fix1

WEKTOROW NAZYWAETSQ LEWOJ.
~	~	~	DEKARTOWOJ SISTEMY KOORDINAT OBRA-
bAZISNYE WEKTORY i	j	k
			~
ZU@T PRAWU@ TROJKU. eSLI SMOTRETX IZ KONCA WEKTORA i TO KRAT-
^AJ[IJ POWOROT OT WEKTORA		~	~
		j	K WEKTORU k WIDEN PROTIW ^ASOWOJ

STRELKI.

2.4.2. wY^ISLENIE SME[ANNOE PROIZWEDENIQ

w KOORDINATNOJ FORME SME[ANNOE PROIZWEDENIE KRATKO MOVNO ZA- PISATX W WIDE OPREDELITELQ 3-GO PORQDKA, STROKAMI KOTOROGO QWLQ- @TSQ KOORDINATY PEREMNOVAEMYH WEKTOROW:

~	~		x1	y1	z1
				y2	z2	:
~a b ~c = ([ ~a b ] ~c) = x2
			x3	y3	z3
2.4.3. pRILOVENIQ SME[ANNOGO PROIZWEDENIQ
1. wY^ISLENIE OB_EMOW PARALLELEPIPEDA I PIRAMIDY
VPARALLELEPIPEDA = j ([~a	~					1	j ([~a	~
	b] ~c) j	VPIRAMIDY =				6		b] ~c) j :
2. pROWERKA LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI					SISTEMY 3-H WEKTOROW.

(iLI PROWERKA USLOWIQ, ^TO TRI WEKTORA OBRAZU@T BAZIS W PROSTRAN- STWE.)

eSLI SME[ANNOE PROIZWEDENIE TREH WEKTOROW NE RAWNO NUL@

~

([~a b] ~c) 6= 0

TO SOWOKUPNOSTX WEKTOROW QWLQETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ, SLEDOWA- TELXNO OBRAZUET BAZIS W PROSTRANSTWE. w \TOM SLU^AE WEKTORY NE LEVAT W ODNOJ ILI PARALLELXNYH PLOSKOSTQH (NEKOMPLANARNY).

eSLI SME[ANNOE PROIZWEDENIE TREH WEKTOROW RAWNO NUL@

~

([~a b] ~c) = 0

TO SOWOKUPNOSTX WEKTOROW QWLQETSQ LINEJNO ZAWISIMOJ I NE OBRAZUET BAZIS W PROSTRANSTWE. w \TOM SLU^AE WEKTORY LEVAT W ODNOJ ILI PARALLELXNYH PLOSKOSTQH (KOMPLANARNY).

52

2.5. zADA^I

rASSMOTRIM ZADA^I, W KOTORYH ISPOLXZU@TSQ NELINEJNYE OPERA- CII NAD WEKTORAMI, PRI RAZNYH WARIANTAH ZADANIQ WEKTOROW.

zADA^A 1. dANY DWA WEKTORA

~ ~	~	~	~ ~	~
~a = 2i ; 3j + 5k		b = 4i + j ; 6k:

nAJTI:

1)SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW,

2)DLINY WEKTOROW,

3)KOSINUS UGLA MEVDU WEKTORAMI, ~

4)PROEKCI@ WEKTORA ~a NA WEKTOR b:

rE[ENIE.

1) wEKTORY ZADANY W DEKARTOWOM BAZISE SWOIMI KOORDINATAMI, PO\TOMU MOVNO ISPOLXZOWATX SOOTWETSTWU@]IE FORMULY. dLQ NA- HOVDENIQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ ISPOLXZUEM FORMULU WY^ISLENIQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ W KOORDINATNOJ FORME:

~

(~a b) = x1x2 + y1y2 + z1z2:

b) = (2 ;3 5)(4 1 ;6) =

=2 4 + (;3) 1 + 5 (;6) = 8 ; 3 ; 30 = ;25:

2)iSPOLXZUEM FORMULU DLINY WEKTORA, ZADANNOGO DEKARTOWYMI KOORDINATAMI ~

j ~a j= q

x2 + y2 + z2

:

kOORDINATY WEKTORA

~a = f2 ;3 5g,

TOGDA

j ~a j~= q

= p

:

22 + (;3)2 + 52

38

kOORDINATY WEKTORA

b = f4 1 ;6g,

TOGDA

~

2

2

+ (;6)

2

= p53:

j b j= q4

+ 1

3) kOSINUS UGLA ' MEVDU WEKTORAMI ~a

~

I b RAWEN OTNO[ENI@ SKA-

LQRNOGO PROIZWEDENIQ \TIH WEKTOROW K PROIZWEDENI@ IH DLIN

~

cos ' =

(~a

b)

:

~

j ~a j j b j

53

cos ' =

pODSTAWLQEM W \TU FORMULU NAJDENNYE W PREDYDU]IH ZADA^AH: WE-

LI^INU SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW ~a I ~b I ZNA^ENIQ IH DLIN.

pOLU^IM:

;25 : p38 p53

4) pROEKCIQ WEKTORA ~a NA WEKTOR ~b TAKVE NAHODITSQ S ISPOLXZO- WANIEM SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW

	~
pr~~a =	(~a b)		:
b	~
	j b j
			~
sKALQRNYE PROIZWEDENIQ I DLINY WEKTORA b NAMI UVE NAJDENY. pOD-
STAWLQEM \TI ZNA^ENIQ W FORMULU PROEKCII I POLU^AEM:
pr~~a = ;25		:
b	p53
zADA^A 2. dANY DWA WEKTORA
~			^	o
~a = 2m~ + ~n b = m~ ; 3n~ j m~ j= 2			j ~n j= 3 (m~ ~n) = 120		:

nAJTI:

1)SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW,

2)DLINY WEKTOROW,

3)KOSINUS UGLA MEVDU WEKTORAMI, ~

4)PROEKCI@ WEKTORA ~a NA WEKTOR b:

rE[ENIE.

1) wEKTORY ZADANY W PROIZWOLXNOM BAZISE, PO\TOMU PRI NAHOVDE- NII SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ PEREMNOVA@TSQ WEKTORNYE MNOGO^LENY

		~	~
PO PRAWILAM ALGEBRY. iTAK, W WYRAVENIE (~a b)			WMESTO ~a I b PODSTAW-
LQEM IH RAZLOVENIQ PO BAZISU WEKTOROW m~ I ~n:
~	2	+ (~n m~) ; 6(m~ ~n) ; 3n~		2
(~a b) = (2m~ + n~)(m~ ; 3~n) = 2m~					:

pREOBRAZUEM \TO WYRAVENIE S U^ETOM SWOJSTW SKALQRNOGO PROIZWEDE- NIQ:

54

;4

p13 p103:

~

(~a b)~ :

j ~a j j b j

a)(m~ n~) =j m~ jj n~ j cos(m~^~n)

b)(m~ ~n) = (~n m~)

c)~n2 =j ~n j2 m~2 =j m~ j2 :

2 ^ 2

pOLU^IM 2 j m~ j ;5 j m~ jj ~n j cos(m~ ~n) ; 3 j ~n j =

=2 4 ; 5 2 3 (;0:5) ; 3~ 9 = ;4:

2)tAK KAK KOORDINATY WEKTOROW ~a I b NEIZWESTNY, ISPOLXZUEM OB]U@ FORMULU DLINY WEKTORA: p~a2:j ~a j=

pODSTAWLQEM W \TU FORMULU WYRAVENIE WEKTORA ~a I U^TEM, ^TO DLQ SKALQRNOGO UMNOVENIQ WEKTOROW SPRAWEDLIWY FORMULY SOKRA]ENNO-

GO UMNOVENIQ.

pOLU^IM

j ~a j= p

= q

= q

=

~a2

(2m~ + ~n)2

4m~2 + 4(m~ ~n) + ~n2

DALEE PEREHODIM K SKALQRNYM WELI^INAM, KAK W PREDYDU]EJ ZADA^E

= q

=

4 j m~ j2 +4 j m~ jj ~n j cos(m~ ~n)+ j ~n j2

^

= q

= p

:

4 4 + 4 2 3 (;0:5) + 9

13

~

aNALOGI^NO NAHODITSQ DLINA WEKTORA b

~

~2

= q(m~ ; 3~n)

2

= qm~

2

2

j b j= qb

; 6(m~ ~n) + 9~n =

=

q

=

j m~ j2 ;6 j m~ jj ~n j cos(m~ ~n) + 9 j n~ j2

^

= q4 ; 6 2 3 (;0:5) + 9 9 = p103:

~

3) kOSINUS UGLA ' MEVDU WEKTORAMI ~a I b RAWEN OTNO[ENI@ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ \TIH WEKTOROW K PROIZWEDENI@ IH DLIN

cos ' =

pODSTAWLQEM W \TU FORMULU NAJDENNYE W PREDYDU]IH ZADA^AH: WE-

LI^INU SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW ~a I ~b I ZNA^ENIQ IH DLIN. pOLU^IM:

cos ' =

55

4) pROEKCIQ WEKTORA ~a NA WEKTOR ~b NAHODITSQ KAK OTNO[ENIE SKA- LQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW K DLINE WEKTORA, NA KOTORYJ PROEK- TIRUETSQ DANNYJ WEKTOR

		~
pr~~a =		(~a b)	=	;4		:
				p
b		~			103
		j b j
zADA^A 3. pRI KAKOM ZNA^ENII				WEKTORY
~ ~	~	~		~		~	~
~a = i + 8j + k		I b = ;5i + j + 6k

BUDUT PERPENDIKULQRNY?

rE[ENIE. sKALQRNOE PROIZWEDENIE DWUH WZAIMNO PERPENDIKULQR- NYH WEKTOROW RAWNO NUL@

~

(~a b) = 0:

dLQ WEKTOROW, ZADANNYH W DEKARTOWOM BAZISE, ISPOLXZUEM USLOWIE PERPENDIKULQRNOSTI W KOORDINATNOJ FORME

	x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0:
tOGDA ( 8 2)(;5 6) = 0		=)	;5 + 8 + 12 = 0:
pOLU^AEM	= ;4:
zADA^A 4.	pRI KAKOM ZNA^ENII		WEKTORY
	~		^	o
~a = 3m~+ ~n	I b = 4m~ ;5~n	j m~ j= 2 j ~n j= 1 = (m~ ~n) = 120

BUDUT PERPENDIKULQRNY?

rE[ENIE. sKALQRNOE PROIZWEDENIE DWUH WZAIMNO PERPENDIKULQR- NYH WEKTOROW RAWNO NUL@

~

(~a b) = 0:

pODSTAWLQEM W \TU FORMULU RAZLOVENIQ WEKTOROW. iMEEM:

(3m~ + ~n)(4m~ ; 5~n) = 0:

56

12m~2 + 4 (m~ ~n) ; 15(m~ ~n) ; 5 ~n2 = 0:

pEREHODIM K SKALQRNYM WELI^INAM:

12 j m~ j2 +4 j m~ jj ~n j cos ; 15 j m~ jj n~ j cos ; 5 j ~n j2= 0:

12

4 + 4 2

1

(;0:5) ; 15 2 1 (;0:5) ; 5 1 = 0

) = 7:

zADA^A 5.

nAJTI RABOTU RAWNODEJSTWU@]EJ DWUH SIL

F1 = f1 9 ;3g F2 = f;5 ;6 1g

~

~

PO PEREME]ENI@ IZ POLOVENIQ

M1(;4 3

;2) W POLOVENIE M2(2 5 ;8).

rE[ENIE. wY^ISLQEM RABOTU S POMO]X@ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ

~

~

F

= F1

A = (F S):

+ F2 = f;4 3 ;2g:

w NA[EM SLU^AE

~

~

~

S = ;;;!M1M2 = f6 2 ;6g:

wEKTOR PEREME]ENIQ

~

tOGDA

A = (;4 3 ;2) (6 2 ;6) = ;24 + 6 + 12 = ;6:

zADA^A

6.

~

~

nAJTI RABOTU SILY F

PO PEREME]ENI@ S, ESLI

j

~

j

o

j

~

j

F

S

= 5

A UGOL MEVDU WEKTORAMI SILY I PEREME]ENIQ

= 3

RAWEN 45 :

~ ~

rE[ENIE.

iSPOLXZUEM FORMULU

A = (F S):

tAK KAK KOORDINATY WEKTOROW NAM NE DANY, ISPOLXZUEM OPREDELENIE SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ

~	~	~	~	~^ ~		o
							= 7:5 p2:
A = (F S) =j F j j S j cos(F S) = 3 5 cos 45
zADA^A 7.									~		~
	nAJTI WELI^INU RAWNODEJSTWU@]EJ DWUH SIL F1										I F2,
~		~						o
ESLI j F1 j= 2 j F2 j= 3			UGOL MEVDU WEKTORAMI SIL			' = 60			:
rE[ENIE.				~ ~	+
	rAWNODEJSTWU@]AQ SILA F = F1
~		eE WELI^INA (MODULX):
F2: (rIS. 27.)
		~	~	~
		j F j = j F1		+ F2 j:

tAK KAK KOORDINATY WEKTOROW NAM NE DANY, IS- POLXZUEM OB]U@ FORMULU DLINY WEKTORA

rIS. 27.

~	~	~	~	~	2	~ 2	~ ~ ~2	=
j F j = j F1		+ F2	j = r(F1	+ F2)		= rF1	+ 2(F1 F2) + F2
								57

= v2

1

~

2

+ 2

~

~

cos ' +

~

2

2

+ 2

2

3

+ 3

2

= p19:

= r F1

j

j

F1

j j

F2

j

j

F1

2

j

j

u

t

zADA^A 8. nAJTI KOSINUS WNUTRENNEGO UGLA A W TREUGOLXNIKE

ABC, ESLI DANY KOORDINATY EGO WER[IN:

A(2 3 ;7) B(;1 3 ;1) C(2 ;6 5):

rE[ENIE. oBRAZUEM DWA WEKTORA, WYHODQ]IH IZ TO^-

KI A, I NAJDEM IH KOORDINATY. (rIS. 28.)

g

;!

f;

g

~

;!

f

;

~a = AB =

3 0 6 b = AC = 0 9 12 :

rIS. 28.

dALEE RE[ENIE ANALOGI^NO RE[ENI@ ZADA^I 1 P.3.

~

cos ' =

(~a b)

=

(;3 0 6)

(0

;9 12)

=

~

q(;3)

2

+ 0

2

+ 6

2

q0

2

+ (;9)

2

+ 12

2

j ~a j j b j

72

72

8

= p

p

=

3p5

15

=

5p

0:715:

45

225

5

' 44o:

pO TABLICAM NAHODIM

zADA^A 9. nAJTI KOSINUS UGLA ' MEVDU STORONOJ AB I MEDIANOJ

AM W TREUGOLXNIKE ABC, ESLI DANY WEKTORA STORON AB I AC I UGOL

:

b =

;!AB ~c = ;!AC

j b j= 1 j ~c j= 2

MEVDU NIMI

~

~

= 60o:

rE[ENIE. dLQ RE[ENIQ ZADA^I NEOBHODIMO NAJTI WEKTOR MEDIANY ;;!AM = m~. (rIS. 29.) o^E- WIDNO, ^TO \TOT WEKTOR QWLQETSQ POLUSUMMOJ WEK- TOROW STORON, T.E.

rIS. 29.		1	~
	m~ =	2	(b + ~c):

tOGDA FORMULA KOSINUSA UGLA ' MEVDU STORONOJ I MEDIANOJ PRIMET WID:

	1	~		~			~	~
cos ' =	2	(b + ~c)b				=	(b + ~c)b
	~		1	~			~	~
	j b jj 2			(b + ~c) j			j b jj (b + ~c) j

58

~ 2		~
=	b	+ (b ~c)
		~		2
	1 r(b + ~c)

2 = p7:

(pREDLAGAEM PRODELATX WSE WY^ISLENIQ SAMOSTOQTELXNO.)

zADA^A 10.	~
	nAJTI WEKTOR b, KOLLINEARNYJ WEKTORU
~a = f1 ;1 2g	, ESLI IZWESTNO IH SKALQRNOE PROIZWEDENIE

~

(~a b) = 3:

rE[ENIE. dWA KOLLINEARNYH WEKTORA SWQZANY SOOTNO[ENIEM:

~

b = ~a:

zAPI[EM S U^ETOM \TOGO SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW:

~	2	2	= (1 + 1 + 4) = 6 = 3:
(~a b) = (~a ~a) = ~a		= j ~a j
iTAK, KO\FFICIENT = 0:5:

			~
	tOGDA KOORDINATY WEKTORA b = 0:5 f1 ;1 2g = f0:5 ;0:5 1g:
	zADA^A 11.	nAJTI WEKTORNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ~a I			~
					b
		~	~ ~	~
	~a = f3 2 ;5g b = 2i ; j + 3k I EGO MODULX:				~
	rE[ENIE.	wEKTORNYM PROIZWEDENIEM DWUH WEKTOROW ~a
					I b BUDET

QWLQTXSQ TRETIJ WEKTOR ~c. tAK KAK WEKTORY ZADANY W DEKARTOWOM BAZISE SWOIMI KOORDINATAMI, TO MOVNO NAJTI KOORDINATY WEKTO- RA ~c: dLQ \TOGO ZAPI[EM WEKTORNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATNOJ

FORME

~

~

~

~

i

j

k

;5 =

~c = [~a b] = 3 2

2

;1

3

(RASKLADYWAEM \TOT OPREDELITELX PO \LEMENTAM PERWOJ STROKI I PO-

LU^AEM KOORDINATY WEKTORA ~c)

~

2

5

~

3

5

~

3

2

~

~

~

= i

;1

;3

; j

2

;3

+ k

2 ;1

= 1

i ; 19

j ; 7 k:

iTAK,

~c = f1 ;19 ;7

g.

zNAQ KOORDINATY WEKTORA, NAHODIM EGO MODULX

~ p p

j ~c j=j[~a b]j= 1 + 361 + 49 = 411:

59

~

~a I b

zADA^A 12. nAJTI WEKTORNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ~a		~
		I b
~	^		o
~a = 2m~ + 3~n b = ~n ; 4m~ j m~ j= 2 j ~n j= 1	= (m~ ~n) = 30

I EGO MODULX.

rE[ENIE. wEKTORY ZADANY W PROIZWOLXNOM BAZISE. nAJDEM WEK- TORNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ISPOLXZUQ IH RAZLOVENIQ W \TOM BAZISE.

~

[~a b] = [(2m~ + 3~n) (~n ; 4m~)] = 2[m~ ~n] + 3[~n ~n] ; 8[m~ m~] ; 12[~n m~]: uPROSTIM \TO WYRAVENIE S U^ETOM SWOJSTW WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ:

1)	~	^
	[m~ m~] = [~n ~n] = 0	3) j [m~ ~n] j=j m~ j j ~n j sin(m~ ~n):
2)	[~n m~] = ;[m~~ ~n]
pOLU^IM [~a b] = 14[m~ ~n]:

mODULX WEKTORNOGO PROIZWEDENIQ

~

j [~a b] j= 14 j [m~ ~n] j= 14 j m~ jj ~n j sin = 14 2 1 (0:5) = 14:

zADA^A 13. dANY WER[INY TREUGOLXNIKA:

A(;2 1 3) B(2 ;1 0) C(;4 3 5):

nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA I DLINU WYSOTY, OPU]ENNOJ NA STORO- NU AC.

rE[ENIE. pLO]ADX TREUGOLXNIKA RAWNA POLOWINE MODULQ WEKTOR- NOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW-STORON. (rIS. 30.) oBOZNA^IM

~a = ;!AC = f;2 2 2g b = ;!AB	= f4 ;2 ;3g:
~
tOGDA PLO]ADX TREUGOLXNIKA

rIS. 30.

						~	~	~
		1	~	1		i	j	k
						;2 2 2 =
		S = 2 j[~a b]j= 2
	1	~	~	~		14	;2 ;3
=	2 j ;2i + 2j ; 4k j=					2p4 + 4 + 16 = p6:

60

dLQ NAHOVDENIQ WYSOTY ISPOLXZUEM IZWESTNU@ FORMULU PLO]ADI

TREUGOLXNIKA

1

S = 2a h

h = 2aS .

GDE a - DLINA OSNOWANIQ, h

- WYSOTA. (rIS. 30.) oTS@DA

w NA[EM SLU^AE a =j ~a j= p

= 2p

:

4 + 4 + 4

3

2p

p

6

tOGDA WYSOTA TREUGOLXNIKA

h = 2p3 =

2:

zADA^A 14. dANY WEKTORA STORON TREUGOLXNIKA

~

^

o

~a = 3m~ + n~ b = 2m~ ; ~n j m~ j=j ~n j= 2 = (m~ ~n) = 60

:

nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA I DLINU WYSOTY, OPU]ENNOJ NA STORO- NU ~a.

rE[ENIE. pLO]ADX TREUGOLXNIKA RAWNA POLOWINE MODULQ WEKTOR-

NOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW-STORON (rIS. 30.)

1

~

1

S = 2

j [~a b] j=

2 j [(3m~ + ~n) (2m~ ; ~n)] j=

1

j 6[m~ m~] + 2[~n m~] ;

3[m~ ~n] ; [~n ~n] j=

2

p

1

5

5

3

=

25 j [m~ ~n] j=

2 j m~ jj ~n j sin = 2 2 2

2 = 5p3:iTAK S =

5p3:

2S

wYSOTA TREUGOLXNIKA

h =

:

nAHODIM DLINU STORONY

a:

a

a =j ~a j= q

= q

=

(3m~ + ~n)2

9m~2 + 6(m~ ~n) + ~n2

= q

=

9 j m~ j2 +6 j m~ jj ~n j cos

+ j

~n j2

q9 4 + 6 2 2 (0:5) + 4 = p52:

10p

3

wYSOTA

h = p52 :

61