fix1

3: y = 6 ; p				:
	x2 + 6x + 13
	pERENESEM ^ISLO 6 W LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ
					y ; 6 = ;p			:
							x2 + 6x + 13
	tEPERX WOZWED<M OBE ^ASTI URAWNENIQ W KWADRAT
					(y ; 6)2 = x2 + 6x + 13:
	dOPOLNQEM W PRAWOJ ^ASTI WYRAVENIE DO POLNOGO
	KWADRATA
rIS. 73.	(y ; 6)2 = x2 + 2 3 x + 32 ; 32 + 13:
(y ; 6)2 = (x + 3)2 ; 9 + 13					)	(y ; 6)2 ; (x + 3)2 = 4:
	;	(x	+ 3)2		+ (y ; 6)2 = 1:
			4			4

gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM POLU^ENNOGO URAWNENIQ SLUVIT GIPERBOLA S CENTROM W TO^KE O0(;3 6) I POLUOSQMI { MNIMOJ a = 2 I DEJ- STWITELXNOJ b = 2. oDNAKO, ISHODNOE URAWNENIE OPREDELQET NE WS@ GIPERBOLU, A TOLXKO E< NIVN@@ POLOWINU, T.K. IZ ISHODNOGO URAWNE-

NIQ WIDNO, ^TO y < 6: (rIS. 73.)

4: 2y

=

;

3x2 + 8x

+ 2:

2

;

2y =

;3(x2

8=3x) + 2

16=9) + 2

2y =

;

3(x

;

8=3x + 16=9

;

2y =

3(x

2

;

;

4=3)

+ 16=3 + 2

2y ;

2

22=3 = ;3(x ; 4=3)

2

2(y ; 11=3) = ;3(x ; 4=3)

(x ;

4=3)2 =

2

;3(y ; 11=3):

gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM POLU^ENNOGO URAW-

NENIQ SLUVIT PARABOLA S WER[INOJ W TO^KE	rIS. 74.
O0(4=3 11=3) , OSX SIMMETRII KOTOROJ PARALLELXNA OSI OY I WETWQ-
MI, NAPRAWLENNYMI WNIZ. (rIS. 74.)

w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO OPREDELITX TIP KRIWOJ PO URAWNENI@, W KOTOROM OTSUTSTWUET PROIZWEDENIE PEREMENNYH xy MOVNO SRAZU PO SLEDU@]IM PRIZNAKAM:

102

o K R U V N O S T X { NALI^IE SUMMY KWADRATOW PEREMENNYH I ODINAKOWYE KO\FFICIENTY PRI PRI NIH.

| L L I P S { NALI^IE SUMMY KWADRATOW PEREMENNYH I RAZNYE KO\FFICIENTY PRI NIH.

g I P E R B O L A { NALI^IE RAZNOSTI KWADRATOW PEREMENNYH. p A R A B O L A { OTSUTSTWIE KWADRATA ODNOJ PEREMENNOJ.

zADA^I NA SOSTAWLENIE URAWNENIJ KRIWYH

zADA^A 1. sOSTAWITX URAWNENIE LINII, RASSTOQNIQ KAVDOJ TO^KI

KOTOROJ OT NA^ALA KOORDINAT I OT TO^KI

A(5 0)

OTNOSQTSQ KAK

2 : 1:

rE[ENIE. pUSTX

M(x

y) { PROIZWOLXNAQ (TE-

KU]AQ) TO^KA KRIWOJ. sOGLASNO USLOWI@

d1

=

2

ILI

d1 = 2 d2:

d2

1

iSPOLXZUQ FORMULU RASSTOQNIQ MEVDU DWUMQ

TO^KAMI

rIS. 79.

d = q(x2 ; x1

)2 + (y2 ; y1)2

POLU^IM

2

2

2

2

d1

= j OM j = q(x ; 0) + (y ; 0) = qx + y :

d2 = j

AM j

= (x

; 5)2 + (y

; 0)2 =

(x ; 5)2 + y2:

q

q

= 2 q(x ; 5)

2

2

2

2

tOGDA

px

+ y

+ y

:

pROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ

x2 + y2 = 4(x ; 25)2 + 4y2

2

x2 + y2 = 4x2 ; 40x + 100 + 4y2

3x

;

40x + 3y

+ 100 = 0

40

20

2

20

2

1 + 3y2 + 100 = 0

3 0x2 ; 3

x +

3 !

;

3

!

@

20

2

400

A

3 x ; 3 ! ;

3

+ 3y2 + 100 = 0

x ;

20

!

2

100

3

+ y2 =

9

:

tAKIM OBRAZOM, MY POLU^ILI URAWNENIE OKRUV-

NOSTI S CENTROM W TO^KE

O0(20=3 0)

I RADIU-

SOM R = 10=3:

rIS. 80.

103

zADA^A 2. sOSTAWITX URAWNENIE LINII, RASSTOQNIQ KAVDOJ TO^KI KO- TOROJ OT TO^KI A(2 0) I OT PRQMOJ 5x+8 = 0 OTNOSQTSQ KAK 5 : 4:

rE[ENIE. pUSTX M(x y)

{ PROIZWOLXNAQ (TE-

KU]AQ) TO^KA KRIWOJ. sOGLASNO USLOWI@

d1

5

ILI

d2

= 4

4 d1 = 5 d2:

rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI

A I M

rIS. 81.

d1 = q

= q

:

(x ; 2)2 + (y ; 0)2

(x ; 2)2 + y2

8

rASSTOQNIE OT TO^KI

M

DO PRQMOJ

d2 = x + 5:

tOGDA 4 q

x + 58!

4q

= 5x + 8:

(x ; 2)2 + y2

= 5

(x ; 2)2 + y2

pROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ

16(x ; 2)2 + 16y2 = 25x2 + 80x + 64

16(x2 ; 4x + 4) + 16y2 = 25x2 + 80x + 64

9x2 + 144x ; 16y2 = 0

9(x2 + 16x + 82 ; 82) ; 16y2 = 0

9(x + 8)2 ; 9 64 ; 16y2 = 0

9(x + 8)2 ; 16y2 = 9 64			rIS. 82.
(x + 8)2	;	y2
64		36 = 1:

tAKIM OBRAZOM, MY POLU^ILI URAWNENIE GIPERBOLY S CENTROM W TO^- KE O0(;8 0) I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ a = 8 I MNIMOJ b = 6:

104

3.2.3. kRIWYE W POLQRNYH KOORDINATAH

pOLQRNAQ SISTEMA KOORDINAT HARAKTERIZUETSQ TO^KOJ O NA PLOS- KOSTI, NAZYWAEMOJ "POL@SOM", I LU^OM OP, WYHODQ]IM IZ \TOJ TO^- KI, NAZYWAEMYM "POLQRNOJ OSX@". pOLOVENIE L@BOJ TO^KI NA PLOS- KOSTI W POLQRNOJ SISTEME KOORDINAT ZADAETSQ DWUMQ ^ISLAMI I ', T.E. M( ') GDE - POLQRNYJ RADIUS (RASSTOQNIE OT POL@SA DO DANNOJ TO^KI, I, KAK WSQKOE RASSTOQNIE > 0 ). '- POLQRNYJ UGOL, KOTORYJ OTS^ITYWAETSQ OT POLQRNOJ OSI W RADIANAH. pOLOVITELX- NYM NAPRAWLENIEM OTS^ETA POLQRNOGO UGLA S^ITAETSQ OTS^ET PROTIW ^ASOWOJ STRELKI. (rIS. 83).

uRAWNENIE LINII W POLQRNOJ SISTEME KOOR- DINAT ZAPISYWAETSQ W WIDE URAWNENIQ, SWQ- ZYWA@]EGO ZNA^ENIQ POLQRNOGO UGLA S WELI- ^INOJ POLQRNOGO RADIUSA

rIS. 83.

= ('):

gRAFIK ZADANNOJ W POLQRNYH KOORDINATAH ZAWISIMOSTI STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

{ ZADA@TSQ ^EREZ OPREDELENNYJ [AG ZNA^ENIQ UGLA ' I NA PLOSKOS- TI STROQTSQ LU^I POD WYBRANNYMI UGLAMI, OTS^ITYWAEMYMI W POLO- VITELXNOM NAPRAWLENII OT POLQRNOJ OSI (PROTIW ^ASOWOJ STRELKI),

{ PO DANNOJ ZAWISIMOSTI = (') WY^ISLQ@TSQ SOOTWETSTWU@- ]IE ZNA^ENIQ RADIUSA

{POLU^ENNYE ZNA^ENIQ OTKLADYWA@TSQ W WYBRANNOM MAS[TABE PO SOOTWETSTWU@]EMU LU^U, NA^INAQ OT POL@SA,

{POLU^ENNYE TO^KI SOEDINQ@TSQ PLAWNOJ KRIWOJ.

pRI POSTROENII KRIWOJ W POLQRNYH KOORDINATAH SLEDUET U^ITY- WATX TAKIE SWOJSTWA KRIWOJ, KAK ^ETNOSTX, NE^ETNOSTX, PERIODI^- NOSTX I OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII = (') ^TO W ZNA^ITELXNOJ MERE USKORQET PROCESS POSTROENIQ KRIWOJ, SNIVAET OB_EM WY^ISLI- TELXNOJ RABOTY.

105

':

zADA^A pOSTROITX KRIWYE, ZADANNYE POLQRNYMI URAWNENIQMI.1: = a ' GDE a - POLOVITELXNOE ^ISLO.

sOSTAWIM TABLICU ZNA^ENIJ POLQRNOGO RADIUSA

PODS^ITANNYH DLQ RQDA ZNA^ENIJ POLQRNOGO UGLA zNA^ENIQ ' MOVNO BRATX TOLXKO POLOVITELXNYE, ^TOBY NE NARU[ITX USLOWIE, ^TO > 0:

' RAD.	0	=2		3 =2	2	5 =2	3
	0	1:57a	3:14a	4:71a	6:28a	7:85a	9:42a

dLQ POSTROENIQ KRIWOJ WYBIRAEM MAS[TABNU@ EDINICU DLQ KO\F- FICIENTA a I NA LU^AH, SOOTWETSTWU@]IH ZADANNYM ZNA^ENIQM '

OTKLADYWAEM OTREZKI NUVNOJ DLINY. pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAET-

SQ SPIRALX@ aRHIMEDA. (rIS. 84).

rIS. 84.

rIS. 85.

2: = 1 + '1 :

sOSTAWLQEM TABLICU ZNA^ENIJ ' (' > 0) I

' RAD. 0 =4 =2

2 3 4 5

1 2:27 1:64 1:32 1:16 1:11 1:08 1:06

wIDNO, ^TO PO MERE UWELI^ENIQ UGLA ' SOOTWETSTWU@]IE ZNA^ENIQ RADIUSA UMENX[A@TSQ I PRIBLIVA@TSQ K ZNA^ENI@

= 1, T. E. LINIQ KAK BY NAKRU^IWAETSQ NA OKRUVNOSTX EDINI^NOGO RADIUSA. (rIS. 85).

106

3: = a(1 ; cos ') a > 0:

iSPOLXZUQ ^ETNOSTX I PERIODI^NOSTX (T = 2 ) FUNKCII cos ' STROIM KRIWU@, PODS^ITAW ZNA^ENIQ POLQRNOGO RADIUSA DLQ ZNA^E- NIJ UGLA W INTERWALE [0 ] A ZATEM DOSTRAIWAEM EE SIMMETRI^NO POLU^ENNOJ DLQ OSTALXNYH ZNA^ENIJ UGLA W INTERWALE [ 2 ]: w TAB- LICE PRIWEDENY ZNA^ENIQ POLQRNOGO RADIUSA DLQ ZNA^ENIJ ' c [AGOM=6: zAMETIM, ^TO DANNAQ KRIWAQ OPREDELENA DLQ L@BYH ZNA^ENIJ ' TAK KAK WYRAVENIE (1 ; cos ') WSEGDA POLOVITELXNO.

' RAD.	0	=6	=3	=2	2 =3	5 =6
	0	1:13a	0:5a	a	1:5a	1:87a	2a

pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAETSQ KARDIOIDOJ. (rIS.86).

rIS. 86. rIS. 87.

4: = a sin 2' a > 0:

wYQSNIM HARAKTERNYE SWOJSTWA ZAWISIMOSTI = a sin 2' :

a)TAK KAK PERIOD FUNKCII sin ' RAWEN 2 TO PERIOD FUNKCII sin 2' BUDET RAWEN ILI 180o

b)TAK KAK POLQRNYJ RADIUS ESTX WELI^INA NEOTRICATELXNAQ, TO

IZ USLOWIQ sin ' 0 SLEDUET, ^TO

0 2' ) 0 ' =2

S) MAKSIMALXNOE ZNA^ENIE = a POLU^ITSQ, ESLI sin 2' = 1 TO ESTX PRI ' = =4:

u^ITYWAQ WY[EIZLOVENNOE, STROIM KRIWU@ PO TO^KAM, SOSTAWIW PREDWARITELXNO TABLICU ZNA^ENIJ I ' W INTERWALE [0 =2] A ZATEM ^EREZ 180o POWTORQEM POLU^ENNU@ LINI@.

' RAD.	0	=6	=4	=3	=2
	0	0:87a	a	0:87a	0

|TA KRIWAQ NAZYWAETSQ DWUHLEPESTKOWOJ ROZOJ. (rIS. 87).

107

5: = 2 sin(' ; 54 ):

bUDEM ISHODITX IZ TOGO, ^TO URAWNENIQ WIDA

= 2a sin ' = 2b cos '

PRI OBY^NOM SOWME]ENII POLQRNOJ I DEKARTOWOJ SISTEM KOORDINAT PREDSTAWLQ@T SOBOJ OKRUVNOSTI,KASA@]IESQ OSEJ KOORDINAT

OX y > 0 I OY x > 0 I RADIUSAMI a I b SOOTWETSTWENNO (SM. TABL. STR. 163). sLEDOWATELXNO, GRAFIK DANNOJ FUNKCII ESTX TAKVE OKRUV- NOSTX RADIUSOM 1 S CENTROM NA OSI, POW<RNUTOJ OTNOSITELXNO OSI OY

NA UGOL 54 = 225o. (rIS. 88).

	rIS. 88.									rIS. 89.
6: = cos3('3 ):
pOSTROIM LINI@ NEPOSREDSTWENNO PO TO^KAM.
tAK KAK cos > 0 DLQ UGLOW				;	90o < <		90o,			TO	cos3(' ) > 0 DLQ
UGLOW ;270o < ' < 270o.											3
			bERQ UDOBNYE DLQ RAS^<TOW UGLY, ZANES<M
REZULXTATY W TABLICU.
	' o		-270	-180		-90		0		90	180	270
	'=3 o		-90		-60	-30		0		30	60	90
	= cos3(' )		0	0.125		0.64		1		0.64	0.125	0
	3
oTRICATELXNYE ZNA^ENIQ UGLOW OTKLADYWA@TSQ OT POLOVITELXNO-
GO NAPRAWLENIQ OSI OX			PO ^ASOWOJ STRELKE, T.E. W OTRICATELXNOM

NAPRAWLENII. w SILU ^ETNOSTI FUNKCII cos ' ZNA^ENIQ POLU^A@TSQ ODINAKOWYMI DLQ ' I ;': (rIS. 89).

iNOGDA PRIHODITSQ OSU]ESTWLQTX PEREHOD OT DEKARTOWOJ PRQMO- UGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT K POLQRNOJ ILI, NAOBOROT, OT POLQRNOJ K DEKARTOWOJ. w \TOM SLU^AE NEOBHODIMO ZNATX FORMULY, SWQZYWA@- ]IE DEKARTOWYE I POLQRNYE KOORDINATY TO^KI NA PLOSKOSTI.

eSLI POMESTITX POL@S POLQRNOJ SISTEMY KOORDINAT W NA^ALO DE- KARTOWOJ, T.E. W TO^KU O(0 0) I NAPRAWITX POLQRNU@ OSX PO OSI

108

OX TO MOVNO ZAPISATX FORMULY
		8 x = cos '					(?)
		< y = sin '
I	NAOBOROT:
	8	= p
			x2	+ y2
rIS. 90.		tg ' =		y	:		(??)
	>
	<
7: (x2 + y2)2 = 4(x2	>			x
	; y2): :

nEPOSREDSTWENNOE POSTROENIE DANNOJ LINII W PRQMOUGOLXNYH KO- ORDINATAH WESXMA ZATRUDNITELXNO. pEREJDEM K POLQRNYM KOORDINA-

TAM SOGLASNO FORMULAM

(?)

( 2 cos2 ' + 2 sin2 ')2 = 4( 2 cos2 '

;

2 sin2

'):

4(cos2 ' + sin2 ')2 = 4 2 cos 2':

u^TEM, ^TO

cos2 ' + sin2 ' = 1

I, DELQ WSE WYRAVENIE NA 2

POLU^IM

2 = 4 cos 2'

)

= 2

cos 2':

pRI POSTROENII KRIWOJ U^TEM SLEDU@]EE: q

a) OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII pcos 2' NAHODIM IZ USLOWIQ cos 2'

0: oTS@DA SLEDUET, ^TO

; =2 2' =2

) ; =4

' =4

b) PERIOD FUNKCII cos 2'

RAWEN

PO\TOMU ZNA^ENIQ FUNKCII

POWTORQ@TSQ ^EREZ 180o:

w SILU ^ETNOSTI FUNKCII cos 2'

DOSTATO^NO POSTROITX LINI@

DLQ ZNA^ENIJ UGLA

0 '

=4

OTOBRAZITX EE SIMMETRI^NO OT-

NOSITELXNO OSI OX WNIZ, A ZATEM WESX LEPESTOK OTOBRAZITX W LEWU@

POLUPLOSKOSTX.

c) mAKSIMALXNOE ZNA^ENIE RADIUSA

= 2

POLU^ITSQ PRI

' = 0 I

' = :

' RAD.

0

=12

=8

=6

=4

2

1:86

1:68

1:41

0

rIS. 91.

pOLU^ENNAQ KRIWAQ NAZYWAETSQ LEMNISKATOJ bERNULLI.

109

3.2.4. pOSTROENIE KRIWYH, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI

oTMETIM, ^TO UNIWERSALXNYM SPOSOBOM ZADANIQ LINII NA PLOS- KOSTI I W PROSTRANSTWE QWLQETSQ PARAMETRI^ESKIJ SPOSOB, KOGDA ZA- WISIMOSTX MEVDU KOORDINATAMI TO^KI NE ZADANA NEPOSREDSTWENNO, A ZADANA ZAWISIMOSTX@ KOORDINAT OT NEKOTOROGO PARAMETRA t T.E. IMEET WID

8 x = x(t) < y = y(t):

iZWESTNYJ NAM UVE PRIMER:PARAMETRI^ESKI ZADANNOJ LINII - \TO PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ NA PLOSKOSTI (POSTROENIE TAKOJ PRQMOJ NA PLOSKOSTI MY UVE RASSMATRIWALI)

8 x = mt + x0 < y = nt + y0:

sU]ESTWU@T, W PRINCIPE,:LI[X DWA SPOSOBA POSTROENIQ LINIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKIMI URAWNENIQMI.

pERWYJ IZ NIH, SAMYJ PRIMITIWNYJ: ZADAWATX ZNA^ENIQ PARA- METRA t S KAKIM-TO [AGOM I DLQ KAVDOGO ZNA^ENIQ t NAHODITX KOOR- DINATY x I y TO^EK NA PLOSKOSTI ( TAK MY, W PRINCIPE, POSTUPALI PRI POSTROENII PRQMOJ, ZADANNOJ PARAMETRI^ESKI). sOEDINQQ POLU- ^ENNYE TO^KI PLAWNOJ KRIWOJ, MY I POLU^AEM GRAFIK FUNKCII.

wTOROJ SPOSOB SOSTOIT W POLU^ENII NEPOSREDSTWENNOJ ZAWISIMOS- TI MEVDU x I y I ON MOVET BYTX REALIZOWAN TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI UDA<TSQ IZ PARAMETRI^ESKIH URAWNENIJ ISKL@^ITX PARAMETR t.

zADA^A. pOSTROITX LINII, ZADANNYE PARAMETRI^ESKIMI URAWNE- NIQMI.

110

8 x = r sin t1: < y = r cos t:

: t x y - zDESX LEGKO ISKL@^ITX PARAMETR I SWQZATX I MEVDU SOBOJ NE

POSREDSTWENNO. dLQ \TOGO DOSTATO^NO WOZWESTI OBE ^ASTI \TIH URAW- NENIJ W KWADRAT I SLOVITX URAWNENIQ

x2		= r2 sin2 t							x	2	+ y	2	2
8	2	= r	2	cos	2	t		)					= r
< y
:						2	2	t = 1). iSHODNOE URAWNENIE OPREDE-
(ZDESX MY U^LI, ^TO				sin			t+ cos

LQET OKRUVNOSTX S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I RADIUSOM r: (rIS. 93).

		rIS. 93.	rIS. 94.
	2:	8 x = x0 + r sin 2t
		< y = y0 + r cos 2t:
		:
	zDESX TAKVE LEGKO ISKL@^ITX PARAMETR t I SWQZATX x I y MEVDU

SOBOJ NEPOSREDSTWENNO. dLQ \TOGO SNA^ALA PERENESEM x0 I y0 W LEWYE ^ASTI URAWNENIJ, A ZATEM DEJSTWUEM, KAK W PREDYDU]EM PRI- MERE

8 x ; x0 = r sin 2t

)

(x

;

x0)2

+ (y

;

y0)2 = r2:

< y ; y0 = r cos 2t

:

pOLU^ILI KANONI^ESKOE URAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE

O0(x0 y0)

I RADIUSOM

r: (rIS.94).

3:

8 x = a sin t + b cos t

< y

= a cos t ; b sin t:

:

iSKL@^IM PARAMETR t: dLQ \TOGO WOZWEDEM OBE ^ASTI \TIH URAW-

NENIJ W KWADRAT I SLOVIM URAWNENIQ.

8

x2 = a2 sin2 t + 2ab sin t cos t + b2 cos2 t

)

x2

+ y2 = a2 + b2

2

= a

2

cos

2

t ; 2ab sin t cos t + b

2

2

< y

sin t

:

111