fix1

k NELINEJNYM OPERACIQM OTNOSQTSQ:

1.pROIZWEDENIE MATRIC.

2.wOZWEDENIE MATRICY W CELU@ POLOVITELXNU@ STEPENX.

zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO W REZULXTATE WSEH PERE^ISLENNYH DEJ- STWIJ NAD MATRICAMI WSEGDA POLU^AETSQ MATRICA.

nEOPREDELENY TAKIE DEJSTWIQ NAD MATRICAMI, KAK DELENIE MAT- RIC I WOZWEDENIE W DROBNU@ ILI OTRICATELXNU@ STEPENX.

1.2.2. dEJSTWIQ NAD MATRICAMI.

1) sLOVENIE (WY^ITANIE) MATRIC.

p R A W I L O: DLQ TOGO, ^TOBY SLOVITX (WY^ESTX) DWE MATRICY, NUVNO SLOVITX (WY^ESTX) IH SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY (T.E. \LEMENTY, STOQ]IE NA ODINAKOWYH MESTAH W OBEIH MATRICAH).

o^EWIDNO, ^TO SKLADYWATX I WY^ITATX MOVNO TOLXKO MATRICY ODNOGO RAZMERA.

1: A + B = 0	24	;70	;	35 1	+ 0	121	;54	08 1 =
@				A	@		;		A
B ; A = 0	121	;54	08 1		; 0	24	;70	;	35 1 =
@		;		A	@				A
2) uMNOVENIE MATRICY NA ^ISLO.

0	5	;11	13		1 :
@ 14		;5	;3		A
0	;3	3	3	1 :
@	10	;5	3	A

p R A W I L O: dLQ TOGO, ^TOBY UMNOVITX (RAZDELITX) MATRICU NA OTLI^NOE OT NULQ ^ISLO, NUVNO UMNOVITX (RAZDELITX) NA \TO ^ISLO WSE \LEMENTY \TOJ MATRICY.

aNALOGI^NO MOVNO OPREDELITX OBRATNOE DEJSTWIE - WYNESENIE OB- ]EGO MNOVITELQ IZ WSEH \LEMENTOW MATRICY ZA ZNAK MATRICY.

	2:		5	0	4	;1		1	=	0	;20	5	1	:
		;		B	5		2	C		B	25	10	C
					3	;	7				;15	;35
				@				A		@	;		A

12

3) lINEJNAQ KOMBINACIQ MATRIC.

mATRICA	C NAZYWAETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ MATRIC A I
B ESLI WYPOLNQETSQ RAWENSTWO: C = A + B
GDE I	-KO\FFICIENTY LINEJNOJ KOMBINACII.

|TA OPERACIQ, O^EWIDNO, QWLQETSQ OBOB]ENIEM PREDYDU]IH. mOV- NO SOSTAWLQTX LINEJNU@ KOMBINACI@ L@BOGO ^ISLA MATRIC ODNOGO RAZMERA.

	0	1		0	1		0	;4		5	1		0	21	;20	1
3: C = 5		2		5		; 4		8		3				42	13
	B	;6	;7		C		B	;1	;6		C	=	B	;34	;11	C	:
		1	;	2				0	;	11				5	34
	@				A		@				A		@			A
4) pROIZWEDENIE MATRIC.
pUSTX DANY MATRICY				A RAZMERA (m n) I B RAZMERA												(n p) I
TREBUETSQ NAJTI IH PROIZWEDENIE MATRICU											C = A B.
uMNOVENIE MATRIC WOZMOVNO, ESLI ^ISLO STOLBCOW n MATRICY A

RAWNO ^ISLU STROK n MATRICY B. iLI: ^ISLO \LEMENTOW W STROKE MATRICY A DOLVNO RAWNQTXSQ ^ISLU \LEMENTOW W STOLBCE MATRICY B. pOLU^ENNAQ W REZULXTATE UMNOVENIQ MATRICA C BUDET IMETX RAZ- MER (m p), T.E. W MATRICE C STOLXKO STROK, SKOLXKO IH W PERWOJ MATRICE A I STOLXKO STOLBCOW, SKOLXKO IH WO WTOROJ MATRICE B.

fORMALXNO \TO MOVNO ZAPISATX TAK:

(m n) (n p) = (m p):

wNUTRENNIE ^ISLA DOLVNY BYTX ODINAKOWYMI , \TO UKAZYWAET NA WOZMOVNOSTX UMNOVENIQ, A WNE[NIE ^ISLA DA@T RAZMER MATRICY C. nE SLEDUET ZABYWATX, ^TO W OB]EM SLU^AE AB 6=BA , T.E. NELXZQ PERESTAWLQTX SOMNOVITELI W PROIZWEDENII.

p R A W I L O U M N O V E N I Q: |LEMENT cij , STOQ]IJ W STRO- KE S NOMEROM i I STOLBCE S NOMEROM j W MATRICE C RAWEN SUMME PROIZWEDENIJ \LEMENTOW STROKI S NOMEROM i PERWOJ MATRICY A NA SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY STOLBCA S NOMEROM j WTOROJ MATRI- CY B.

13

		0	1	1	2		1		0	5		9	1			(3	3)(3		2) = (3 2)
																wYPOLNQTX UMNOVENIE
	4:	B	2	1	1		C		B	0		3	C	=		MOVNO: w REZULXTATE									=
			3	2	;4					1	;	1				POLU^IM MATRICU
		@			;		A		@				A			RAZMERA			(3 2)
	0			1 5 + 1				0 + 2			1					9 + 1 3 + 2					(;1)		1			7 10	1
															1										0
=	B	2 5 + 1 0 + ( 1) 1 2 9 + 1 3 + ( 1)																		( 1)			C	=	B	9 22	C	:
		3	5 + 2			0 + (;4)					1 3				9 + 2			3 + (;4)			(;1)					11 37
	@								;										; ;				A @				A
								0	2	1 =		(1			3)(3			1) = (1		1)
	5:		1	2	3				1			POLU^IM MATRICU SOSTOQ]U@														=
								B	3	C		IZ ODNOGO \LEMENTA
								@		A								= (1 2 + 2 1 + 3 3) = (13):
6:		0 2		1	1			2	3 =				j (3 1)(1 3) = (3 3) j =
		B 31		C
		@		A												0	2 1 2		2 2		3	1			0	2 4 6	1
															=								=					:
																B	3 1 3		2 3		3	C			B	3 6 9	C
																@						A			@		A
5) wOZWEDENIE MATRICY W CELU@ POLOVITELXNU@ STEPENX.

wOZWEDENIE W STEPENX ESTX MNOGOKRATNOE UMNOVENIE, PO\TOMU PRI WOZWEDENII MATRICY W STEPENX MY UMNOVAEM EE SAMU NA SEBQ NUVNOE ^ISLO RAZ. nAPRIMER:

A2 = A

A:

A3 = A

A

A

= A2

A

= A

A2:

3

7: 0

;

31

;26 1

= 0

;

31

;62 1 0

;

31 ;62

1 0

;

31

;26 1 =

@

A @

0

A @

1 0

A @

1

A

;98

1 :

=

7 ;14

1 ;2

= 0

49

@

;21

42

A @ ;3

6

A

@ ;147

294

A

1.2.3.

oBRATNAQ MATRICA

o P R E D E L E N I E. kWADRATNAQ MATRICA A NAZYWAETSQ NEWY- ROVDENNOJ, ESLI EE OPREDELITELX OTLI^EN OT NULQ.

14

o P R E D E L E N I E. mATRICA A;1 NAZYWAETSQ OBRATNOJ DLQ NE- WYROVDENNOJ MATRICY A, ESLI PROIZWEDENIE MATRIC A I A;1 RAWNO EDINI^NOJ MATRICE

A A;1 = A;1 A = E:

iTAK, OBRATNAQ MATRICA SU]ESTWUET, ESLI ISHODNAQ MATRICA KWAD- RATNAQ I IMEET OTLI^NYJ OT NULQ OPREDELITELX.

sHEMA NAHOVDENIQ OBRATNOJ MATRICY.

1.wY^ISLQEM OPREDELITELX MATRICY A. eSLI det A 6= 0,DELAEM WYWOD, ^TO OBRATNAQ MATRICA SU]ESTWUET.

2.sOSTAWLQEM SO@ZNU@ MATRICU A , \LEMENTAMI KOTOROJ QWLQ@T- SQ ALGEBRAI^ESKIE DOPOLNENIQ \LEMENTOW ISHODNOJ MATRICY.

3.pOLU^ENNU@ MATRICU TRANSPONIRUEM, POLU^AEM MATRICU A T :

4.wSE \LEMENTY MATRICY A T DELIM NA WELI^INU OPREDELITELQ

MATRICY A A	;1	=	A T	:
			det A

nAHOVDENIE MATRICY, OBRATNOJ DANNOJ, NAZYWAETSQ OBRA]ENIEM MATRICY.

z A M E ^ A N I E. oTMETIM RQD INTERESNYH SWOJSTW.

1. oPREDELITELX PROIZWEDENIQ DWUH WZAIMNO OBRATNYH MATRIC RAWEN EDINICE@ OPREDELITELX OBRATNOJ MATRICY ESTX WELI^INA OB- RATNAQ OPREDELITEL@ ISHODNOJ MATRICY.

	;1		;1			;1	1
det (A A		) = det A det A		= det E = 1	=) det A		=		:
								det A

2. oBRA]ENIE TRANSPONIROWANNOJ MATRICY RAWNOSILXNO TRANS- PONIROWANI@ OBRATNOJ MATRICY, T.E.

(AT );1 = (A;1)T :

3. mATRICA, OBRATNAQ PROIZWEDENI@ MATRIC, RAWNA PROIZWEDENI@ OBRATNYH MATRIC, WZQTYH W PROTIWOPOLOVNOM PORQDKE

(A B);1 = B;1 A;1:

15

1.

nAJTI MATRICU, OBRATNU@ DANNOJ

A = 0 41

32 1 :

rE[ENIE. dEJSTWUEM PO SHEME:

@

;

A

1)

det A =

1

2

=

;

3

;

8 =

;

11

6

= 0

A;1

;

SU]ESTWUET:

4

;3

)

2)

sOSTAWLQEM SO@ZNU@ MATRICU: NA MESTO KAVDOGO \LEMENTA MAT-

RICY A STAWITSQ EGO ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE:

A11 = (;1)2

3j ; 3j = ;3

A12 = (;1)43

j4j = ;4

A21 = (;1) j2j =

;2

A22 = (;1) j1j = 1:

sO@ZNAQ MATRICA

A = 0

;3

;4

1 :

@

;2

1 A

A T =

0

;3

;2 1 :

3)

pOLU^ENNU@ MATRICU TRANSPONIRUEM

4)

nAHODIM OBRATNU@ MATRICU

@

;4

1 A

0

;3

;2

1

3=11

2=11

1

3

2

;

4

1

A 1 = @

;

A = 0

4=11

;

1=11

1 =

0 4

;

1

1 :

11

11

;

@

;

A

@

A

pROWERKA:

pROIZWEDENIE A

A 1

= E:

1 2

1

3 2

1

3 + 8 2 2

0

4

;

3

1

0

4

;

1

1 =

0 12

;

12 8

;+ 3

1 =

11

11

@

A

@

A

@

A

=

1

0

11 0

1 = 0

1 0 1

= E:

11 @

0

11 A

@ 0

1 A

0

5

3

1

1

2.

:

nAJTI MATRICU, OBRATNU@ DANNOJ A= B

51

;23 ;12 C

rE[ENIE.

1)

det A =

@

;

A

5

3

1

2

S1 + S2

5

3

1

= 1 3 2 =

= 11 3 0 =

;5

;2

;1

;1 S1 + S3

;10 ;1 0

4

11

3

= 19 6=:0

= 1 (;1)

;10

;1

2)

sOSTAWLQEM SO@ZNU@ MATRICU. nAHODIM ALGEBRAI^ESKIE DOPOL-

NENIQ \LEMENTOW MATRICY A. aLGEBRAI^ESKIMI DOPOLNENIQMI BUDUT

16

QWLQTXSQ MINORY \LEMENTOW, WZQTYE SO SWOIM ZNAKOM, ESLI SUMMA NO- MEROW STROKI I STOLBCA, W KOTORYH STOIT DANNYJ \LEMENT, ^ETNAQ, I S PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM, ESLI \TA SUMMA NE^ETNAQ.

A11

=

;32 ;21

= 1 A12

= ;

;51 ;12

= 9

1

3

3

1

= ;13 A21 = ;

= ;1

A13 =

;

5

;2

5

2 1

5

1

3

A22

=

;5 1

= 10 A23 = ;

;5 2

= ;25

3

1

5

1

A31

=

;3 ;2

= ;3 A32 = ;

1

;2

= 11

5

3

A33

=

1

;3

= ;18:

iTAK, SO@ZNAQ MATRICA

0

1

9

;13

1

A

=

B

;31

1110 ;1825

C :

@

;

;

A

;1

;3

3)

tRANSPONIRUEM SO@ZNU@ MATRICU

T =

0

1

1 :

A

9

;

10

;

11

@ ;

A

B

13

25

18

C

;1

1 0

1

;1

;3

1

4)

zAPISYWAEM OBRATNU@ MATRICU

A

=

9

10

11

:

19 B

C

;

13

25

18

@

; ;1;

A

nETRUDNO PROWERITX, ^TO DLQ MATRIC SPRAWEDLIWO

:

A A

= E:

1.2.4. rANG MATRICY

pRI RASSMOTRENII SWOJSTW OPREDELITELQ MY OTME^ALI, ^TO W RQ- DE SLU^AEW MOVNO, NE WY^ISLQQ OPREDELITELX, SKAZATX, ^TO ON RAWEN NUL@. w \TIH SLU^AQH UTWERVDAETSQ, ^TO STROKI (STOLBCY) MATRICY OPREDELITELQ LINEJNO ZAWISIMY. ~ASTO LINEJNU@ ZAWISIMOSTX RQDOW MATRICY OPREDELITELQ WIDNO SRAZU: NALI^IE DWUH ODINAKOWYH PA- RALLELXNYH RQDOW DWUH PROPORCIONALXNYH RQDOW RQDOW, \LEMENTY KOTORYH QWLQ@TSQ SUMMOJ ILI RAZNOSTX@ SOOTWETSTWU@]IH \LEMEN- TOW DRUGIH RQDOW. |TO PROSTEJ[IE PRIMERY LINEJNOJ ZAWISIMOSTI.

17

o P R E D E L E N I E

w OB]EM SLU^AE LINEJNO ZAWISIMYMI NAZYWA@TSQ TAKIE RQDY, IZ KOTORYH ODIN MOVET BYTX PREDSTAWLEN W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII OSTALXNYH.

eSLI NI ODIN IZ RQDOW MATRICY NELXZQ PREDSTAWITX KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ OSTALXNYH, RQDY MATRICY QWLQ@TSQ LINEJNO NEZAWISI- MYMI.

w DALXNEJ[EM PRI RE[ENII SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ NAM PO- TREBUETSQ RE[ATX WOPROS O NALI^II LINEJNO ZAWISIMYH STROK W MAT- RICE I O KOLI^ESTWE LINEJNO NEZAWISIMYH STROK. tAKIM OBRAZOM MY PODHODIM K PONQTI@ RANGA MATRICY.

o P R E D E L E N I E 1. mAKSIMALXNOE ^ISLO LINEJNO NEZAWISIMYH STROK MATRICY NAZYWAETSQ RANGOM MATRICY I OBOZNA^AETSQ

Rang A = R:

eSLI RANG MATRICY RAWEN ^ISLU R, \TO ZNA^IT, ^TO W MATRICE NAJDETSQ HOTQ BY ODIN MINOR PORQDKA R, NE RAWNYJ NUL@, A WSE MI- NORY BOLEE WYSOKOGO PORQDKA RAWNY NUL@. l@BOJ, NE RAWNYJ NUL@ MINOR PORQDKA, RAWNOGO RANGU, NAZYWAETSQ BAZISNYM.

2. rANGOM MATRICY NAZYWAETSQ NAIWYS[IJ PORQDOK OTLI^NOGO OT NULQ MINORA MATRICY.

dLQ NAHOVDENIQ RANGA MATRICU PRIWODQT K TREUGOLXNOMU WIDU, PRI \TOM ISPOLXZU@TSQ TE VE PRIEMY, ^TO I PRI WY^ISLENII OPREDE- LITELEJ WYSOKOGO PORQDKA. wYQWLQEMYE PRI \TOM LINEJNO ZAWISIMYE STROKI WY^ERKIWA@TSQ, A PO KOLI^ESTWU OSTAW[IHSQ LINEJNO NEZA- WISIMYH SUDQT O RANGE.

nAJTI RANG MATRICY
0	1	1	1	1		1		1			S2 ; 3S1							0	1		1		1		1		1		1
	3	2	1	;	1	;	3												0		;	1	;	2	;	2	;	6
	0	1	2																0
B				2		6		C			S4 ; 5S1							B			1		2		2		6		C
	5 4		3 3				1			1									0			1		2		2		6
@						;		A			1		1			1		@	1		;		;		;		;		A
								0		0	;	1	;	2		;	2		;	6	1
18									@												A

2-AQ, 3-Q I 4-Q STROKI QWLQ@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI I L@BYE DWE IZ NIH MOVNO WY^ERKNUTX. oSTANUTSQ DWE LINEJNO NEZAWISIMYH STROKI, ^TO PODTWERVDAETSQ NALI^IEM MINORA 2-GO PORQDKA, NE RAWNOGO NUL@:

M2 =		1	1		6=:0
		0	;1

wSE MINORY 3-GO I 4-GO PORQDKA RAWNY NUL@. wYWOD: Rang A = 2.

1.3. sISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ

sISTEMOJ m LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI NAZYWAETSQ SISTEMA WIDA

8

a11x1 +a12x2 +

+a1nxn = b1

>

a21x1 +a22x2 +

+a2nxn = b2

:

<

> am1x1

am2x2

+ +amnxn

= bm

:

AX = B, GDE mATRICA

w MATRI^NOJ FORME SISTEMU MOVNO ZAPISATX

KO\FFICIENTOW PRI NEIZWESTNYH (OSNOWNAQ MATRICA SISTEMY) A, MATRICA{

STOLBEC NEIZWESTNYH X I MATRICA{STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW B

A = 0

a11

a12

a1n

x1

1 :

b1

1 :

a21

a22

a2n

1

: X =

0 x2

B =

0 b2

@

A

:::

A

:::

A

@

@

B am1 am2

amn C

B xn C

B bm C

	0	a11		a12		a1n b1		1
A=		a21		a22		a2n	b2		: NAZYWAETSQ RAS[IRENNOJ MATRICEJ
	@							A
			.	am2	amn bm
	B am1							C
SISTEMY

rE[ENIEM SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ NAZYWAETSQ SOWOKUP- NOSTX ^ISEL c1 c2 : : : cn, KOTORAQ PRI PODSTANOWKE W KAVDOE URAW- NENIE SISTEMY WMESTO NEIZWESTNYH x1 x2 : : : xn OBRA]AET \TI URAWNENIQ W WERNYE ^ISLOWYE RAWENSTWA.

19

sOWMESTNOJ NAZYWAETSQ SISTEMA, IME@]AQ HOTQ BY ODNO RE[E- NIE.

nESOWMESTNOJ NAZYWAETSQ SISTEMA, NE IME@]AQ RE[ENIJ. oPREDELENNOJ NAZYWAETSQ SOWMESTNAQ SISTEMA, IME@]AQ EDINST-

WENNOE RE[ENIE.

nEOPREDELENNOJ NAZYWAKTSQ SOWMESTNAQ SISTEMA, IME@]AQ BESKO- NE^NOE MNOVESTWO RE[ENIE.

tAKIM OBRAZOM, PRI ANALIZE I RE[ENII SISTEM LINEJNYH URAWNE- NIJ STAWQTSQ I RE[A@TSQ SLEDU@]IE WOPROSY:

1.qWLQETSQ LI SISTEMA SOWMESTNOJ ?

2.eSLI SISTEMA SOWMESTNA, QWLQETSQ LI ONA OPREDELENNOJ ILI NEOPREDELENNOJ ?

3.w SLU^AE OPREDELENNOJ SISTEMY NEOBHODIMO NAJTI EDINSTWEN- NOE RE[ENIE.

4.w SLU^AE NEOPREDELENNOJ SISTEMY SLEDUET ZAPISATX WSE MNO- VESTWO RE[ENIJ SISTEMY.

nA WOPROS O SOWMESTNOSTI SISTEMY OTWE^AET SLEDU@]AQ TEOREMA.

t E O R E M A kRONEKERA - kAPELLI. sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ SOWMESTNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RANG OSNOWNOJ MATRICY SISTEMY RAWEN RANGU RAS[IRENNOJ MATRICY

Rang A = Rang A= R:

dLQ TOGO, ^TOBY OTWETITX NA WTOROJ WOPROS, NUVNO SRAWNITX RANG R MAT- RICY A S ^ISLOM NEIZWESTNYH SISTEMY n.

eSLI RANG MATRICY A RAWEN ^ISLU NEIZWESTNYH (R = n), TO SIS- TEMA IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.

eSLI RANG MATRICY A MENX[E ^ISLA NEIZWESTNYH (R < n), TO SIS-

TEMA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[ENIJ.

oTMETIM, ^TO OBY^NO PRI RE[ENII KONKRETNYH SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ OTDELXNO WOPROS O SOWMESTNOSTI SISTEMY NE RASSMATRIWA- ETSQ, TAK KAK OTWET NA NEGO POLU^AETSQ W PROCESSE RE[ENIQ SISTEMY.

20

rASSMOTRIM METODY RE[ENIQ SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ.

1.3.1. mETOD kRAMERA

sISTEMA n LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI IMEET EDINST- WENNOE RE[ENIE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA OPREDELITELX OSNOWNOJ

MATRICY OTLI^EN OT NULQ. nEIZWESTNYE SISTEMY NAHODQTSQ PO FOR- MULAM kRAMERA xk = k GDE ; GLAWNYJ OPREDELITELX SISTEMY,

T.E. OPREDELITELX OSNOWNOJ MATRICY A, k ; OPREDELITELX NEIZ- WESTNOGO xk, KOTORYJ POLU^AETSQ PRI ZAMENE STOLBCA S NOMEROM k W GLAWNOM OPREDELITELE NA STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW (k = 1 2 : : : n): iTAK, METODOM kRAMERA MOVNO RE[ATX KWADRATNYE SISTEMY S OT-

LI^NYM OT NULQ OPREDELITELEM.
rE[ITX METODOM kRAMERA SISTEMU					8	2x1	;x2	+x3 = 4
					>	x1	+x2	;x3 = 2	:
					<	2x1	;x2	+3x3 = 6
					>
					:
rE[ENIE. sISTEMA IMEET ODINAKOWOE ^ISLO URAWNENIJ I NEIZ-
WESTNYH. nAJDEM GLAWNYJ OPREDELITELX.
	2	;1	1		6=:0
= 1		1	;1	= 6
	2	;1	3

zAMETIM, ^TO, W \TOM SLU^AE (KAK I W PREDYDU]EM), RANG OSNOWNOJ MATRICY SISTEMY RAWEN ^ISLU NEIZWESTNYH, PO\TOMU SISTEMA IMEET EDINSTWENNOE RE[ENIE.

sOSTAWIM I WY^ISLIM OPREDELITELX DLQ PERWOGO NEIZWESTNOGO x1. dLQ \TOGO W GLAWNOM OPREDELITELE PERWYJ STOLBEC, SOOTWETSTWU@- ]IJ KO\FFICIENTAM PRI x1, ZAMENIM STOLBCOM SWOBODNYH ^LENOW:

	4	;1	1
1 = 2		1	;1	= 12:
	6	;1	3

aNALOGI^NO, ZAMENIW WTOROJ STOLBEC W GLAWNOM OPREDELITELE STOLB- COM SWOBODNYH ^LENOW, ZAPI[EM I WY^ISLIM OPREDELITELX 2, A,

21