPERBOLY (IMI SLUVAT TO^KI PERESE^ENIQ OSNOWNOGO PRQMOUGOLXNIKA S DEJSTWITELXNOJ OSX@ GIPERBOLY) NA OSI

OX

d) STROIM GIPERBOLU (RIS. 62.)

rASSMOTRIM DRUGIE WARIANTY URAWNENIJ GIPERBOLY.

	x2	y2
uRAWNENIE	;a2	+ b2 = 1

QWLQETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM SOPRQVENNOJ GIPERBOLY S CENT- ROM W NA^ALE KOORDINAT O(0 0) I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ b I MNIMOJ a: wER[INY TAKOJ GIPERBOLY LEVAT NA OSI OY (STR. 131,

P.8.)

oPREDELITX, KAKAQ OSX DEJSTWITELXNAQ, A KAKAQ ; MNIMAQ, MOVNO LEGKO PO URAWNENI@ GIPERBOLY. zNAK PL@S PERED KWADRATOM PEREMEN- NOJ W KANONI^ESKOM URAWNENII UKAZYWAET NA DEJSTWITELXNU@ OSX.

uRAWNENIE

(x ; x0)2 ; (y ; y0)2 = 1 a2 b2

QWLQETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM GIPERBOLY S CENTROM W TO^KE

92

O0(x0 y0)	I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ			a I MNIMOJ b (STR. 131,
P.9.).
uRAWNENIE
	;	(x ; x0)2	+ (y ; y0)2 = 1
		a2	b2
QWLQETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM GIPERBOLY S CENTROM W TO^KE
O0(x0 y0)	I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ b			I MNIMOJ a .

dLQ POSTROENIQ TAKIH GIPERBOL NEOBHODIMO SNA^ALA NANESTI PO-

LOVENIE CENTRA	O0	NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX, PROWESTI ^EREZ
CENTR OSI OX0 I	OY 0	I POSTROITX OSNOWNOJ PRQMOUGOLXNIK 2a H 2b

S \TIM CENTROM. dALEE PROWODIM DIAGONALI \TOGO PRQMOUGOLXNIKA, OTME^AEM WER[INY NA DEJSTWITELXNOJ OSI (W ZAWISIMOSTI OT WIDA ISHODNOGO URAWNENIQ) I STROIM GIPERBOLU, KAK I W OSNOWNOM SLU^AE. gIPERBOLA S ODINAKOWYMI RAZMERAMI POLUOSEJ a = b NAZYWAET-

SQ RAWNOBO^NOJ
x2 ; y2 = a2 ILI	; x2 + y2 = a2:

gIPERBOLA, ASIMPTOTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ OSI KOORDINAT, IMEET URAWNENIE

		xy =	a:
pOSTOROIM GIPERBOLY.
1:	4x2 ; 3y2 = 12:
pOLU^IM KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY, RAZDELIW OBE ^ASTI
ISHODNOGO URAWNENIQ NA 12, ^TOBY W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ STOQLA
1.	4x2	3y2	x2	y2
	12 ;	12 = 1	3 ;	4 = 1:
iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ IMEEM RAZMERY POLUOSEJ
a = p3	; DEJSTWITELXNAQ b = 2 ; MNIMAQ:
	sTROIM PRQMOUGOLXNIK GIPERBOLY, PROWODIM EGO
	DIAGONALI, OTME^AEM WER[INY, ONI LEVAT NA OSI
	OX W TO^KAH		A1(;p3 0) A2(+p3 0) I WEDEM
	WETWI GIPERBOLY OT WER[IN K ASIMPTOTAM. (rIS.
	63.)

rIS. 63.

93

y = ;3 ; p

:

2:

8 + 4x2

wOZWEDEM W KWADRAT OBE ^ASTI URAWNENIQ I PROWEDEM NESLOVNYE

PREOBRAZOWANIQ

;4x2

x2

(y + 3)2

(y + 3)2 = 8 + 4x2

+ (y + 3)2 = 8 ;

2

+

8

= 1:

iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ IMEEM RAZMERY POLUOSEJ :

a =

p

2 ;

MNIMAQ,

b = p

8

= 2p2

;

DEJSTWITELXNAQ

I KOORDINATY CENT-

RA

O0(0

;3):

sTROIM GIPERBOLU. sNA^ALA OTME^AEM POLO-

VENIE CENTRA, PROWODIM ^EREZ NEGO

OSI

KOORDINAT

O0X0

I O0Y 0 W \TIH OSQH STROIM PRQMOUGOLXNIK GIPER-

BOLY PO OPREDELENNYM PO URAWNENI@ RAZMERAM, PROWO-

DIM EGO DIAGONALI, OTME^AEM WER[INY, ONI LEVAT NA

OSI

O0Y 0

W TO^KAH

;3

; 2p2)

B2(0 ;3 + 2p

rIS. 64.

B1(0

2) I WEDEM WETWI

GIPERBOLY OT WER[IN K ASIMPTOTAM. (rIS. 64.)

nO ISHODNOE URAWNENIE BUDET OPREDELQTX NE WS@ KRIWU@, A TOLXKO EE NIVN@ POLOWINU, TAK KAK y < ;3:

4. pARABOLA

o P R E D E L E N I E. pARABOLOJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO^EK PLOSKOSTI, RAWNOUDALENNYH OT DANNOJ TO^KI, NAZYWAEMOJ FOKUSOM,

I DANNOJ PRQMOJ, NAZYWAEMOJ DIREKTRISOJ.
dIREKTRISA PARABOLY OPREDELQETSQ URAWNENI-
EM	x = ;p=2 (p > 0) FOKUS RASPOLOVEN W
TO^KE F(p=2 0): (rIS. 65.) zAPISYWAQ RAWENST-
WO RASSTOQNIJ MEVDU PROIZWOLXNOJ TO^KOJ KRI-
WOJ	M(x y) I FOKUSOM I MEVDU TO^KOJ			M(x y)
I DIREKTRISOJ, POLU^IM
	q		= x + p=2:
		(x ; p=2)2 + y2		rIS. 65.

oTKUDA POSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^IM

KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY, SIMMETRI^NOJ OTNOSITELXNOJ OSI OX I c WER[INOJ W NA^ALE KOORDINAT

y2 = 2px:

94

pARAMETR 2p HARAKTERIZUET [IRINU PARABOLY.

aNALOGI^NOE URAWNENIE MOVNO POLU^ITX DLQ PARABOLY, SIMMET- RI^NOJ OTNOSITELXNO OSI OY:

tAKIM OBRAZOM, MOVNO WYDELITX DWA OSNOWNYH WIDA URAWNENIJ PA- RABOLY.

1. pARABOLA S OSX@ SIMMETRII OX : y2 = 2px:

wER[INA PARABOLY W NA^ALE KOORDINAT O(0 0), ZNAK "PL@S" SOOTWETSTWUET PARABOLE S WETWQMI, NAPRAWLENNYMI WPRAWO, A ZNAK "MINUS" SOOTWET- STWUET PARABOLE S WETWQMI, NAPRAWLENNYMI WLE-

WO (RIS. 66.)

						rIS. 66.
	uRAWNENIE	(y ; y0)	2	=	2p(x ; x0)
PREDSTAWLQET PARABOLU S WER[INOJ W TO^KE O0(x0 y0) (STR.132, P.12).
2. pARABOLA S OSX@ SIMMETRII OY :						x2 = 2py:
	wER[INA PARABOLY W NA^ALE KOORDINAT O(0 0),
	ZNAK "PL@S" SOOTWETSTWUET PARABOLE S WETWQMI,
	NAPRAWLENNYMI WWERH, A ZNAK "MINUS" SOOTWET-
	STWUET PARABOLE S WETWQMI, NAPRAWLENNYMI WNIZ
	(RIS. 67.).
rIS. 67.	uRAWNENIE	(x ; x0)			2	= 0 2p(y ; y0)

PREDSTAWLQET PARABOLU S WER[INOJ W TO^KE O (x0 y0) (STR. 132, P.14). zAME^ANIE. kANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY OTLI^AETSQ OT PRE- DYDU]IH TIPOW URAWNENIJ TEM, ^TO W NEM OTSUTSTWUET KWADRAT ODNOJ

PEREMENNOJ.

dLQ POSTROENIQ PARABOLY NEOBHODIMO ZNATX:

1)KOORDINATY WER[INY,

2)OSX SIMMETRII (ONA PARALLELXNA TOJ OSI, KOORDINATA KOTOROJ WHODIT W URAWNENIE W PERWOJ STEPENI),

3)NAPRAWLENIE WETWEJ.

95

KO\FFI-

pOSTROIM PARABOLY.

1: y ; 1 ; x2 = 0:

w DANNOM URAWNENII OTSUTSTWUET KWADRAT PEREMENNOJ y ZNA- ^IT ONO OPREDELQET PARABOLU S OSX@ SIMMETRII, PARALLELXNOJ OSI OY: zAPI[EM ISHODNOE URAWNENIE W KANONI^ESKOM WIDE, DLQ \TOGO NEOBHODIMO RAZNESTI PEREMENNYE x I y W RAZNYE ^ASTI URAWNENIQ

x2 = (y ; 1):

tAKIM OBRAZOM, WER[INA PARABOLY NAHODITSQ W TO^KE O0(0 1) OSX SIMMETRII PARALLELXNA OSI OY I WETWI NAPRAWLENY WWERH. pRI POSTROE- NII NANOSIM NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX TO^KU

rIS. 68.

O0 PROWODIM NOWYE OSI O0X0 I O0Y 0 I RISUEM

PARABOLU. (rIS. 68.)

dLQ BOLEE TO^NOGO POSTROENIQ NA^ALXNOGO U^ASTKA PARABOLY (W RAJ- ONE WER[INY) MOVNO PRIWLE^X PARAMETR PARABOLY p:

sRAWNIWAQ NA[E URAWNENIE x2 = (y			;	1) S SOOTWETSTWU@]IM KA-
NONI^ESKIM	2					^TO
	(x ; x0) = 2p(y ; y0)	OPREDELQEM			,		2p = 1

p = 1=2: tEPERX OT WER[INY PARABOLY W NAPRAWLENII EE WETWEJ NA

OSI OY OTKLADYWAEM OTREZOK p=2 = 1=4 (POLU^AEM POLOVENIE FOKUSA PARABOLY), A OT \TOJ TO^KI WLEWO I WPRAWO W PERPENDIKULQR-

NOM NAPRAWLENII OTREZKI p = 1=2: tAKIM OBRAZOM, KROME WER[INY PARABOLY MY POLU^IM E]E DWE TO^KI, I NA^ALXNYJ U^ASTOK BUDET BOLEE TO^NYM DLQ NA[EGO SHEMATI^NOGO POSTROENIQ. {IRINA \TOGO NA^ALXNOGO U^ASTKA KAK RAZ I POLU^AETSQ RAWNOJ 2p = 1;

CIENTU PRI y W ISHODNOM URAWNENII.

2: y = 1 ; 2px:

pREOBRAZUEM ISHODNOE URAWNENIE

y ; 1 = ;2px (y ; 1)2 = 4x:

w DANNOM URAWNENII OTSUTSTWUET KWADRAT PEREMENNOJ x ZNA^IT ONO OPREDELQET PARABOLU S OSX@ SIMMETRII, PARALLELXNOJ OSI OX:

96

tAKIM OBRAZOM, WER[INA PARABOLY NAHODITSQ
W TO^KE O0(0 1) OSX SIMMETRII PARALLELXNA OSI
OX I WETWI NAPRAWLENY WPRAWO.
pRI POSTROENII NANOSIM NA KOORDINATNU@
PLOSKOSTX	TO^KU		O0	PROWODIM	NOWYE
OSI O0X0	I	O0Y 0	I RISUEM PARABOLU. (rIS.
69.)		p = 2	ISPOLXZUEM DLQ BOLEE TO^NOGO POSTOROENIQ NA-
pARAMETR
^ALXNOGO U^ASTKA PARABOLY (SM. RISUNOK 69 ).							rIS.69.
nO ISHODNOE URAWNENIE BUDET OPREDELQTX NE WS@ KRIWU@, A TOLXKO
EE NIVN@@ POLOWINU, TO^KI KOTOROJ NIVE OSI						O0X0	TAK KAK IZ
ISHODNOGO URAWNENIQ SLEDUET, ^TO y < 1:
3:	2y + 3x2 = 1:
pREOBRAZUEM URAWNENIE K KANONI^ESKOMU WIDU
			(x ; x0)2 = 2p(y ; y0):			2	1
3x2 = 1 ; 2y			3x2 = ;2(y ; 1=2)
					x2	= ; 3	y ; 2! :

dANNOE URAWNENIE OPREDELQET PARABOLU S OSX@ SIMMETRII, PARALLELXNOJ OSI OY: wER[INA PA- RABOLY NAHODITSQ W TO^KE O0(0 1=2) WETWI NA- PRAWLENY WNIZ (NA ^TO UKAZYWAET ZNAK MINUS W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ). pRI POSTROENII NANO- SIM NA KOORDINATNU@ PLOSKOSTX TO^KU O0 PROWO- DIM NOWYE OSI O0X0 I O0Y 0 I RISUEM PARABOLU.

rIS. 70. (rIS. 70.)

5. wYROVDENNYE WARIANTY KRIWYH 2-GO PORQDKA

oTMETIM, ^TO NE WSEGDA PREOBRAZOWANNOE URAWNENIE KRIWOJ 2-GO PORQDKA OTOBRAVAET REALXNU@ KRIWU@. wOZMOVNY WARIANTY WYROV-

DENNYH KRIWYH (STR. 130-132, P.P. 5, 6, 10, 15, 16).

uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA:

		2;			2
1. uRAWNENIE	x2	+ y2		10y + 25 = 0			POSLE PREOBRAZOWA-
NIJ PRIWEDETSQ K WIDU		x	+ (y ; 5)			= 0	^TO SOOTWETSTWUET
							97

O0(0 5).

KANONI^ESKOMU URAWNENI@ OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE O0(0 5) I RADIUSOM r = 0. fAKTI^ESKI MY POLU^ILI, ^TO ISHODNOE URAWNENIE OPREDELQET NE KRIWU@ 2-GO PORQDKA, A ODNU TO^KU

2. uRAWNENIE 3x2 +2y2	;6x+8y+17 = 0 POSLE PREOBRAZOWANIJ
PRIWEDETSQ K WIDU
(x ; 1)2		+	(y + 2)2	=	;	1:
2			3

tAK KAK SUMMA KWADRATOW NE MOVET RAWNQTXSQ OTRICATELXNOMU ^IS- LU, TO DANNOE URAWNENIE NE IMEET REALXNOGO GEOMETRI^ESKOGO OBRAZA, I NAZYWAETSQ URAWNENIEM MNIMOGO \LLIPSA.

uRAWNENIE GIPERBOLI^ESKOGO TIPA:

3. uRAWNENIE y2	;	4x2		;		;2		;	2
					4y		24x		32 = 0 POSLE PREOBRAZO-
WANIJ PRIWEDETSQ K WIDU			(y ; 2)				; 4(x + 3) = 0
^TO MOVNO ZAPISATX W WIDE					(y ; 2) = 2(x + 3):

uRAWNENIE 2-GO PORQDKA W DANNOM SLU^AE QWLQETSQ URAWNENIEM DWUH PERESEKA@]IHSQ PRQMYH

(y ; 2) = 2(x + 3) I (y ; 2) = ;2(x + 3):

uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA:
4.	uRAWNENIE	y2			4xy + 4x2 = 1			PREOBRAZUETSQ K WIDU
(y ; 2x)2 = 1		ILI;			(y ; 2x) = 1
^TO GEOMETRI^ESKI IZOBRAVAETSQ PAROJ PARALLELXNYH PRQMYH y =
2x	1:	9y	2	+ 6xy + x		2	= 0	PREOBRAZUETSQ K WIDU
5.	uRAWNENIE
	(3y + x)2 = 0	ILI			3y + x = 0
^TO SOOTWETSTWUET ODNOJ PRQMOJ							y = ;x=3:

98

	tABLICA KRIWYH 2-GO PORQDKA
1. |LLIPS	2. sME]ENNYJ		3.	sME]ENNAQ
	\LLIPS
2 2			OKRUVNOSTX
xa2 + yb2 = 1
	(x ; xo)2	+ (y ; yo)2	= 1	2	+ (y ; yo)	2	= r	2
	a2	b2	(x ; xo)

4.	gIPERBOLA		5. sOPRQV<NNAQ		6. sME]<NNAQ
			GIPERBOLA		GIPERBOLA
x2		y2	x2	+ y2 = 1	(x ; xo)2		(y ; yo)2
a2	;	b2 = 1				;		= 1
			;a2	b2	a2		b2

	7. pARABOLA	8. sME]ENNAQ	9. pARABOLA
		PARABOLA
	y2 = 2px	(y ; yo)2 = 2p(x ; xo)	x2 = 2py

99

3.2.2. pRIWEDENIE OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ 2-GO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU

pRISTUPIM K POSTROENI@ KRIWYH 2-GO PORQDKA PO IH URAWNENIQM. nAIBOLEE PROSTYE SITUACII BYLI RASSMOTRENY WY[E. eSLI ISHODNOE URAWNENIE NE QWLQETSQ KANONI^ESKIM, TO NEOBHODIMO PRODELATX PRE- OBRAZOWANIQ, PRIWODQ]IE EGO K KANONI^ESKOMU WIDU. nAIBOLEE PROS- TO \TO OSU]ESTWLQETSQ W TEH SLU^AQH, KOGDA ISHODNOE URAWNENIE NE SODERVIT ^LENA S PROIZWEDENIEM x y. pRIWEDENIE \TIH URAWNENIJ K KANONI^ESKOMU WIDU OSU]ESTWLQETSQ PUT<M PARALLELXNOGO PERENOSA SISTEMY KOORDINAT W NOWOE NA^ALO.

eSLI VE URAWNENIE SODERVIT ^LEN S PROIZWEDENIEM x y, TO PRIWE- DENIE K KANONI^ESKOMU WIDU TREBUET BOLEE SLOVNYH PREOBRAZOWANIJ, SOSTOQ]IH NE TOLXKO W PARALLELXNOM PERENOSE SISTEMY KOORDINAT W NOWOE NA^ALO, NO I W POWOROTE SISTEMY KOORDINAT NA NEKOTORYJ UGOL. rASSMOTRIM \TI DWA SLU^AQ.

oSTANOWIMSQ PODROBNO LI[X NA WOPROSE O PRIWEDENII K KANONI^ES- KOMU WIDU URAWNENIJ, NE SODERVA]IH PROIZWEDENIQ x y

rASSMOTRIM URAWNENIQ KRIWYH 2-GO PORQDKA WIDA

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0:

pREOBRAZOWANIE URAWNENIQ K KANONI^ESKOMU WIDU W \TOM SLU^AE SO- STOIT W WYDELENII POLNYH KWADRATOW.

wSPOMNIM FORMULU KWADRATA SUMMY (RAZNOSTI) DWUH ^ISEL

x2 2 x a + a2 = (x a)2:

iZ FORMULY WIDNO, ^TO KO\FFICIENT PRI PERWOJ STEPENI x RAWEN UDWOENNOMU WTOROMU SLAGAEMOMU. pO\TOMU DLQ TOGO, ^TOBY WYRAVE- NIE x2 kx DOPOLNITX DO POLNOGO KWADRATA, NEOBHODIMO SNA^ALA OPREDELITX WTOROE ^ISLO, RAZDELIW POPOLAM KO\FFICIENT PRI x A ZATEM PRIBAWITX I OTNQTX (^TOBY NE NARU[ITX RAWENSTWO) KWADRAT \TOGO ^ISLA. rASSMOTRIM \TU PROCEDURU NA PRIMERAH.

pOSTROIM KRIWYE.

100

1: x2 + y2 + 3x = 0:	2	2	= 0:
zAPI[EM URAWNENIE W WIDE	x + 3x + y

dOPOLNQEM DO POLNOGO KWADRATA: DLQ \TOGO DELIM POPOLAM KO\FFICIENT PRI PERWOJ STEPENI x I OPREDELQEM, ^TO WTOROE ^ISLO RAWNO 1.5, ZATEM PRIBAWLQEM I WY^ITAEM KWADRAT \TOGO ^ISLA

		rIS. 71.
(x2 + 2 1:5 x + 1:52) ; 1:52 + y2 = 0:
wYRAVENIE (x2 +2 2		1:5 x + 1:52) PREDSTAWLQET SOBOJ POLNYJ
KWADRAT (x + 1:5) ,		PO\TOMU OKON^ATELXNO POLU^IM KANONI^ESKOE

URAWNENIE

(x + 1:5)2 + y2 = 1:52

gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM POLU^ENNOGO URAWNENIQ SLUVIT OKRUVNOSTX S CENTROM W TO^KE O0(;1:5 0) I RADIUSOM R = 1:5: (rIS. 71.)

2: 2x2 ; 4x + y2 ; 10y + 15 = 0:

dEJSTWUEM PO ANALOGI^NOJ SHEME: (KO\FFICIENTY

PRI KWADRATAH PEREMENNYH NEOBHODIMO WYNESTI ZA

SKOBKI I W NIH PROWODITX WYDELENIE POLNOGO KWAD- RATA)

2(x2 ; 2x) + (y2 ; 10y) + 15 = 0:

dLQ PERWOJ SKOBKI WTOROE ^ISLO, KWADRAT KOTORO-

rIS. 72.

GO NUVNO DOBAWITX I OTNQTX, RAWNO 1, A DLQ WTOROJ

SKOBKI \TO ^ISLO 5.

2(x2 ; 2 1 x + 12 ; 12) + (y2 ; 2 5 y + 52 ; 52) + 15 = 0

2(x2 ;		2	1 x + 12) ; 2 12 + (y2					; 2	5 y + 52) ; 52 + 15 = 0
			2(x ; 1)2			; 2 + (y ; 5)2 ; 25 + 15 = 0
2(x	;	1)2 + (y		;	5)2	= 12	)		(x ; 1)2	+ (y ; 5)2	= 1:
									6	12

|TO URAWNENIE OPREDELQET \LLIPS S CENTROM W TO^KE O0(1 5) I POLU-

OSQMI a = p6 I b = p12: (rIS. 72.)

101