fix1

2. dWUHPOLOSTNYJ GIPERBOLOID

x2	y2 z2
a2 + b2 ; c2 = ;1:
|TA POWERHNOSTX SOSTOIT IZ DWUH POLOSTEJ, W WERTIKALXNYH SE^E-
NIQH KOTORYH PLOSKOSTQMI	XOZ I Y OZ { GIPERBOLY, A W GORIZON-

TALXNYH z = const > c { \LLIPSY. eSLI WZQTX ZNA^ENIQ jzj < c TO W SE^ENIQH BUDUT POLU^ATXSQ MNIMYE \LLIPSY, NAPRIMER, PRI

z = 0 POLU^IM "MNIMYJ" \LLIPS

x2 y2

a2 + b2 = ;1:

oSX SIMMETRII GIPERBOLOIDA OPREDELQETSQ PO TOJ PEREMENNOJ, PERED KWADRATOM KOTOROJ W LEWOJ ^ASTI KANONI^ESKOGO URAWNENIQ STOIT ZNAK MINUS.

uRAWNENIQ DWUHPOLOSTNYH GIPERBOLOIDOW S OSQMI SIMMETRII OY I OX MOVNO ZAPISATX PO ANALOGII S SOOTWETSTWU@]IMI URAW- NENIQMI ODNOPOLOSTNYH GIPERBOLOIDOW:

x2 y2	z2	x2	y2	z2
a2 ; b2 + c2 = ;1		;a2 + b2 + c2 = ;1:

zAMETIM, ^TO W URAWNENII ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA W PRAWOJ ^ASTI DOLVNA STOQTX +1 A W LEWOJ ^ASTI DOLVEN BYTX ODIN ZNAK "MINUS" PERED KWADRATOM KAKOJ-LIBO PEREMENNOJ

W URAWNENII DWUHPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA W PRAWOJ ^ASTI DOLV- NA STOQTX ;1, A W LEWOJ ^ASTI DOLVEN BYTX ODIN ZNAK "MINUS" PERED KWADRATOM KAKOJ-LIBO PEREMENNOJ.

4.3.4. kONUSY

kONI^ESKAQ POWERHNOSTX OPREDELQETSQ URAWNENIEM

x2 y2 z2

a2 + b2 ; c2 = 0:

oT URAWNENIJ GIPERBOLOIDOW ONO OTLI^AETSQ TEM, ^TO W NEM OT-

SUTSTWUET SWOBODNYJ ^LEN (WMESTO EDINICY W PRAWOJ ^ASTI URAW- NENIQ STOIT NOLX).

152

a = b).

DA@T PO PA-

I Y OZ

sE^ENIQ DANNOGO KONUSA GORIZONTALXNYMI PLOSKOSTQMI z = const PREDSTAWLQ@T SOBOJ \LLIPSY (W SLU^AE a=b { OKRUVNOSTI). sE^ENIQ KONUSA KOORDINATNYMI PLOSKOSTQMI XOZ

RE PERESEKA@]IHSQ PRQMYH (OBRAZU@]IH KONUSA), PROHODQ]IH ^EREZ NA^ALO KOORDINAT (WER[INU KONUSA). kAK I WO WSEH PREDYDU]IH SLU- ^AQH WOZMOVNO SME]ENIE WER[INY KONUSA W TO^KU O0(x0 y0 z0): oSX SIMMETRII DANNOGO KONUSA { OZ (OPREDELQETSQ TAK VE, KAK I U GIPER- BOLOIDOW, PO PEREMENNOJ, PERED KOTOROJ W LEWOJ ^ASTI KANONI^ESKOGO

URAWNENIQ STOIT ZNAK "MINUS").

x2 y2 z2 kONUS S OSX@ SIMMETRII OY : a2 ; b2 + c2 = 0:

x2 y2 z2 kONUS S OSX@ SIMMETRII OX : ;a2 + b2 + c2 = 0:

zAMETIM,^TO W LEWOJ ^ASTI KANONI^ESKOGO URAWNENIQ KONUSA DOL- VEN BYTX ODIN ZNAK "MINUS".

4.3.5. pARABOLOIDY
1 |LLIPTI^ESKIJ PARABOLOID			IMEET KANONI^ESKOE URAWNE-
NIE	2	2
	ax2	+ yb2 = z:

lEGKO UWIDETX, ^TO W URAWNENII PARABOLOIDA PRISUTSTWU@T WSE TRI PEREMENNYE, NO OTLI^ITELXNYM PRIZNAKOM URAWNENIQ PARABO-

LOIDA QWLQETSQ OTSUTSTWIE KWADRATA ODNOJ PEREMENNOJ.

w SE^ENIQH DANNOGO PARABOLOIDA PLOSKOSTQMI, PARALLELXNYMI KOOR- DINATNYM XOZ I Y OZ BUDUT PARABOLY S OSX@ SIMMETRII OZ I WETWQMI, NAPRAWLENYMI WWERH ILI WNIZ, W ZAWISIMOSTI OT ZNAKA PE- RED z. w SE^ENIQH PLOSKOSTQMI z = const POLU^A@TSQ \LLIPSY (LIBO OKRUVNOSTI, ESLI

dLQ POSTROENIQ \LLIPTI^ESKOGO PARABOLOIDA NEOBHODIMO ZNATX:

a)KOORDINATY WER[INY,

b)OSX SIMMETRII (PARALLELXNA TOJ OSI, KOORDINATA KOTOROJ WHO- DIT W URAWNENIE TOLXKO W PERWOJ STEPENI),

c)NAPRAWLENIE WETWEJ.

153

pARABOLOID S OSX@ SIMMETRII OY :

2		2
ax2	+ zc2		= y:
pARABOLOID S OSX@ SIMMETRII		OX :
y2		z2
b2 + c2			= x:

mOVNO TAKVE ZAPISATX URAWNENIQ PARABOLOIDOW S WER[INOJ W TO^KE

O0(x0 y0 z0):

(x ; x0)2 + (y ; y0)2 = (z ; z0): a2 b2

nAPRIMER, URAWNENIE KRUGOWOGO PARABOLOIDA S WER[INOJ W TO^KE O0(0 0 ;2) I OSX@ SIMMETRII OZ BUDET IMETX WID

x2 + y2 = (z + 2):

2. gIPERBOLI^ESKIJ PARABOLOID

gIPERBOLI^ESKIJ PARABOLOID - \TO POWERHNOSTX WTOROGO PORQDKA, KANONI^ESKOE URAWNENIE KOTOROJ IMEET WID

x2	y2
a2	; b2 = z:

|TA SLOVNAQ POWERHNOSTX IMEET FORMU SEDLA. w TABLICE IZOBRAVENA POWERHNOSTX, KOTORAQ SOOTWETSTWUET PRIWEDENNOMU URAWNENI@. pRI POSTROENII POWERHNOSTI S URAWNENIQMI, NAPRIMER WIDA

2x2 ; z2 = y

ILI

y2 ; z2 = 5x

4 3

NEOBHODIMO POWERNUTX PARABOLOID SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM.

oTMETIM, ^TO URAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO I GIPERBOLI^ESKOGO PARABOLOIDOW OTLI^A@TSQ TEM, ^TO W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ \L- LIPTI^ESKOGO PARABOLOIDA STOIT SUMMA KWADRATOW PEREMENNYH, A W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO PARABOLOIDA { RAZNOSTX KWADRATOW.

154

4.3.6. cILINDRI^ESKIE POWERHNOSTI

cILINDRI^ESKOJ NAZYWAETSQ POWERHNOSTX, KOTORU@ OPISYWAET PRQ- MAQ (NAZYWAEMAQ OBRAZU@]EJ), PEREME]A@]AQSQ PARALLELXNO SAMOJ SEBE WDOLX NEKOTOROJ KRIWOJ (NAZYWAEMOJ NAPRAWLQ@]EJ).

hARAKTERNYM PRIZNAKOM KANONI^ESKOGO URAWNENIQ CILINDRA QW- LQETSQ TO, ^TO W URAWNENII OTSUTSTWUET ODNA PEREMENNAQ.

oBRAZU@]IE CILINDRA PARALLELXNY TOJ OSI, KOORDINATY KOTOROJ NET W URAWNENII.

nAPRAWLQ@]EJ CILINDRA MOVET SLUVITX L@BAQ KRIWAQ. nIVE RASSMOTRENY TAKIE CILINDRI^ESKIE POWERHNOSTI, U KOTORYH NAPRAW- LQ@]EJ QWLQETSQ KRIWAQ 2-GO PORQKA. w TABLICE PREDSTAWLENY PRI- MERY \LLIPTI^ESKOGO (KRUGOWOGO), GIPERBOLI^ESKOGO I PARABOLI^ES- KOGO CILINDROW S OBRAZU@]IMI PARALLELXNYMI OSI OZ: uRAWNENIE TAKOJ POWERHNOSTI SOWPADAET S URAWNENIEM EGO NAPRAWLQ@]EJ.

dLQ POSTROENIQ CILINDRA NEOBHODIMO POSTROITX SNA^ALA NAPRAW- LQ@]U@, NA KOTORU@ ZATEM "NATQGIWAETSQ" CILINDRI^ESKAQ POWERH- NOSTX TAK, ^TOBY EE OBRAZU@]AQ BYLA PARALLELXNA SOOTWETSTWU@- ]EJ OSI.

4.3.7.pOSTROENIE POWERHNOSTEJ PO KANONI^ESKIM URAWNENIQM

pRI OPREDELENII TIPA POWERHNOSTI PO DANNOMU URAWNENI@ NEOB- HODIMO USTANOWITX:

1)IMEET LI URAWNENIE WSE TRI PEREMENNYE,

2)IME@TSQ LI KWADRATY WSEH PEREMENNYH,

3)ODINAKOWYE ILI RAZNYE ZNAKI PRI KWADRATAH,

4)ODINAKOWYE ILI RAZNYE KO\FFICIENTY PRI KWADRATAH.

eSLI NE WYPOLNQETSQ 1-OE USLOWIE, T.E. W URAWNENII OTSUTSTWUET ODNA PEREMENNAQ, TO MY IMEEM DELO S CILINDRI^ESKOJ POWERHNOSTX@, ESLI NE WYPOLNQETSQ 2-OE USLOWIE, T.E. OTSUTSTWUET KWADRAT ODNOJ PE- REMENNOJ, TO \TO POWERHNOSTX QWLQETSQ PARABOLOIDOM I T.D.

155

= 10:

1: x2 + y2 + z2 = 2y + 6z:

dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENIEM SFERY, NA ^TO UKAZYWAET NALI^IE KWADRATOW WSEH PEREMENNYH, ODINAKOWYE ZNAKI I KO\FFICI- ENTY PRI NIH. nALI^IE W URAWNENII ^LENOW S PERWYMI STEPENQMI y I z UKAZYWAET NA SME]ENIE CENTRA SFERY PO OSQM OY I OZ: pRI- WEDEM URAWNENIE K WIDU

(x ; x0)2 + (y ; y0)2 + (z ; z0)2 = r2:

x2+(y2;2y+1);1+(z2;6z+9);9 = 0 ) x2+(y;1)2+(z;3)2 cENTR SFERY W TO^KE O0(0 1 3) RADIUS r = p10: (rIS.147.)

rIS. 147. rIS. 148.

2: y = 3 ; p9 ; x2 ; z2:

pREOBRAZUEM URAWNENIE

(y ; 3)2 = 9 ; x2 ; y2 ) x2 + (y ; 3)2 + z2 = 9:

dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENIEM SFERY S CENTROM W TO^KE O0(0 3 0) RADIUSOM r = 3: iZ USLOWIQ IMEEM: y 3 PO\TOMU ISHOD- NOE URAWNENIE OPREDELQET TOLXKO LEWU@ POLOWINU SFERY. (rIS.148.)

3: 6x2 + 3y2 + 4z2 = 12:

w DANNOM URAWNENII IMEEM SUMMU KWADRATOW WSEH PEREMENNYH, NO KO\FFICIENTY PRI KWADRATAH RAZNYE, PO\TOMU DANNOE URAWNENIE QW- LQETSQ URAWNENIEM \LLIPSOIDA. dLQ PRIWEDENIQ EGO K KANONI^ESKOMU WIDU RAZDELIM WSE URAWNENIE NA 12 I POLU^IM URAWNENIE \LLIPSOIDA

x2 + y2 + z2 = 1 S CENTROM W NA^ALE

2 4 3

KOORDINAT I POLUOSQMI

a = p2 b = 2 c = p3: (rIS.149.)

rIS.149.

156

O0(0 0 1)

4: z = p4 ; 3x2 ; 8y2:

wOZWEDEM W KWADRAT OBE ^ASTI URAWNENIQ I PROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ

z2 = 4		3x2			8y2	3x2	+ 8y2	+ z2	= 4	)
	; x2			; y2		)z2
			+			+ 4 = 1:
		4=3			1=2					rIS.150.

pOLU^ILI KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSOIDA (W URAWNENII ESTX SUM- MA KWADRATOW WSEH PEREMENNYH, KO\FFICIENTY PRI KOTORYH RAZLI^- NYE) S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT I POLUOSQMI

a = 2=p3 b = 1=p2 c = 2:

pOSKOLXKU PO USLOWI@ ZADA^A z 0 TO ISHODNOE URAWNENIE OPREDE- LQET TOLXKO WERHN@@ POLOWINU \LLIPSOIDA (rIS.150.)

5: x2 + 2y2 + 4z2 = 8z:

w URAWNENII ESTX SUMMA KWADRATOW WSEH PEREMENNYH, KO\FFICI- ENTY PRI KWADRATAH RAZNYE. dANNOE URAWNENIE - URAWNENIE \LLIP- SOIDA. nALI^IE ^LENA S PERWOJ STEPENX@ PEREMENNOJ z UKAZYWAET NA SME]ENIE CENTRA \LLIPSOIDA PO OSI OZ: pROWEDEM NEOBHODIMYE PREOBRAZOWANIQ

x2 + 2y2 + 4(z2 ; 2z) = 0 ) x2 + 2y2 + 4(z ; 1)2 = 4 )

x2	+ y2	+	(z ; 1)2	= 1:
4	2		1

pOLU^ILI KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSOIDA S CENTROM W TO^KE I POLUOSQMI a = 2 b = p2 c = 1 (rIS.151.)

rIS. 151.

rIS. 152.

157

6: 5x2 ; y2 ; 4z2 + 20 = 0:

w DANNOM URAWNENII IMEEM KWADRATY WSEH PEREMENNYH, NO ZNAKI PRI KWADRATAH RAZNYE, PO\TOMU DANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNE- NIEM GIPERBOLOIDA. dLQ PRIWEDENIQ EGO K KANONI^ESKOMU WIDU PERE- NOSIM SWOBODNYJ ^LEN W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ

	5x2 ; y2 ; 4z2 = ;20:
w KANONI^ESKOM URAWNENII GIPERBOLOIDA DOLVEN BYTX ODIN ZNAK
"MINUS" W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ. mENQEM WSE ZNAKI I DELIM WSE
URAWNENIE NA 20			x2			y2	z2
;5x2 + y2 + 4z2 = 20
			; 4		+	20 +	5	= 1:
|TO URAWNENIE ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA S OSX@ SIMMETRII OX
(rIS.152.)
7: y = p		:
	2x2 + 3z2 ; 6			2		2		2	; 6 )
pREOBRAZUEM URAWNENIE			y		= 2x + 3z
	2x2 ; y2 + 3z2					x2	y2			z2
			= 6			3 ; 6 +				2 = 1:

dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENIEM ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLO- IDA c OSX@ SIMMETRII OY: iZ USLOWIQ IMEEM: y 0 PO\TOMU IS- HODNOE URAWNENIE OPREDELQET TOLXKO PRAWU@ POLOWINU GIPERBOLOIDA

(RIS.153.)

rIS. 153. rIS. 154.

8: 4x2 ; y2 + 2z2 + 16 = 0:

w DANNOM URAWNENII IMEEM KWADRATY WSEH PEREMENNYH, NO ZNAKI PRI KWADRATAH RAZNYE, PO\TOMU DANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNE- NIEM GIPERBOLOIDA. pERENOSIM SWOBODNYJ

^LEN W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ

4x2 ; y2 + 2z2 = ;16	x2 y2	z2
	4 ; 16 +	8 = ;1:

|TO URAWNENIE OPREDELQET DWUHPOLOSTNYJ GIPERBOLOID S OSX@ SIM-

METRII OY (rIS.154.)

158

9: x2 ; y2 ; z2 = 1:

w DANNOM URAWNENII IMEEM KWADRATY WSEH PEREMENNYH, NO ZNAKI PRI KWADRATAH RAZNYE, PO\TOMU DANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNE- NIEM GIPERBOLOIDA. w KANONI^ESKOM URAWNENII GIPERBOLOIDA DOLVEN BYTX ODIN ZNAK "MINUS" W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ. mENQEM WSE ZNAKI. zAPI[EM URAWNENIE W WIDE

;x2 + y2 + z2 = ;1:

oNO OPREDELQET DWUHPOLOSTNYJ GIPERBOLOID S OSX@ SIMMETRII OX:

10: 2x2 = y2 + z2 :

9

w URAWNENII PRISUTSTWU@T KWADRATY WSEH PEREMENNYH, ZAPI[EM URAWNENIE TAK, ^TOBY WSE ONI BYLI W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ

;2x2 + y2 +	z2		x2		y2	z2
	9 = 0	;		+	1 +	9 = 0:
			1=2

zNAKI PRI KWADRATAH PEREMENNYH RAZNYE, SWOBODNYJ ^LEN W URAW- NENII OTSUTSTWUET, PO\TOMU \TO URAWNENIE KONUSA S OSX@ SIMMET-

RII OX (rIS.155.)

rIS. 155.

rIS. 156.

11: y2 = 2(x2 + z2): pREOBRAZUEM URAWNENIE K WIDU

2x2 + 2z2 ; y2 = 0	x2 y2		z2
		; 1 +		= 0:
	1=2		1=2

w URAWNENII PRISUTSTWU@T KWADRATY WSEH PEREMENNYH, ZNAKI PRI KOTORYH RAZLI^NYE cWOBODNYJ ^LEN RAWEN NUL@, PO\TOMU \TO URAW- NENIE KONUSA S OSX@ SIMMETRII OY (rIS.156.).

159

rIS. 157.

O0(0 0 1) (rIS.157.)

12:	x2
	4 + y2 = (z ; 1)2:	x2	+ y2	(z ; 1)2
zAPI[EM URAWNENIE W WIDE					= 0:
		4	1 ;	1

w URAWNENII PRISUTSTWU@T KWADRATY WSEH PEREMENNYH, PERED KWAD- RATOM ODNOJ PEREMENNOJ ZNAK "MINUS," cWOBODNYJ ^LEN RAWEN NUL@, PO\TOMU \TO URAWNENIE KONUSA S OSX@ SIMMETRII OZ: wER[INA KO- NUSA W TO^KE

rIS. 158.

13: x2 + z2 + y = 2:

w DANNOM URAWNENII PEREMENNAQ y SODERVITSQ TOLXKO W PERWOJ STEPENI, PO\TOMU ONO OPREDELQET KRUGOWOJ PARABOLOID (TAK KAK KO\F- FICIENTY PRI x2 I z2 ODINAKOWYE) S OSX@ SIMMETRII OY: zAPI[EM KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLOIDA SO SME]ENNOJ WER[INOJ

x2 z2

a2 + c2 = (y ; y0)

(KWADRATY PEREMENNYH OSTA@TSQ W LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ, A W PRA- WU@ ^ASTX PERENOSIM PEREMENNU@, STOQ]U@ W PERWOJ STEPENI)

x2 + z2 = 2 ; y x2 + z2 = ;(y ; 2):		0	(0 2 0) A
iZ URAWNENIQ WIDNO, ^TO WER[INA PARABOLOIDA SME]ENA W TO^KU O
^A[A PARABOLOIDA NAPRAWLENA W OTRICATELXNOM NAPRAWLENII OSI
OY , TAK KAK KO\FFICIENT PERED y	OTRICATELXNYJ (rIS.158.)
14: x = ;(y2 + z2):	x SODERVITSQ TOLXKO W PERWOJ
w DANNOM URAWNENII PEREMENNAQ

STEPENI, PO\TOMU ONO OPREDELQET KRUGOWOJ PARABOLOID (TAK KAK KO-

\FFICIENTY PRI z2 I y2 ODINAKOWYE) S OSX@ SIMMETRII OX: y2 + z2 = ;x:

iZ URAWNENIQ WIDNO, ^TO WER[INA PARABOLOIDA W NA^ALE KOORDI-

160

rIS. 159.

NAT, A ^A[A PARABOLOIDA NAPRAWLENA W OTRICATELXNOM NAPRAWLENII

OSI OX, TAK KAK KO\FFICIENT PERED	x OTRICATELXNYJ.
15: 3z = 1 ; x2 ; 4y2:
w DANNOM URAWNENII PEREMENNAQ z	SODERVITSQ TOLXKO W PERWOJ

STEPENI, PO\TOMU ONO OPREDELQET \LLIPTI^ESKIJ PARABOLOID (TAK KAK KO\FFICIENTY PRI x2 I y2 RAZNYE) S OSX@ SIMMETRII OZ: zAPI[EM KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLOIDA SO SME]ENNOJ WER[INOJ

x2 y2

a2 + b2 = (z ; z0):

x2 + 4y2 = 1 ; 3z x2 + 4y2 = ;3(z ; 1=3):

iZ URAWNENIQ WIDNO, ^TO WER[INA PARABOLOIDA

SME]ENA W TO^KU O0(0 0 1=3) A ^A[A PARABOLOIDA NAPRAWLENA WNIZ, TAK KAK KO\FFICIENT PERED z OTRICATELXNYJ (rIS.159.)

16: x = ;1 + 5(y2 + z2):

w DANNOM URAWNENII PEREMENNAQ x SODERVITSQ TOLXKO W PERWOJ STEPENI, PO\TOMU ONO OPREDELQET \LLIPTI^ESKIJ PARABOLOID (TAK KAK KO\FFICIENTY PRI z2 I y2 RAZNYE) S OSX@ SIMMETRII OX: zAPI[EM KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLOIDA SO SME]ENNOJ WER[INOJ

y2	z2
b2 + c2 = (x ; x0):

5(y2 + z2) = 1 + x 5(y2 + z2) = (x + 1):

iZ URAWNENIQ WIDNO, ^TO WER[INA PARABOLOIDA SME]ENA W TO^KU O0(;1 0 0) A ^A[A PARABOLOIDA NAPRAWLENA W POLOVITELXNOM NA- PRAWLENII OSI SIMMETRII, TAK KAK KO\FFICIENT PERED x POLOVI- TELXNYJ.

17: x2 + y2 = 2z + 5:

w DANNOM URAWNENII PEREMENNAQ z SODERVITSQ TOLXKO W PERWOJ STEPENI, PO\TOMU ONO OPREDELQET KRUGOWOJ PARABOLOID S OSX@ SIM-

METRII OZ: zAPI[EM KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLOIDA SO SME-
	x2	y2
]ENNOJ WER[INOJ	a2 + b2 = (z ; z0):

161