fix1

uRAWNENIQ PRQMOJ NA PLOSKOSTI

tABLICA 3.1

N

nAZWANIE

uRAWNENIE

sMYSL PARAMETROW

1.

pRQMAQ

,

PRO

- A(x;x0)+B(y;y0) = 0 M0(x0 y0);

HODQ]AQ ^EREZ TO^-

TO^KA NA PRQMOJ,

KU PERPENDIKULQR-

~

N = fA Bg; WEK-

NO DANNOMU WEKTORU

TOR NORMALI.

2.

oB]EE URAWNENIE

Ax + By + C = 0

~

PRQMOJ

N = fA Bg:

uRAWNENIE PRQMOJ

x

y

a;

OTREZOK NA OSI

3.

W OTREZKAH

a + b

= 1

OX ,

b;

OTREZOK NA OSI

OY:

4.

-

x x0

y y0

M0(x0 y0);

kANONI^ESKOE UR

E

;

;

(pRQMAQ,

PROHODQ-

=

TO^KA NA PRQMOJ,

]AQ ^EREZ TO^KU PA-

m

n

~s = fm ng;

RALLELXNO DANNOMU

NAPRAWLQ@]IJ

WEKTORU)

WEKTOR.

5.

pARAMETRI^ESKIE

x = mt + x0

TOT VE.

URAWNENIQ

y = nt + y0

6.

pRQMAQ

,

PROHODQ

-

y ; y0 = k(xA; x0n)

M0(x0 y0);

]AQ ^EREZ TO^KU, S

TO^KA NA PRQMOJ,

ZADANNYM

UGLOWYM

k = tg' = ;B

=

:

k;

UGLOWOJ KO\F-

m

KO\FFICIENTOM

FICIENT

	7. uRAWNENIE	PRQMOJ,	x ; x1		y ; y1	TO^KI
	PROHODQ]EJ	^EREZ		=
						M1(x1 y1)
	DWE TO^KI		x2 ; x1		y2 ; y1
						M2(x2 y2)

72

wZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH NA PLOSKOSTI

1. pRQMYE ZADANY OB]IMI URAWNENIQMI

l1 : A1x + B1y + C1 = 0

l2 : A2x + B2y + C2 = 0

N1 = fA1 B1g N2

= fA2 B2g

-

.

GDE

~

~

WEKTORA

NORMALEJ

tABLICA 3.2.1.

kOSINUS UGLA

uSLOWIE PARALLEL.

uSLOWIE PERPENDIKUL.

~

~

(N1

N2)

~

~

~

~

cos ' =

~

~

=

N1jjN2

N1 ? N2

jN1j jN2j

~

~

~ ~

N1 = N2

(N1

N2) = 0

=

A1A2 + B1B2

A1 =

B1

A1 A2 + B1 B2 = 0

B2

2

2

2

2

A2

qA1

+ B1 qA2

+ B2

2.

pRQMYE ZADANY KANONI^ESKIMI URAWNENIQMI

l1 :

x

; x1 = y ; y1

l2

:

x ; x2 = y ; y2

m1

n1

m2

n2

GDE

~s1 = fm1 n1g

~s2

= fm2 n2g

;

NAPRAWLQ@]IE

WEKTORA.

tABLICA 3.2.2.

kOSINUS UGLA

uSLOWIE PARALLEL.

uSLOWIE PERPENDIKUL.

cos ' =

(~s1

~s2)

=

~s1

~s2

~s1

?

~s2

j~s1j j~s2j

jj

~s1 =

~s2

(~s1 ~s2) = 0

=

m1m2 + n1n2

m1

=

n1

m1 m2 + n1 n2 = 0

m2

n2

2

2

2

2

qm1 + n1qm2

+ n2

3.

pRQMYE ZADANY URAWNENIQMI

l1 : y = k1x + b1

l2 : y = k2x + b2

GDE

k1 = tg'1

k2 = tg'2

; UGLOWYE

KO\FFICIENTY.

tABLICA 3.2.3.

tANGENS UGLA

uSLOWIE PARALLEL.

uSLOWIE PERPENDIKUL.

tg' =

k2

; k1

k1 = k2

1 + k1

k2 = 0

1 + k1 k2

rASSTOQNIE d

OT TO^KI

M1(x1 y1)

DO PRQMOJ l : Ax+ By + C = 0

d = j

Ax1 + By1 + C

j:

pA2 + B2

73

3.1.2. pEREHOD OT ODNOGO WIDA URAWNENIQ PRQMOJ K DRUGIM WIDAM URAWNENIJ

pUSTX PRQMAQ ZADANA KANONI^ESKIM URAWNENIEM

		x ; 2 = y + 4:					(9)
			3	;5
iZ URAWNENIQ IMEEM: KOORDINATY TO^KI, ^EREZ KOTORU@ PROHODIT
PRQMAQ M0(2 ;4)		I ~s = f3 ;5g ; NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR PRQMOJ.
pOLU^IM DRUGIE WIDY URAWNENIJ \TOJ PRQMOJ.
1:	pARAMETRI^ESKIE		URAWNENIQ.			pRIRAWNQEM OBA RAWENSTWA W
(9) K PARAMETRU		t
		x ; 2 = y + 4				= t
OTKUDA POLU^AEM			3	;5
		x ; 2 = t			y + 4 = t:
		3			;5
oKON^ATELXNO		8 x = 3t + 2			:		(10)
		< y = ;5t ; 4
		:					t QWLQ@TSQ
iZ POLU^ENNOGO WIDNO, ^TO KO\FFICIENTAMI PERED
KOORDINATY NAPRAWLQ@]EGO WEKTORA PRQMOJ.
2:	uRAWNENIE PRQMOJ,		PROHODQ]EJ			^EREZ TO^KU,	PERPENDIKU-
LQRNO	WEKTORU POLU^AETSQ IZ URAWNENIQ (9), ESLI RE[ITX EGO KAK
PROPORCI@
;5(x ; 2) = 3(y + 4)			)	5(x ; 2) + 3(y + 4) = 0:			(11)
3:	oB]EE URAWNENIE		PRQMOJ POLU^IM, RASKRYW SKOBKI W PREDY-
DU]EM URAWNENII,
		5x + 3y + 2 = 0:					(12)

oTMETIM, ^TO IZ DWUH POSLEDNIH URAWNENIJ MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO

WEKTOR NORMALI DANNOJ PRQMOJ IMEET KOORDINATY N~ = f5 3g:

zAME^ANIE. iZ PREDYDU]EGO PRIMERA SLEDUET, ^TO, ESLI MY ZNA- EM NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR PRQMOJ ~s = fm ng , TO DLQ NAHOVDENIQ

74

WEKTORA NORMALI DOSTATO^NO POMENQTX MESTAMI KOORDINATY I U OD-
NOJ IZ NIH SMENITX ZNAK	~	;mg:	~
	N = fn
i NAOBOROT, ZNAQ KOORDINATY WEKTORA NORMALI N = fA Bg MOV-
NO ZAPISATX NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR		~s = fB ;Ag:
4: uRAWNENIE PRQMOJ	S UGLOWYM KO\FFICIENTOM. uRAWNENIE (9)
MOVNO ZAPISATX W WIDE
	5
(y + 4) = ;3(x ; 2):			(13)

uGLOWOJ KO\FFICIENT PRQMOJ RAWEN k = ;53: rASKRYW SKOBKI, PO- LU^IM E]E ODIN WARIANT URAWNENIQ PRQMOJ S UGLOWYM KO\FFICIEN- TOM

5	2
y = ;3 x ; 3		:	(14)
|TO VE URAWNENIE MOVNO BYLO POLU^ITX I IZ OB]EGO URAWNENIQ
5x + 3y + 2 = 0, WYRAZIW IZ NEGO	y.

zAME^ANIE. iZ URAWNENIQ PRQMOJ c UGLOWYM KO\FFICIENTOM TAK- VE LEGKO OPREDELQ@TSQ WEKTOR NORMALI PRQMOJ I EE NAPRAWLQ@]IJ

WEKTOR. tAK, ZAPISAW URAWNENIE			y	= 2x+5 W WIDE 2x	;	y+5 = 0 BU-
DEM IMETX WEKTOR NORMALI		~
		N =		f2 ;1g I NAPRAWLQ@]IJ WEK-
TOR	~s = f1 2g:
5:	uRAWNENIE PRQMOJ "W	OTREZKAH" POLU^AETSQ IZ OB]EGO URAW-

NENIQ (12) SLEDU@]IM OBRAZOM:

PERENOSIM SWOBODNYJ ^LEN URAWNENIQ W PRAWU@ ^ASTX

5x + 3y = ;2

DELIM NA NEGO WSE ^LENY URAWNENIQ, TAK ^TOBY W PRAWOJ ^ASTI POLU- ^ILASX EDINICA

	5x		3y			x		y
		+		= 1	)		+			= 1:	(15)
;2			;2			;2=5		;2=3
iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ WIDNO, ^TO PRQMAQ											OTSEKAET NA OSI OX
OTREZOK a = ;2=5 A NA OSI OY							OTREZOK			b =	;2=3.

75

zAME^ANIE. w KA^ESTWE ISHODNOGO MOVET BYTX I NE KANONI^ESKOE, A L@BOE DRUGOE URAWNENIE PRQMOJ, IZ KOTOROGO MOVNO POLU^ATX TE, KOTORYE UDOBNEE W ISPOLXZOWANII DLQ RE[ENIQ KONKRETNOJ ZADA^I.

6:	nAPRIMER, ISHODNAQ PRQMAQ ZADANA PARAMETRI^ESKI.
		8 x = 3t + 2	:		(16)
dLQ POLU^ENIQ		< y = ;5t ; 4
		OB]EGO URAWNENIQ WYRAZIM PARAMETR t IZ WYRAVE-
NIQ DLQ x I PODSTAWIM:W WYRAVENIE DLQ y :
t =	1	1
	3(x ; 2)	y = ;5 3(x ; 2) ; 4		)	5x + 3y + 2 = 0:

3.1.3. zADA^I NA PRQMU@ LINI@ NA PLOSKOSTI

1) pOSTROENIE PRQMYH NA PLOSKOSTI.

oB]IJ PODHOD K RE[ENI@ ZADA^I SOSTOIT W OPREDELENII KOORDI- NAT DWUH TO^EK, ^EREZ KOTORYE PROHODIT DANNAQ PRQMAQ.

zADA^A 6. pOSTROITX PRQMYE.

1: l : 3x + 2y ; 6 = 0:

bEREM ZNA^ENIE x = 0		I WY^ISLQEM ZNA^ENIE y = 3: pOLU^AEM
TO^KU	M1(0 3): bEREM ZNA^ENIE		y = 0 I WY^ISLQEM ZNA^ENIE
x = 2:	pOLU^AEM TO^KU	M2(2 0):	pOLU^ILI TO^KI PERESE^ENIQ

PRQMOJ S OSQMI KOORDINAT. pO \TIM TO^KAM LEGKO POSTROITX PRQMU@. (rIS.6.)

rIS. 6.

rIS. 7.

76

2: l : y = 2x:

pRQMAQ PROHODIT ^EREZ NA^ALO KOORDINAT O(0 0). wTORU@ TO^KU PRQMOJ POLU^IM, WZQW ZNA^ENIE x = 1, TOGDA ZNA^ENIE y = 2 I TO^KA

(1 2). (rIS.7.)
	3: l :	x ; 2	= y + 1 :
		3	;4
pRQMAQ ZADANA KANONI^ESKIM URAWNENIEM, PO\TOMU KOORDINATY
ODNOJ TO^KI IZWESTNY SRAZU				M1(2 ;1):	kOORDINATY WTOROJ TO^	-
KI POLU^IM, WZQW W URAWNENII PRQMOJ					x = 5 (^TOBY POLU^I-

LOSX CELO^ISLENNOE ZNA^ENIE). wY^ISLQEM SOOTWETSTWU@]EE ZNA^E- NIE y = ;5. tAKIM OBRAZOM, M2(5 ;5): sTROIM PRQMU@ PO DWUM TO^KAM. (rIS.8.)

rIS. 8. rIS. 9.

4: l : 8

x = 2t ; 1

:

<

y = t + 5

:

pRQMAQ ZADANA PARAMETRI^ESKI. iZ URAWNENIJ IMEEM SRAZU KO-

ORDINATY ODNOJ TO^KI

:

M1(;1 5):

(

rIS

.

9.)

kOORDINATY WTOROJ

TO^KI POLU^IM, WZQW KAKOE-LIBO ZNA^ENIE PARAMETRA

t I WY^I-

SLIW SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ

x

I y:

pUSTX

t = 1 TOGDA

x = 2 ; 1 = 1 y = 1 + 5 = 6:

iTAK

, M2(1 6):

5:

x ; 5 = 0

w URAWNENII OTSUTSTWUET PEREMENNAQ y: dANNAQ PRQMAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU x = 5 PARALLELXNO OSI OY . (rIS.10.)

rIS. 10.

rIS. 11.

77

2) sOSTAWLENIE URAWNENIJ PRQMYH

zADA^A 7. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH, PROHODQ]IH ^EREZ TO^-

KU

Mo(2 ;4) :

A

)

PARALLELXNO

,

W

)

PERPENDIKULQRNO

,

S

)

POD

UGLOM

45o K PRQMOJ l :

3x ; 5y + 2 = 0:

rE[ENIE:

a)

COSTAWIM URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DANNU@ TO^KU

PARALLELXNO DANNOJ PRQMOJ.

iSHODNAQ PRQMAQ ZADANA OB]IM URAW-

NENIEM, IZ KOTOROGO SLEDUET,

~

^TO NORMALXNYJ WEKTOR PRQMOJ N =

f3 ;5g: wEKTOR NORMALI DANNOJ PRQMOJ MOVET SLUVITX I NORMALX@ K PARALLELXNOJ PRQMOJ. (rIS.12.)

wZQW URAWNENIE ISKOMOJ PRQMOJ W WIDE:

A(x ; xo) + B(y ; yo) = 0

POLU^IM POSLE PODSTANOWKI

M0(2 ;4) I WEKTORA NORMALI rIS. 12. NENIE

KOORDINAT TO^KI

~

N = f3 ;5g URAW-

3(x ; 2) ; 5(y + 4) = 0 ILI 3x ; 5y ; 26 = 0:

b) COSTAWIM URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ DANNU@ TO^KU PERPENDIKULQRNO DANNOJ PRQMOJ. iZ RISUNKA 12 WIDNO, ^TO WEKTOR

NORMALI ISHODNOJ PRQMOJ SLUVIT NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM DLQ PER-
~
PENDIKULQRNOJ PRQMOJ N = ~s = f3 ;5g: tAKIM OBRAZOM DLQ URAW-
NENIQ PERPENDIKULQRNOJ PRQMOJ MY IMEEM TO^KU Mo(2 ;4) I NA-
PRAWLQ@]IJ WEKTOR. (rIS.13.)
iSPOLXZUQ URAWNENIE ISKOMOJ PRQMOJ W KANONI-
^ESKOM WIDE	x ; xo = y ; yo
	m	n

I PODSTAWLQQ W NEGO KOORDINATY TO^KI I NAPRAW- rIS. 13. LQ@]EGO WEKTORA, POLU^IM

	x ; 2	= y + 4	) ;	5(x	;	2) = 3(y + 4)	)	5x + 3y + 2 = 0:
78	3	;5

c) sOSTAWIM URAWNENIQ PRQMYH, PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU POD UGLOM 450 K DANNOJ PRQMOJ.

rE[ENIE. iZ RISUNKA 14 WIDNO, ^TO ^EREZ DAN-
NU@ TO^KU POD UGLOM 450 K DANNOJ PRQMOJ PROHO-
DQT DWE WZAIMNO PERPENDIKULQRNYE PRQMYE. iS-
HODNAQ PRQMAQ ZADANA OB]IM URAWNENIEM IZ KO-
~
TOROGO EE NORMALXNYJ WEKTOR N = f3 ;5g. sOZ-
DADIM DRUGOJ WEKTOR, PERPENDIKULQRNYJ DANNO-	rIS. 14.
MU I IME@]IJ ODINAKOWU@ S NIM DLINU.

dLQ POLU^ENIQ TAKOGO WEKTORA DOSTATO^NO W DANNOM POMENQTX MES-

:

N1 = f5 3g:

TAMI KOORDINATY I U ODNOJ IZ NIH SMENITX ZNAK

~

~

~

= f5 3g DEJSTWITELXNO RAWNY PO DLINE

wEKTORY N = f3 ;5g I N1

(N N1

= f3 ;5gf5 3g = 15 ; 15 = 0):

I WZAIMNO PERPENDIKULQRNY

~

~

wEKTOR DIAGONALI

~

KWADRATA,

~

~

d

POSTROENNOGO NA WEKTORAH N

I N1,

~

~

UGOL W 45

o

I SLUVIT NORMALXNYM WEK-

OBRAZUET S WEKTORAMI N I

N1

TOROM PRQMOJ l1 I

NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM PRQMOJ l2. |TOT WEKTOR

~

~

~

~

~

= f8 ;2g:

QWLQETSQ SUMMOJ WEKTOROW N

I N1 PO\TOMU d = N + N1

dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PRQMOJ

l1 ISHODNYM BUDET URAWNE-

NIE

A(x ; xo) + B(y ; yo) = 0.

pOSLE PODSTANOWKI KOORDINAT

TO^KI Mo(2 ;4) I KOORDINAT NORMALXNOGO WEKTORA

~

d = fA Bg =

f8 ;2g POLU^AEM URAWNENIE ISKOMOJ PRQMOJ

8(x

; 2)

;

2(y + 4) = 0

ILI 4x ; y

;

12 = 0:

tAK KAK PRQMAQ

l2

PERPENDIKULQRNA K PRQMOJ

l1

TO W KA^ESTWE

~

pOSLE PODSTA-

EE WEKTORA NORMALI MOVNO WZQTX WEKTOR d2 = f2 8g:

NOWKI KOORDINAT TO^KI M0(2

;4)

~

POLU^AEM

I KOORDINAT WEKTORA d2

URAWNENIE PRQMOJ

l2

2(x ; 2) + 8(y + 4) = 0

ILI

x ; 2 + 4(y + 4) = 0:

oKON^ATELXNO

x + 4y + 14 = 0:

zAME^ANIE. eSLI ISHODNAQ PRQMAQ ZADANA URAWNENIEM DRUGOGO WI- DA, TO NUVNO SNA^ALA PRIWESTI EGO K OB]EMU URAWNENI@, I DALEE RE- [ATX ZADA^U PREDLOVENNYM WY[E SPOSOBOM.

79

3.2.1.-3.2.3.

3) zADA^I NA WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH

pRQMYE NA PLOSKOSTI MOGUT BYTX PARALLELXNY, PERPENDIKULQRNY ILI W OB]EM SLU^AE PERESEKATXSQ POD KAKIM-TO UGLOM. w TEH SLU^A- QH, KOGDA PRQMYE PERESEKA@TSQ, NEOBHODIMO OPREDELQTX KOORDINATY TO^KI PERESE^ENIQ I UGOL MEVDU PRQMYMI. kROME TOGO, NEOBHODI- MO UMETX PROWERQTX USLOWIQ PARALLELXNOSTI I PERPENDIKULQRNOSTI PRQMYH. oTMETIM, ^TO WSE \TI ZADA^I RE[A@TSQ SREDSTWAMI WEKTOR- NOJ ALGEBRY, PO\TOMU NUVNO UMETX IZ URAWNENIJ PRQMYH OPREDELQTX KOORDINATY LIBO WEKTOROW NORMALI, LIBO NAPRAWLQ@]IH WEKTOROW, MOVNO TAKVE ISPOLXZOWATX UGLOWYE KO\FFICIENTY PRQMYH. w TAB- LICAH PRIWEDENY RAZLI^NYE FORMULY DLQ OPREDELENIQ UGLA, OBRAZOWANNOGO PAROJ PERESEKA@]IHSQ PRQMYH, USLOWIQ PARAL- LELXNOSTI I PERPENDIKULQRNOSTI PRQMYH DLQ RAZNYH SLU^AEW ZADA- NIQ PRQMOJ. pRI RE[ENII ZADA^ NA WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH REKOMENDUETSQ PRIWESTI OBA URAWNENIQ K ODNOMU WIDU: LIBO K OB]E- MU, LIBO K KANONI^ESKOMU, LIBO K URAWNENI@ S UGLOWYM KO\FFICI- ENTOM.

nAHOVDENIE TO^KI PERESE^ENIQ DWUH PRQMYH

zADA^A 8.	nAJTI TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH:
	l1 :	x + 4	= y ; 8 l2 : 3x + 6y = 1:
		;2	3
rE[ENIE.	1-J	SPOSOB. dLQ NAHOVDENIQ TO^KI PERESE^ENIQ PRQ-

MYH NEOBHODIMO RE[ITX SISTEMU IZ DWUH URAWNENIJ \TIH PRQMYH. |TU SISTEMU LU^[E RE[ATX, ESLI PREDWARITELXNO PEREWESTI KANONI- ^ESKOE URAWNENIE PRQMOJ l1 W PARAMETRI^ESKIJ WID. pOLU^IM SISTE- MU

8	8 x = ;2t ; 4
>	< y = 3t + 8
>	:	;
<	3x + 6y		1 = 0	l2
:
DLQ RE[ENIQ KOTOROJ W URAWNENIE PRQMOJ					PODSTAWLQEM WYRAVENIQ

DLQ x I y ^EREZ t IZ URAWNENIJ PERWOJ PRQMOJ I NAHODIM ZNA^ENIE PARAMETRA t, SOOTWETSTWU@]EE TO^KE PERESE^ENIQ

3(;2t ; 4) + 6(3t + 8) ; 1 = 0	)		)	35
		12t + 35 = 0		t = ;12	:

80

pODSTAWIM POLU^ENNOE ZNA^ENIE t W URAWNENIQ PRQMOJ l1 I POLU- ^IM KOORDINATY TO^KI PERESE^ENIQ

x = 70=12 ; 4 = 11=6 y = ;105=12 + 8 = ;3=4 ILI M	11	3	! :
	6	;4

2-J SPOSOB. pRI RE[ENII DANNOJ ZADA^I MOVNO POLXZOWATXSQ OB- ]IMI URAWNENIQMI PRQMYH, PO\TOMU PRIWED<M KANONI^ESKOE URAW- NENIE PRQMOJ l1 K OB]EMU WIDU:

x + 4	= y ; 8	)	3x + 12 =	;	2y + 16	)	3x + 2y	;	4 = 0:
;2	3

dLQ NAHOVDENIQ TO^KI PERESE^ENIQ PRQMYH NEOBHODIMO NAJTI RE[E- NIE SISTEMY

8

3x + 2y

;

4 = 0

8

3x + 2y

;

4 = 0

8 x =

11

3x + 6y

1 = 0

)

)

>

63

:

<

;

<

4y + 3 = 0

< y =

;4

:

:

>

11

3

:

tAKIM OBRAZOM, TO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH M

6

;4

! :

nAHOVDENIE UGLA, OBRAZOWANNOGO PAROJ PERESEKA@]IHSQ PRQMYH

zADA^A 9. nAJTI KOSINUS UGLA, OBRAZOWANNOGO PAROJ PERESEKA@-

]IHSQ PRQMYH

l1 :

3x + 2y ; 4 = 0

l2 : 3x + 6y = 1:

rE[ENIE. kOSINUS UGLA MEVDU PRQMYMI, ZADANNYMI OB]IMI

URAWNENIQMI, NAHODIM KAK KOSINUS UGLA MEVDU IH NORMALXNYMI WEK-

TORAMI

(rIS. 15.)

(SM. FORMULU W TABLICE 3.2.1.).

~

~

~

~

(N1 N2)

=

cos ' = cos(N1 N2) =

~

~

j

j N1

jj N2

=

f3 2gf3 6g

=

p32 + 22p32 + 62

=

3

3 + 2

6

=

21

:

rIS. 15.

p9 + 4p9 + 36

p13p45

zAMETIM, ^TO PRQMYE OBRAZU@T MEVDU SOBOJ DWA UGLA, ODIN IZ KOTO- RYH OSTRYJ, A DRUGOJ TUPOJ. zNAK W WYRAVENII DLQ cos ' SOOTWET- STWUET TOMU, LIBO DRUGOMU UGLU. (pO TRIGONOMETRI^ESKIM TABLICAM,

81