fix1

rIS. 137.

tOGDA WEKTOR NORMALI K PLOSKOSTI MOVNO NAJTI KAK IH WEKTORNOE PROIZWEDENIE

	~	~	~
N = fA B Cg = [~s ;;;!M0M1] =	i	j	k
	;2	4	1 = f;13 ;8 6g:
~
	;2	1	;3
uRAWNENIE ISKOMOJ PLOSKOSTI BUDET
;13(x + 3) ; 8(y ; 2) + 6(z ; 5) = 0	ILI		13x + 8y ; 6z + 53 = 0:

dLINY OTREZKOW, OTSEKAEMYH PLOSKOSTX@ NA KOORDINATNYH OSQH, BU- DUT SOOTWETSTWENNO RAWNY

a =	53		b =	53		c =	53	:
	13			8			6

sLEDOWATELXNO OB_<M PIRAMIDY, OTSEKAEMOJ PLOSKOSTX@ OT KOORDI-
		1	53	53			53
NATNOGO UGLA,	BUDET RAWEN V	= 6	13	8			6	39:7:
zADA^A 28.	nAJTI PROEKCI@ TO^KI						A(4 2 ;1) NA PRQMU@
	x = 3t ; 2	y = 5t			z = t + 2:
rE[ENIE.	pROEKCIEJ TO^KI NA PRQMU@ SLUVIT OSNOWANIE PER-

PENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ DANNOJ TO^KI NA DANNU@ PRQMU@. bU- DEM RE[ATX ZADA^U ANALITI^ESKI SOGLASNO \TOMU GEOMETRI^ESKOMU PREDSTAWLENI@. oDNAKO, SOSTAWITX W PROSTRANSTWE URAWNENIE PRQ- MOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PERPENDIKULQRNO DANNOJ PRQMOJ, DA E]< I PERESEKA@]EJ DANNU@, ZADA^A SLOVNAQ, PO\TOMU MY POSTUPIM

PRO]E.

iSHODNAQ

PRQMAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU M0(;2 0 2) I IME- ET NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR ~s = f3 5 1g: sOSTAWIM URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A PERPENDIKULQRNO DANNOJ PRQMOJ. pRI \TOM NA- PRAWLQ@]IJ WEKTOR PRQMOJ BUDET SLUVITX NOR-

MALXNYM WEKTOROM PLOSKOSTI.			-
	A(x;xo) + B(y ;yo) + C(z ;zo) = 0~
pODSTAWLQQ W URAWNENIE WIDA		KO
ORDINATY TO^KI A(4 2 ;1) I KOORDINATY NORMALXNOGO WEKTORA N =
fA B Cg = f3 5 1g POLU^AEM URAWNENIE PLOSKOSTI
3(x ; 4) + 5(y ; 2) + (z + 1) = 0		ILI 3x + 5y + z ; 21 = 0:
142

nAJD<M TEPERX PROEKCI@ DANNOJ TO^KI NA DANNU@ PRQMU@ KAK TO^- KU PERESE^ENIQ DANNOJ PRQMOJ S NAJDENNOJ PLOSKOSTX@. dLQ \TOGO DOSTATO^NO NAJTI RE[ENIE SISTEMY, WKL@^A@]EJ W SEBQ URAWNENIQ PRQMOJ I PLOSKOSTI.

8 x = 3t ; 2 > y = 5t

< z = t + 2

> 3x + 5y + z ; 21 = 0:

|TA ZADA^A NAMI UVE RE[ENA SM ZADA^U BEREM OTTUDA REZULX

: ( . 24), -

TAT. tAKIM OBRAZOM, PROEKCIEJ TO^KI A NA DANNU@ PRQMU@ BUDET TO^KA P S KOORDINATAMI

P	1		25		19	! :
	7		7		7
zADA^A 29. nAJTI PROEKCI@ TO^KI						A(4 ;3 1) NA PLOSKOSTX x+

2y ; z ; 3 = 0:

rE[ENIE. pROEKCIEJ TO^KI NA PLOSKOSTX SLUVIT OSNOWANIE PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ DANNOJ TO^KI NA DANNU@ PLOSKOSTX.

sOSTAWIM URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^E- REZ DANNU@ TO^KU, PERPENDIKULQRNO PLOSKOSTI. nAPRAWLQ@]IM WEKTOROM PRQMOJ BUDET WEKTOR NORMALI PLOSKOSTI

~		1 2	1		:
~s = N =	f			g
			;			rIS. 138.

pODSTAWLQEM W KANONI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ KOORDINATY TO^KI I NAPRAWLQ@]EGO WEKTORA

x ; 4	= y + 3	= z ; 1	:
1	2	;1

nAJD<M TEPERX TO^KU PERESE^ENIQ PRQMOJ I PLOSKOSTI, KOTORAQ I BUDET QWLQTXSQ PROEKCIEJ DANNOJ TO^KI NA PLOSKOSTX. rE[AEM SISTEMU

8 x = t + 4
<	y = 2t ; 3			=	t = 1 =	P (5 1 0) :
		;	t + 1	)	)	;
> z =

> x + 2y ; z ; 3 = 0:
:	143

zADA^A 30.	nAJTI TO^KU, SIMMETRI^NU@ TO^KE						A(4 ;3 1)		OT-
NOSITELXNO PLOSKOSTI			x + 2y ; z	; 3 = 0:
rE[ENIE.	pOD SIMMETRI^NOJ TO^KOJ PONIMETSQ TO^KA, QWLQ@]A-
QSQ ZERKALXNYM OTOBRAVENIEM DANNOJ TO^KI OTNOSITELXNO PLOSKOS-
TI. |TA TO^KA LEVIT NA PRODOLVENII PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO
IZ TO^KI NA PLOSKOSTX, I NAHODITSQ OT PLOSKOSTI NA TAKOM VE RAS-
STOQNII, ^TO I DANNAQ TO^KA.
oTMETIM OSNOWNYE \TAPY RE[ENIQ ZADA^I:
		A)	nAHODIM PROEKCI@ TO^KI				A(4 3 ;1)		NA
		PLOSKOSTX, POLU^AEM TO^KU Q(5 ;1 0): |TA TO^-
		KA QWLQETSQ SEREDINOJ OTREZKA, SOEDINQ@]EGO
		ISKOMU@ TO^KU		P	I DANNU@ TO^KU			A:
rIS. 139.
B) kOORDINATY SEREDINY OTREZKA NAHODQTSQ PO FORMULAM
xQ = xA + xP			yQ = yA + yP		zQ = zA + zP :
2			2			2	A I	Q NAJDEM
pODSTAWLQQ W \TI RAWENSTWA KOORDINATY TO^EK
KOORDINATY TO^KI		P:
kOORDINATY TO^KI		Q(5 ;1 0) -PROEKCII DANNOJ TO^KI NA PLOS-
KOSTX MY OPREDELILI W PREDYDU]EJ ZADA^E.

zAPISYWAEM SOOTNO[ENIQ DLQ OPREDELENIQ KOORDINAT SIMMETRI^NOJ TO^KI

5 =	4 + xP			;	1 = ;3 + yP			0 =	1 + zP :
		2					2		2
oTS@DA POLU^AEM			xp = 6				yp = 1	zp = ;1 )		P(6 1 ;1):
zADA^A	31. sOSTAWITX URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ
DWE PARALLELXNYE PRQMYE
l1 :	x	= y + 2		= z ; 1			l2 :	x ; 1	= y ; 3	= z + 2:
	7	3			5			7	3	5

rE[ENIE. dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PLOSKOSTI

A(x ; xo) + B(y ; yo) + C(z ; zo) = 0

NEOBHODIMO ZNATX KOORDINATY TO^KI M0(x0 y0 z0) I KOORDINATY

NORMALXNOGO WEKTORA N~ = fA B Cg:

144

iZ URAWNENIJ PRQMYH IMEEM KOORDINATY TO^EK I NAPRAWLQ@]EGO

WEKTORA

: M1(0 ;2 1) M2(1 3 ;2) ~s = f7 3 5g:

dLQ SOSTAWLENIQ URAWNENIQ PLOSKOSTI MOVNO ISPOLXZOWATX L@BU@ IZ DWUH \TIH TO^EK, NAPRIMER, TO^KU M1:

oBRAZUEM WEKTOR ;;;!M1M2 = f1 5 ;3g: dLQ POLU^ENIQ WEKTOR NORMALI PLOSKOSTI NUVNO

ZNATX DWA NEKOLLINEARNYH WEKTORA (PARAL-
LELXNYH DANNOJ PLOSKOSTI).	tAKIMI WEKTO-
RAMI QWLQ@TSQ WEKTORA ~s I	;;;!1 2
	M M :	rIS. 140.

w KA^ESTWE WEKTORA NORMALI BEREM WEKTOR, PERPENDIKULQRNYJ \TIM

	WEKTORAM, T.E. WEKTOR, QWLQ@]IJSQ IH WEKTORNYM PROIZWEDENIEM.
		~	~	~
	~	i	j	k		~	~	~
		1	5	;3	= 34
	N = [;;;!M1M2 ~s] =					i;26	j;32	k = f34 ;26 ;32g:
	uRAWNENIE PLOSKOSTI	7	3	5

34(x ; 0) ; 26(y + 2) ; 32(z ; 1) = 0				17x ; 13y ; 16z ; 10 = 0:
zADA^A	32.	nAJTI PROEKCI@ PRQMOJ
x = y ; 4		= z + 1	NA PLOSKOSTX	x	;	y + 3z + 8 = 0:
4	3	;2

rE[ENIE. pROEKCIEJ PRQMOJ NA PLOSKOSTX NAZYWAETSQ LINIQ PE- RESE^ENIQ l1 DANNOJ PLOSKOSTI c PLOSKOSTX@, PROHODQ]EJ ^EREZ \TU PRQMU@ PERPENDIKULQRNO K ZADANNOJ.(rIS.142.)

					iTAK, SOSTAWLQEM URAWNENIE PLOSKOS-
					TI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PRQMOJ
					M0(0 4 ;1)			I	S NORMALXNYM	WEK	-
					TOROM		~	KOTORYJ PERPENDIKULQ-
							N1
					REN DWUM		IZWESTNYM WEKTORAM			~s =
					f4 3 ;2g		~
							I N = f1 ;1 3g: pO\TOMU
	rIS. 142.		~	~	~
~		~	i	j	k	~		~	~
N1	= [~s N] = 4 3				;2 = 7 i ; 14			j ; 7 k = f7 ;14 ;7g:
			1	;1	3
										145

	~		TO WOZXMEM WEKTOR
tAK KAK DLINA WEKTORA N1 NESU]ESTWENNA,
~	W 7 RAZ KORO^E POLU^ENNOGO.
N1 = f1 ;2 ;1g
zAPISYWAEM URAWNENIE PLOSKOSTI
1(x ; 0) ; 2(y	; 4) ; (z + 1) = 0	x	; 2y ; z + 7 = 0:
pROEKCIEJ, KAK BYLO OTME^ENO, QWLQETSQ LINIQ PERESE^ENIQ POLU-
^ENNOJ PLOSKOSTI S DANNOJ. zAPISAW SISTEMU
	8 x ; 2y ; z + 7 = 0
	< x ; y + 3z + 8 = 0

POLU^IM OB]IE URAWNENIQ PRQMOJ W PROSTRANSTWE pO SUTI DELA ZA

: . , -

DA^A RE[ENA. nO MOVNO POLU^ITX I KANONI^ESKIE ILI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ. wY[E BYL IZLOVEN ODIN IZ SPOSOBOW PRIWEDENIQ OB]IH URAWNENIJ PRQMOJ K KANONI^ESKOMU WIDU.

zADA^A 33. nAJTI KRAT^AJ[EE RASSTOQNIE MEVDU NEPERESEKA@- ]IMISQ (SKRE]IWA@]IMISQ) PRQMYMI

l1	:	x ; 9		= y + 2			= z
		x	4	y+7	3		1
					;	z;2
l2	:	;2	=	9	=	2	:
	rE[ENIE.							rIS. 145.
					rASSTOQNIEM MEVDU NEPERESEKA@]IMISQ PRQMYMI W

PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ DLINA OB]EGO PERPENDIKULQRA K \TIM PRQMYM. nO ZADA^A SOSTAWLENIQ OB]EGO PERPENDIKULQRA K DWUM PRQMYM DOWOLXNO SLOVNAQ, PO\TOMU POSTUPIM SLEDU@]IM OBRAZOM:

a) sOSTAWIM URAWNENIE PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ ODNU PRQ-

MU@ (NAPRIMER, l1	)			PARALLELXNO WTOROJ.						(uRAWNENIE \TOJ
PLOSKOSTI POLU^ENO PRI RE[ENII PREDYDU]EGO PRIMERA:
3x + 2y ; 6z ; 23 = 0	). pRI \TOM WSE TO^KI PRQMOJ l2 OKAVUTSQ
NA ODINAKOWOM RASSTOQNII OT \TOJ PLOSKOSTI.
B) nAJDEM RASSTOQNIE OT L@BOJ TO^KI WTOROJ PRQMOJ (IZ URAWNE-
NIQ NAM IZWESTNY KOORDINATY TO^KI								M2(0 ;7 2) )			DO POLU^ENNOJ
PLOSKOSTI PO FORMULE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PLOSKOSTI
d = j3 0 +		2 (;7) ; 6 2						; 23j =	49	= 7:
									7
	q3		2	+ 2	2	+ (;6)	2

146

uRAWNENIQ PRQMOJ W PROSTRANSTWE

nAZWANIE

uRAWNENIE

sMYSL PARAMETROW

1.

kANONI^ESKIE UR-Q

x ; x0

= y

; y0

= z ; zo

m

n

p

PRQMOJ W PROSTRANSTWE

M0(xo yo zo);TO^KA NA PRQMOJ

~s = fm n pg;NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR

8 x = mt + xo

2.

pARAMETRI^ESKIE UR-Q

> y = nt + yo

TOT VE

< z = pt + zo

PRQMOJ W PROSTRANSTWE

>

:

3.

uRAWNENIQ PRQMOJ,

x ; x1

=

y ; y1

=

z ; z1

z2 ; z1

x2 ; x1

y2

; y1

PROHODQ]EJ

tO^KI M1(x1 y1 z1)

^EREZ DWE TO^KI

I M2(x2 y2 z2)

4.

oB]IE URAWNENIQ

8

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

<

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

PRQMOJ W PROSTRANSTWE

:

wZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH W PROSTRANSTWE

x ; x1 = y ; y1 = z ; z1

x ; x2 = y ; y2 = x ; x2

m1

n1

p1

m2

n2

p2

~s1 = fm1 n1 p1g

~s2 = fm2 n2 p2g

kOSINUS

UGLA

cos ' =

(~s1 ~s2)

=

m1m2 + n1n2 + p1p2

qm12 + n12 + p12qm22 + n22 + p22

j~s1j j~s2j

uSLOWIE PARALLELXNOSTI

m1

n1

p1

~s1jj~s2 ~s2 = ~s1

m2

= n2

= p2

uSLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI

~s1 ? ~s2

(~s1 ~s2) = 0

m1 m2 + n1 n2 + p1p2 = 0

147

wZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMOJ I PLOSKOSTI W PROSTRANSTWE

x ; x0

= y ; y0

= z ; z0

~s =

f

m n p

m

n

p

g

~

Ax + By + Cz + D = 0

N1 = fA B Cg

sINUS UGLA

~

j

Am +

sin ' = j(N

~s)j =

Bn + Cp j

pA

+ B

+ C

+ p

jNj j~sj

2

2

pm

2

+ n

2

2

~

2

uSLOWIE PARALLELXNOSTI

~

~

A m + B n + C p = 0

~s ? N

(N ~s) = 0

uSLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI

~

~

A

B

C

~s jj N

N = ~s

m

= n

= p

8 x = x0 + mt

<

y

= y0 + nt

tO^KA PERESE^ENIQ

> z = z0 + pt

> A x + B y + C z + D = 0

:

uSLOWIE PRINADLEVNOSTI PRQMOJ PLOSKOSTI

M0

P

~s

~

8

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

2

?

< A m

+ B n + C p = 0

:

rASSTOQNIE OT TO^KI DO PRQMOJ W PROSTRANSTWE

d = j [M0~Mj ~s1j ~s] j

rASSTOQNIE MEVDU SKRE]IWA@]IMISQ PRQMYMI

			~
		d = j (M1M2 ~s1 ~s2) j
			j [~s1 ~s2] j
	uSLOWIE PERESE^ENIQ DWUH PRQMYH W PROSTRANSTWE
	x2 ; x1 y2		; y1 z2	; z1
	m1	n1	p1	= 0:
148	m2	n2	p2

x = const

x y z:

4.3. pOWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA

pOWERHNOSTX 2-GO PORQDKA W PRQMOUGOLXNOJ DEKARTOWOJ SISTEME

KOORDINAT OPREDELQETSQ URAWNENIEM 2-OJ STEPENI OTNOSITELXNO TREH

PEREMENNYH

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz + Gx + Hy + Kz + L = 0:

zADA^A PRIWEDENIQ OB]EGO URAWNENIQ POWERHNOSTI 2-GO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU RE[AETSQ ANALOGI^NO ZADA^E PRIWEDENIQ OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ 2-GO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU I SOSTOIT W PO- WOROTAH I PARALLELXNOM PERENOSE SISTEMY KOORDINAT W NOWOE NA^ALO W PROSTRANSTWE. oDNAKO, \TA ZADA^A, W OTLI^IE OT ZADA^I DLQ KRIWYH NA PLOSKOSTI, GORAZDO BOLEE GROMOZDKAQ. oSTANOWIMSQ NA RASSMOTRE- NII TOLXKO TAKIH URAWNENIJ, W KOTORYH OTSUTSTWU@T PROIZWEDENIQ xz xy yz T.E. URAWNENIQ WIDA

Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + F z + G = 0:

pREOBRAZOWANIE TAKIH URAWNENIJ NE TREBUET POWOROTOW SISTEMY KOORDINAT I SODERVIT LI[X PARALLELXNYJ PERENOS SISTEMY KOORDI- NAT W NOWOE NA^ALO.

nAIBOLEE PROSTYM (KANONI^ESKIM) URAWNENIEM OPISYWAETSQ POWERH- NOSTX, PRIWQZANNAQ K OSQM SIMMETRII POWERHNOSTI. sWOE NAZWANIE POWERHNOSTX POLU^AET, KAK PRAWILO, PO NAZWANI@ KRIWYH 2-GO PORQD- KA, POLU^A@]IHSQ PRI PERESE^ENII POWERHNOSTI PLOSKOSTQMI, PARAL- LELXNYMI PLOSKOSTQM KOORDINAT

y = const z = const:

rAZLI^A@T 5 OSNOWNYH TIPOW POWERHNOSTEJ 2-GO PORQDKA. gRAFIKI POWERHNOSTEJ, IH KANONI^ESKIE URAWNENIQ I NAZWANIQ PRIWEDENY W TABLICE.

oSTANOWIMSQ KRATKO NA HARAKTERISTIKE TIPOW POWERHNOSTEJ, NA RASPOZNAWANII TIPA POWERHNOSTI PO EE URAWNENI@ I POSTROENII PO- WERHNOSTI PO HARAKTERNYM PARAMETRAM.

149

4.3.1. |LLIPSOIDY.

|LLIPSOID { \TO POWERHNOSTX, W L@BOM SE^ENII KOTOROJ PLOSKOS- TQMI, PARALLELXNYMI KOORDINATNYM, POLU^A@TSQ \LLIPSY. kANONI- ^ESKOE URAWNENIE \LLIPSOIDA c CENTROM W NA^ALE KOORDINAT:

x2 y2 z2

a2 + b2 + c2 = 1:

uRAWNENIE \LLIPSOIDA c CENTROM W TO^KE O0(x0 y0 z0) :

(x ; x0)2	+	(y ; y0)2	+	(z ; z0)2	= 1:
a2		b2		c2

uRAWNENIE \LLIPSOIDA IMEET

a)KWADRATY WSEH TREH PEREMENNYH

b)ZNAKI PRI KWADRATAH PEREMENNYH ODINAKOWYE

c)KO\FFICIENTY PRI KWADRATAH PEREMENNYH RAZNYE.

dLQ POSTROENIQ \LLIPSOIDA NEOBHODIMO ZNATX:

1)KOORDINATY CENTRA (ESLI CENTR SME]EN OT NA^ALA KOORDINAT, TO W URAWNENII BUDUT PRISUTSTWOWATX ^LENY S PERWYMI STEPENQMI PEREMENNYH, W \TIH SLU^AQH DEJSTWIQ PO PRIWEDENI@ URAWNENIQ K WIDU, UDOBNOMU DLQ POSTROENIQ, ANALOGI^NY TEM, ^TO PROWODILISX DLQ KRIWYH 2-GO PORQDKA),

2)RAZMERY POLUOSEJ: a { OTKLADYWAETSQ PO OSI OX, b { OTKLA- DYWAETSQ PO OSI OY , c { OTKLADYWAETSQ PO OSI OZ:

dALEE STROIM TRI OSNOWNYH \LLIPSA, KOTORYE POLU^A@TSQ W SE^E- NIQH \LLIPSOIDA PLOSKOSTQMI KOORDINAT.

4.3.2. sFERA

~ASTNYM SLU^AEM \LLIPSOIDA QWLQETSQ SFERA: x2 + y2 + z2 = r2:

uRAWNENIE SFERY OTLI^AETSQ OT URAWNENIQ \LLIPSOIDA TEM, ^TO

KO\FFICIENTY PRI KWADRATAH PEREMENNYH ODINAKOWYE. uRAWNENIE SFERY S CENTROM W TO^KE O0(x0 y0 z0):

(x ; x0)2 + (y ; y0)2 + (z ; z0)2 = r2:

dLQ POSTROENIQ SFERY NEOBHODIMO ZNATX KOORDINATY CENTRA I RA- DIUS. w PLOSKOSTQH KOORDINAT STROIM TRI SE^ENIQ SFERY, KOTORYE BUDUT OKRUVNOSTQMI S RADIUSAMI, RAWNYMI RADIUSU SFERY.

150

151

\LLIPS.

4.3.3. gIPERBOLOIDY

kANONI^ESKIE URAWNENIQ GIPERBOLOIDOW

x2 y2 z2

a2 + b2 ; c2 = 1

IME@T cLEDU@]IE PRIZNAKI:

a)PRISUTSTWU@T KWADRATY WSEH TREH PEREMENNYH

b)ZNAKI PRI KWADRATAH RAZNYE

c)KO\FFICIENTY PRI KWADRATAH PEREMENNYH MOGUT BYTX KAK RAZLI^NYMI, TAK I ODINAKOWYMI.

gIPERBOLOIDY - \TO POWERHNOSTI, W DWUH SE^ENIQH KOTORYH PLOS- KOSTQMI, PARALLELXNYMI KOORDINATNYM, POLU^A@TSQ GIPERBOLY, A W TRETXEM - LIBO \LLIPS, LIBO OKRUVNOSTX. rAZLI^A@T DWA WIDA GI- PERBOLOIDOW.

1. oDNOPOLOSTNYJ GIPERBOLOID OPREDELQETSQ URAWNENIEM

x2 y2 z2

a2 + b2 ; c2 = 1:

w SE^ENII ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA PLOSKOSTQMI

y = 0 I x = 0 POLU^A@TSQ GIPERBOLY, A W SE^ENII PLOSKOSTX@ z = 0;

dLQ POSTROENIQ DANNOGO ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA NEOBHODIMO :

1)ZNATX KOORDINATY CENTRA,

2)OSX SIMMETRII (OPREDELQETSQ PO PEREMENNOJ, PERED KWADRATOM KOTOROJ W KANONI^ESKOM URAWNENII ZNAK MINUS),

3)POSTROITX TAK NAZYWAEMYJ GORLOWOJ \LLIPS c POLUOSQMI a I b, KOTORYJ POLU^AETSQ W SE^ENII GIPERBOLOIDA PLOSKOSTX@ z = 0

4)POSTROITX GIPERBOLY W PLOSKOSTQH XOZ I Y OZ.

eSLI W ISHODNOM URAWNENII ZNAK MINUS STOIT PERED KWADRATOM DRUGOJ PEREMENNOJ, NAPRIMER, PERED y2, TO GORLOWOJ \LLIPS POLU- ^ITSQ W SE^ENII GIPERBOLOIDA PLOSKOSTX@ y = 0 I GIPERBOLOID BUDET IMETX OSX SIMMETRII OY: eSLI W ISHODNOM URAWNENII ZNAK

MINUS STOIT PERED	x2,	TO BUDET IMETX OSX SIMMETRII OX: sOOT-
WETSTWU@]IE URAWNENIQ BUDUT IMETX WID
x2	y2	z2	x2	y2	z2
a2 ; b2 + c2 = 1			; a2 + b2 + c2 = 1: