fix1

ZAMENIW TRETIJ STOLBEC GLAWNOGO OPREDELITELQ STOLBCOM SWOBODNYH

^LENOW, POLU^IM OPREDELITELX							3:
			2	4	1						2	;1	4
2 = 1 2 ;1						= 6			3 = 1 1				2		= 6:
			2	6	3						2	;1	6
nAHODIM RE[ENIE SISTEMY
x1 =	1	= 12		= 2		x2 =	2	=	6	= 1		x3	=	3		=	6	= 1:
									6								6
		6

pOLU^ILI EDINSTWENNOE RE[ENIE SISTEMY.

zAME^ANIE. pRI RE[ENII METODOM kRAMERA SISTEMY 3-H URAWNE- NIJ S TREMQ NEIZWESTNYMI POTREBOWALOSX WY^ISLITX 4 OPREDELITELQ 3-GO PORQDKA. pRI RE[ENII SISTEM, NAPRIMER, 4-GO PORQDKA UVE PO- TREBUETSQ WY^ISLQTX PQTX OPREDELITELEJ 4-GO PORQDKA, ^TO GROMOZD- KO I NERACIONALXNO. pO\TOMU CELESOOBRAZNO RE[ATX METODOM kRAME- RA SISTEMY NE WY[E 3-GO PORQDKA.

1.3.2. mATRI^NYJ METOD

sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ MOVET BYTX KRATKO ZAPISANA W WIDE MATRI^NOGO URAWNENIQ

A X = B:

w \TOM NETRUDNO UBEDITXSQ, PEREMNOVIW MATRICY A I X SIS- TEMY I PRIRAWNQW K MATRICE B: (mATRICY RAWNY, ESLI RAWNY IH SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY.)

rE[ENIE TAKOGO MATRI^NOGO URAWNENIQ RASSMOTRENO W DANNOM PO- SOBII. iTAK:

X = A;1 B:

tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE SISTEMY SOSTOIT IZ DWUH \TAPOW.

1.nAHOVDENIE MATRICY, OBRATNOJ OSNOWNOJ MATRICE SISTEMY

2.uMNOVENIE POLU^ENNOJ OBRATNOJ MATRICY NA MATRICU-STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW.

22

tAK KAK NAHOVDENIE OBRATNOJ MATRICY SWQZANO S WY^ISLENIEM OPREDELITELQ, TO MATRI^NYM METODOM MOVNO RE[ATX SISTEMY, IME- @]IE NEWYROVDENNU@ OSNOWNU@ MATRICU.

rASSMOTRIM PRIMER RE[ENIQ SISTEMY MATRI^NYM METODOM.

8	x1 +x2 +2x3 =													;1
>	2x1		;x2 +2x3 = ;4 :
<	4x1		+x2 +4x3								= ;2
>
:				a)				wYPISYWAEM OSNOWNU@ MATRICU SISTEMY I NAHODIM
rE[ENIE:
OBRATNU@ EJ
			A =			0		1			1			2		1	:
						B		2		;1				2		C
								4			1			4
						@										A
nE OSTANAWLIWAQSX NA PODROBNYH WY^ISLENIQH, ZAPI[EM REZULXTATY
OSNOWNYH \TAPOW NAHOVDENIQ OBRATNOJ MATRICY.
1)	det A =					1			1			2			= 6 6=:0										2)					0	;6			0		6		1	:
						2		;1 2																			A =			B	;2		;4			3		C
						4			1			4																			4			2		;	3
					;		6				2			4																@		6			2			A
									;																				1		;		;			4
			T =	0												1 :										;	1			0								1
3) A						0			;4 2														4)		A			=	6		0		;4 2						:
				B		6				3			;		3	C														B	6			3		;	3	C
				@												A														@								A
b) nAHODIM MATRICU													X			;			RE[ENIE SISTEMY:												X = A;1						B =
	1 0		;6	;2 4							1			0		;1				1			1 0		6			1		0	1		1
=	6	B	0	;4 2							C			B		;4				C	=		6	B	12				=	2			C	:
			6		3			;		3						;		2							;	12		C		B	;	2
		@									A @									A				@				A @					A
												1								t E
oTWET:				X = 0								2 1 :										:	x1		= 1			x2 = 2 x3 = ;2												:
																				:
								B				2	C							EDINSTWENNOE RE[ENIE SISTEMY:
								@ ;					A

pODSTAWIW POLU^ENNOE RE[ENIE W KAVDOE URAWNENIE SISTEMY, UBEV- DAEMSQ W PRAWILXNOSTI POLU^ENNOGO RE[ENIQ.

zAME^ANIE. rE[ENIE SISTEM MATRI^NYM METODOM NECELESOOBRAZ- NO PROWODITX DLQ SLU^AQ n > 3, TAK KAK PRI NAHOVDENII OBRATNOJ MATRICY, UVE DLQ MATRICY 4-GO PORQDKA, PRIDETSQ WY^ISLQTX 16 OPREDELITELEJ 3-GO PORQDKA. kROME TOGO, SISTEMA DOLVNA IMETX ODI-

23

NAKOWOE ^ISLO URAWNENIJ I NEIZWESTNYH I OTLI^NYJ OT NULQ OPREDE- LITELX OSNOWNOJ MATRICY. t.E. MATRI^NYJ METOD IMEET TE VE PRE- IMU]ESTWA (PROSTOTA RE[ENIQ SISTEM NEWYSOKOGO PORQDKA) I TE VE NEDOSTATKI, ^TO I METOD kRAMERA.

rASSMOTRIM METOD RE[ENIQ LINEJNYH SISTEM S L@BYM ^ISLOM URAWNENIJ I NEIZWESTNYH (KOTORYJ QWLQETSQ UNIWERSALXNYM); ME- TOD POSLEDOWATELXNOGO ISKL@^ENIQ NEIZWESTNYH ILI METOD gAUSSA.

1.3.3. mETOD gAUSSA

sUTX METODA SOSTOIT W TOM, ^TO PUTEM \LEMENTARNYH PREOBRAZO- WANIJ IZ WSEH URAWNENIJ SISTEMY, KROME PERWOGO, ISKL@^AEM NEIZ- WESTNOE x1 DALEE IZ WSEH URAWNENIJ, KROME PERWOGO I WTOROGO, ISKL@^AEM NEIZWESTNOE x2 I T.D. nA PRAKTIKE PRINQTO WSE \TI DEJSTWIQ PROWODITX NE NAD URAWNENIQMI SISTEMY, A NAD STROKAMI RAS[IRENNOJ MATRICY. k \LEMENTARNYM OTNOSQTSQ SLEDU@]IE PRE- OBRAZOWANIQ:

1)UMNOVENIE (DELENIE) NA ^ISLO, OTLI^NOE OT NULQ, \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI

2)SLOVENIE \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI S SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI DRUGOJ STROKI, PREDWARITELXNO UMNOVENNYMI NA NENU- LEWOE ^ISLO

2)PERESTANOWKA STROK MATRICY

3)WY^ERKIWANIE IZ MATRICY NULEWYH STROK, ODNOJ IZ DWUH ODI-

NAKOWYH STROK, ODNOJ IZ DWUH PROPORCIONALXNYH STROK, WY^ERKI- WA@TSQ STROKI, LINEJNO-ZAWISIMYE OT DRUGIH STROK.

w REZULXTATE \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ POLU^AETSQ MATRICA, \KWIWALENTNAQ ISHODNOJ, T.E. MATRICA, IME@]AQ TAKOJ VE RANG. nA EE OSNOWE SOSTAWLQETSQ SISTEMA, \KWIWALENTNAQ ISHODNOJ, NO BOLEE PROSTAQ W RE[ENII I ANALIZE, TAK KAK W POSLEDNEM URAWNENII OSTA- NETSQ TOLXKO ODNO NEIZWESTNOE, W PREDPOSLEDNEM

DWA I T.D. |TOT PROCESS NAZYWAETSQ PRQMYM HODOM METODA gAUSSA. oTMETIM, ^TO PARALLELXNO PRI \TOM RE[AETSQ WOPROS O SOWMESTNOS- TI SISTEMY I KOLI^ESTWE RE[ENIJ (EDINSTWENNOE ILI BESKONE^NOE MNOVESTWO.)

24

oBRATNYJ HOD SOSTOIT W SLEDU@]EM: IZ POSLEDNEGO URAWNENIQ NAHO- DIM EDINSTWENNOE WHODQ]EE W NEGO NEIZWESTNOE, PODSTAWLQEM POLU- ^ENNOE ZNA^ENIE W PREDPOSLEDNEE URAWNENIE I NAHODIM WTOROE NEIZ- WESTNOE I T.D. POKA NE DOJDEM DO PERWOGO URAWNENIQ, W KOTOROM UVE NAJDENY WSE NEIZWESTNYE, KROME ODNOGO. tAKIM OBRAZOM POLU^IM SO- WOKUPNOSTX ZNA^ENIJ NEIZWESTNYH, OBRAZU@]IH RE[ENIE SISTEMY.

rASSMOTRIM PRIMERY RE[ENIQ SISTEM METODOM gAUSSA.

	8	2x1 +x2		;	5x3 +x4			=		8
1:		x1	;3x2				;6x4 =		;	9	:
	<		2x2	;		x3	+2x4	=		5
	>
	> x1		+4x2	;7x3 +6x4				=		0
	:
rE[ENIE. zAPI[EM RAS[IRENNU@ MATRICU SISTEMY, POMENQW SRA-

ZU MESTAMI PERWOE I WTOROE URAWNENIQ (WSEGDA UDOBNO IMETX EDINI- CU W LEWOM WERHNEM UGLU MATRICY). pRIWODIM \TU MATRICU K TRE- UGOLXNOMU WIDU. pOLU^AEM NULI SNA^ALA W PERWOM STOLBCE. dLQ \TO- GO UMNOVAEM PERWU@ STROKU NA (;2) I PRIBAWLQEM KO WTOROJ STROKE. pODOBNU@ PROCEDURU, KAK UVE OTME^ALOSX, BUDEM OFORMLQTX ZAPI-

SX@:			;2		S1 + S2:					dALEE PERWU@ STROKU UMNOVAEM NA (;1) I
PRIBAWLQEM K 4-OJ STROKE (;1 S1 + S4: ). w TRETXEJ STROKE W NUVNOM
MESTE NOLX UVE ESTX.
0	1	;3		0		;6			1						0	=			2S1 + S2
								9
	2 1			;	5 1			8						S2				;
	0 2							;5							0	=
B				;1 2					C					S4				;1S1 + S4
	1	4		;7		6		0
@									A	0		1			;3			0			;6				9				1
												0			7					5	13			;		10				0
												0 2						;1 2									5			S2 = ;3S3	+ S2
										@								;						;					A
															7			;		7	12			;			9
										B 0																			C
		0													1
			1	;3		0		;6		j		9								0	=			2			S2 + S3
			0 1			;	2 7			j		5						S3				;
			0 2																	0									+ S4
		B				;1 2				j ;5					C		S4				= ;7 S2
			0	7		;	7	12		j	;		9
		@													A																	25

1)

2)

								0		1	;3		0			;6			j	9		1 :					1S3
										0	1		;2 7						j	5				S30		=
								B		0	0		3			;12			j ;15			C					3
										0	0		7			;	37		j	;	44
	0	1	;3	0	;6		j	@	9		1											A
		0	1	;2 7			j		5			;		7		S3 + S4
	B	0	0	1	;4		j ;5
		0	0	7	;	37	j ;			44 C
	@										A							0	1	;3		0	;6			j	9		1 :
																			0	1		;2		7		j	5
																		B	0	0		1	;4			j ;5			C
																			0	0		0	;		9	j	;	9
oBSUDIM POLU^ENNYJ REZULXTAT.																		@											A

mATRICA PRIWELASX K TREUGOLXNOMU WIDU (WSE \LEMENTY, STOQ]IE POD GLAWNOJ DIAGONALX@ RAWNY NUL@). oPREDELITELX 4-GO PORQDKA NE RAWEN NUL@ (DLQ TREUGOLXNOJ MATRICY ON RAWEN PROIZWEDENI@

\LEMENTOW, STOQ]IH NA GLAWNOJ DIAGONALI), ZNA^IT W SISTEME NET

LINEJNO ZAWISIMYH URAWNENIJ. rANGI MATRIC A I A RAWNY ^E-

TYREM (RANG OPREDELQETSQ NAIWYS[IM PORQDKOM OTLI^NOGO OT NULQ

MINORA MATRICY I DLQ MATRIC A I A \TO ODIN I TOT VE MINOR 4-GO PORQDKA).

tAKOJ NEBOLX[OJ PREDWARITELXNYJ ANALIZ POZWOLQET SDELATX SLE-

DU@]IE DWA WYWODA:

SISTEMA SOWMESTNA, T.K. Rang A=Rang A

SISTEMA QWLQETSQ OPREDELENNOJ T.K. RANG MATRICY SISTEMY RAWEN ^ISLU NEIZWESTNYH

sOGLASNO POLU^ENNOJ MATRICE ZAPI[EM SISTEMU \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ:

8	x1	;3x2		;6x4	= 9			0	3	1 :
		x2	;2x3 +7x4		= 5		= X =		;4
<			x3	4x4	=	5	)		1
>								B		C
>				;9x4	=	;9			;1
				;		;		@		A
:
pRIMENIM OBRATNYJ HOD METODA gAUSSA.

26

1)	iZ POSLEDNEGO URAWNENIQ		;9x4 = ;9	NAHODIM x4 = 1:
2)	pODSTAWLQEM x4 W PREDPOSLEDNEE URAWNENIE x3 ; 4 1 = ;5 I
POLU^AEM		x3 = ;1:
3)	pOLU^ENNYE ZNA^ENIQ x3		I x4 PODSTAWLQEM WO WTOROE URAW-
NENIE	x2	; 2 (;1) + 7 1 = 5	IZ KOTOROGO	x2 = ;4.
4)	iZ PERWOGO URAWNENIQ POSLE PODSTANOWKI WSEH NAJDENNYH NEIZ-
WESTNYH		x1 ; 3 (;4) ; 6 1 = 9	POLU^IM: x1 = 3.

pODSTAWLQQ POLU^ENNYE ZNA^ENIQ NEIZWESTNYH x1 x2 x3 x4 W KAVDOE URAWNENIE ISHODNOJ SISTEMY, MY MOVEM UBEDITXSQ, ^TO PO- LU^ENNOE RE[ENIE WERNO.

8	3x1	2x2	+5x3	+4x4	= 2
	6x1	;4x2	+4x3	+3x4	=	3
<		;	+3x3	+2x4	=	4 :
2: > 9x1		;6x2

> 15x1 ;10x2 +7x3 +5x4 = 7

rE[ENIE: . zAPI[EM RAS[IRENNU@ MATRICU SISTEMY I BUDEM PRI- WODITX EE K TREUGOLXNOMU WIDU. hOTQ EDINICY W PERWOM STOLBCE MAT- RICY NET, NO ^ISLA 3,6,9,15 PROPORCIONALXNY, MOVNO \LEMENTY PER- WOGO STOLBCA ZANULITX S POMO]X@ ^ISLA 3.

0	3	;2 5			4	j	2	1		S20 =		;	2		S1 + S2
	6	;	4	4	3	j	3			0	=		3		S1	+ S3
	9		6	3	2		4			S3		;
B						j		C		0
	15	;10 7			5		7			S4	=	;5 S1				+ S4
@		;				j		A									0	3	;2		5		4	j	2	1 :
																		0	0	;6		;5		j ;1
																	@	0	0	;12		;10		j ;2		A
																			0	;	18	;	15	j ;	3
																	B 0									C

wIDNO, ^TO 2-Q, 3-Q I 4-Q STROKI MATRICY PROPORCIONALXNY, DWE IZ NIH MOVNO OTBROSITX. |TO POLU^ILOSX IZ-ZA TOGO, ^TO SOOTWET- STWU@]IE URAWNENIQ SISTEMY QWLQ@TSQ LINEJNO ZAWISIMYMI, T.E. DWA POSLEDNIH URAWNENIQ NE NESUT NOWOJ INFORMACII O SWQZI MEV- DU NEIZWESTNYMI, A POLU^A@TSQ IZ WTOROGO URAWNENIQ PUTEM LINEJ- NYH (\LEMENTARNYH) OPERACIJ. oTMETIM, ^TO I DWA PERWYH STOLBCA LINEJNO ZAWISIMY, NO OTBRASYWATX ODIN IZ NIH NELXZQ, ^TOBY NE POTERQTX ODNO IZ NEIZWESTNYH SISTEMY. iTAK, OSTAETSQ MATRICA, \K-

27

WIWALENTNAQ ISHODNOJ

0	3	2		5		4	j		2	1 :			2		5		= 12 6=:0
	0	;0	;	6	;	5		;	1		M2 =		;0	;	6
@							j			A
sDELAEM NEOBHODIMYE WYWODY. o^EWIDNO,												^TO Rang A = Rang A=

2 TAK KAK W OBEIH MATRICAH MOVNO WYDELITX ODIN I TOT VE MINOR 2-GO PORQDKA, NE RAWNYJ NUL@

iTAK, SISTEMA SOWMESTNA, NO QWLQETSQ NEOPREDELENNOJ T.E. IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[ENIJ, T.K. RANG MATRICY SISTEMY MENX[E ^ISLA NEIZWESTNYH Rang A = 2 < n = 4.

w TAKOJ SITUACII DLQ ZAPISI \KWIWALENTNOJ SISTEMY NEOBHODI- MO WYBRATX W MATRICE BAZISNYJ MINOR. tAKIM MINOROM MOVET BYTX L@BOJ, NE RAWNYJ NUL@, MINOR PORQDKA, RAWNOGO RANGU MATRI- CY. w NA[EM SLU^AE ZA BAZISNYJ MOVNO WZQTX WYPISANNYJ WY[E MINOR M2: (sOSTAWLQTX BAZISNYJ MINOR IZ \LEMENTOW PERWYH DWUH STOLBCOW NELXZQ !)

w SOOTWETSTWII S WYBOROM BAZISNOGO MINORA WYBIRAEM

a)	BAZISNYE	NEIZWESTNYE	x2 x3
b)	SWOBODNYE	NEIZWESTNYE	x1 x4:

bAZISNYE NEIZWESTNYE OSTA@TSQ W LEWOJ ^ASTI URAWNENIJ SISTE- MY, A SWOBODNYE PERENOSQTSQ W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIJ I WHODQT W STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW. pOD^ERKNEM, ^TO KOLI^ESTWO BAZISNYH NEIZWESTNYH WSEGDA RAWNO RANGU MATRICY R A KOLI^ESTWO SWO- BODNYH NEIZWESTNYH RAWNO RAZNOSTI ^ISLA NEIZWESTNYH W SISTEME I RANGA, T.E. (n ; R): w NA[EM PRIMERE (n ; R) = 4 ; 2 = 2:

iTAK, \KWIWALENTNAQ SISTEMA BUDET IMETX WID:

8 ;2x2 +5x3

= 2

;3x1

;4x4 :

<

;6x3

= ;1 +5x4

:

pROWODIM OBRATNYJ PROCESS: IZ POSLEDNEGO URAWNENIQ NAHODIM

1

5

x3 =

6

; 6x4:

pODSTAWLQEM

x3

W PERWOE URAWNENIE I NAHODIM

x2 :

5

25

7

3

1

;2x2 +

;

6 x4

= 2 ; 3x1 ; 4x4

x2 = ;

+

2x1 ;

x4:

6

12

12

28

x1

rE[ENIE SISTEMY ZAPI[ETSQ W WIDE:

X = 0 ;7=12 + 3=2x1 ; 1=12x4 1 :

B

1=6

; 5=6x4

C

x4

@

A

8

2x1 +x2 +4x3 +x4 = 0

3

>

3x1 +2x2

;x3

;6x4 = 0

:

7x1 +4x2 +6x3

;

5x4 = 0

<

x1

+8x3

= 1

>

+7x4

:

zAPI[EM RAS[IRENNU@ MATRICU, POSTAWIW NA PERWOE MESTO POSLED-

N@@ STROKU

0

1 0 8 7

j

1

1

S20 =

;

2

S1 + S2

2 1

4

1

j

0

0

=

3

S1 + S3

;1

;6

S3

B

3 2

j

0

C

S40 =

;7

S1 + S4

7 4

6

;5

j

0

j

;

@

0

1

0

8

A 7

1

1

S3 ; 2S2

0 1

;12

;13

j ;2

B

0 2

;25

;27

j ;3

C

S4 ; 2S3

0

4

;

50

;

54

j ;

7

@

A

0

1

0

8

7

j

1

1 :

0 1

;12

;13

j ;2

B

0

0

;1

;1

j

1

C

0

0

0

0

j

;

1

@

A

pOLU^ILI, ^TO W MATRICE A MOVNO WY^ERKNUTX NULEWU@ STROKU, RANG \TOJ MATRICY RAWEN 3, A IZ RAS[IRENNOJ MATRICY \TA STROKA NE WY^ERKIWAETSQ, T.E. EE RANG RAWEN 4.

wYWOD: SISTEMA NESOWMESTNA.

kROME TOGO, ESLI OBRATITXSQ K POSLEDNEJ STROKE RAS[IRENNOJ MATRICY I ZAPISATX SOOTWETSTWU@]EE EJ URAWNENIE, TO POLU^IM

0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 1:

qSNO, ^TO TAKOE URAWNENIE NE IMEET SMYSLA. tAKIM OBRAZOM, ESLI W SISTEME ESTX PROTIWORE^IWOE URAWNENIE, TO I WSQ SISTEMA PROTIWO- RE^IWA, T.E. NESOWMESTNA.

29

8	x1	+x2			;x4	+x5	= 0
	2x1	;		+x3	+3x4	x5	= 0
<			2x2	+x3	+5x4	;
4: >						;3x5 = 0
>	x1	;3x2		+2x3	+9x4	;5x5 = 0

dANNAQ: SISTEMA QWLQETSQ ODNORODNOJ, T.K. SWOBODNYE ^LENY WSEH URAW- NENIJ RAWNY 0. tAKAQ SISTEMA WSEGDA SOWMESTNA, T.K. x1 = x+2 = ::: =

x5 = 0 WSEGDA QWLQETSQ RE[ENIEM SISTEMY. gLAWNYJ WOPROS SOSTO- IT W TOM, ^TO IMEET LI SISTEMA NENULEWYE RE[ENIQ? oTWET NA \TOT WOPROS, KAK I DLQ NEODNORODNOJ SISTEMY, MY POLU^IM POSLE PREOBRA- ZOWANIQ MATRICY SISTEMY. zAMETIM, ^TO NULEWOJ STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW MOVNO NE PISATX, TAK KAK W HODE PREOBRAZOWANIQ SISTEMY ON

NIKAK MENQTSQ NE BUDET.
0	1		1	0	1		1	1				0	1		1	0			1			1	1
	2		0	1	;3	;1				S2 ; 2S1			0	;2 1					;5		;3
@	0	;2 1			5	;3		A		S4 ; S1		@	0	;2 1					5		;3		A
		;				;								;							;
B 1			3	2	9		5	C				B 0			4	2		10				6	C
																0	1		1		0		;1	1		1	:
																	0		;	2	1		5	;	3
																@										A

tRI POSLEDNIE STROKI LINEJNO ZAWISIMYE, I MY WY^ERKIWAEM 3-@ I 4-@. pOLU^AEM MATRICU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ.

wYWODY: POSKOLXKU OSTALISX DWE LINEJNO NEZAWISIMYE STROKI, TO

RANG MATRICY RAWEN DWUM : Rang A = 2: kROME TOGO,

Rang A =

2 < n = 5 ;

ZNA^IT SISTEMA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[ENIJ.

wYBIRAEM BAZISNYJ MINOR. eGO MOVNO SOSTAWITX IZ L@BYH DWUH

STOLBCOW, NO WYGODNEE WSEGO (KAK STANET PONQTNO POZDNEE) WZQTX 1-J

I 3-J STOLBCY

M2 =

1

0

6=:0

0

1

:

x1 x3 (

Rang A = 2).

bAZISNYH NEIZWESTNYH BUDET DWA

TAK KAK

sWOBODNYH

NEIZWESTNYH BUDET TRI:

x2 x4

x5

(TAK KAK

(n ; R) = 5

;

2 = 3).

|KWIWALENTNAQ SISTEMA I EE RE[ENIE

0

;x2 +x4

;x5

1

8 x1 = ;x2 +x4

;x5 :

x2

X = 2x2

5x4 +3x5

:

< x3 = 2x2 ;5x4 +3x5

;x4

:

B

x5

C

30

@

A

gLAWA 2. wektornaq algebra

2.1. pONQTIE WEKTORA. lINEJNYE OPERACII NAD WEKTORAMI

2.1.1. oB]IE PONQTIQ

iZWESTNO, ^TO RQD FIZI^ESKIH WELI^IN QWLQ@TSQ WEKTORNYMI, DLQ HARAKTERISTIKI KOTORYH NEOBHODIMO UKAZYWATX NE TOLXKO IH ^ISLEN- NOE ZNA^ENIE, NO I NAPRAWLENIE. gEOMETRI^ESKOJ MODELX@ WEKTORNOJ WELI^INY QWLQETSQ NAPRAWLENNYJ OTREZOK, DLINA KOTOROGO HARAKTE- RIZUET WELI^INU, A NAPRAWLENIE OTREZKA { NAPRAWLENIE WEKTORNOJ WELI^INY.

pUSTX A ;	NA^ALO WEKTORA, A B		;	EGO
KONEC, TOGDA SAM WEKTOR OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
AB. rASSTOQNIE MEVDU NA^ALOM I KONCOM WEKTO-
;!
RA NAZYWAETSQ DLINOJ		ILI MODULEM	WEKTORA		rIS. 1.
I OBOZNA^AETSQ j	;!AB j.	(rIS. 1.)			WEKTORY, DLQ KO-
w DALXNEJ[EM BUDEM RASSMATRIWATX SWOBODNYE

TORYH TO^KA NA^ALA WEKTORA NE IMEET ZNA^ENIQ, WAVNY LI[X EGO

DLINA I NAPRAWLENIE. tAKIE WEKTORY OBOZNA^A@TSQ ODNOJ BUKWOJ:
~a	~	I T.D. w \TOM SLU^AE DLINA WEKTORA OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
	b
j ~a	j.	sWOBODNYE WEKTORY MOVNO PERENOSITX W L@BU@ TO^KU PRO-

STRANSTWA S SOHRANENIEM DLINY I NAPRAWLENIQ.

wEKTORY NAZYWA@TSQ:

kOLLINEARNYMI, ESLI ONI LEVAT NA ODNOJ ILI PARALLELXNYH PRQ-

MYH RIS oBOZNA^A@TSQ ~

( . 2). : ~a k b:

rIS. 2.

rIS. 3.

rIS. 4.

pROTIWOPOLOVNYMI, ESLI ONI KOLLINEARNY, IME@T ODINAKOWU@ DLINU, NO NAPRAWLENY W PROTIWOPOLOVNYE STORONY. wEKTOR, PROTI- WOPOLOVNYJ WEKTORU ~a OBOZNA^AETSQ: (;~a): (rIS. 3.)

kOMPLANARNYMI, ESLI ONI LEVAT W ODNOJ ILI W PARALLELXNYH PLOSKOSTQH. (rIS. 4.)

31