fix1

~s2.

ZNAQ cos ', MOVNO NAJTI SOOTWETSTWU@]EE ZNA^ENIE UGLA '.)

zAME^ANIE. eSLI PRQMYE ZADANY KANONI^ESKIM ILI PARAMETRI- ^ESKIMI URAWNENIQMI, IZ KOTORYH IMEEM KOORDINATY NAPRAWLQ@]IH WEKTOROW

~s1 I tOGDA UGLOM MEVDU PRQMYMI BUDET UGOL MEVDU NAPRAW- LQ@]IMI WEKTORAMI. zADA^A PRAKTI^ESKI SWODITSQ K PREDYDU]EJ (TABLICY 3.2.2) I NAHODITSQ KOSINUS UGLA MEVDU PRQMYMI.

eSLI VE PRQMYE ZADANY TAK, ^TO IZWESTNY IH UGLOWYE KO\FFI- CIENTY, TO NAHODIM TANGENS UGLA MEVDU PRQMYMI, A PO TRIGONOMET- RI^ESKIM TABLICAM ZNA^ENIE UGLA. nAPRIMER,

PUSTX l1 : y = 4x;7 l2 : y = ;6x+3: tOGDA k1 = 4 k2 = ;6: bEREM FORMULU NAHOVDENIQ TANGENSA UGLA MEVDU DWUMQ PRQMYMI

(TABLICA 3.2.3)

tg' =	k2 ; k1	=	;6 ; 4	= ;10	=	10	:
	1 + k1k2		1 + 4(;6)	;23		23

pROWERKA USLOWIJ PARALLELXNOSTI I PERPENDIKULQRNOSTI PRQMYH

zADA^A 10. rASSMOTRIM NESKOLXKO PAR PRQMYH

	1: l1 : 10x + 6y	;	1 = 0	l2 :	x ; 1	= y	:
					;3	5

|TI PRQMYE PARALLELXNY, TAK KAK KOLLINEARNY IH WEKTORA NORMALI

	~	= f10 6g							~
	N1					~s2	= f;3 5g ) N2 = f5 3g:
wEKTORA		~		~	KOLLINEARNY, TAK KAK IH ODNOIMENNYE KOORDI-
		N1	I N2
NATY PROPORCIONALXNY:						10	=	6:
						5		3
	2: l1 :		y =	;	3x + 7			l2	: 8 x = ;t + 2	:
									< y = 3t
82									:

M(x y)

|TI PRQMYE PARALLELXNY, TAK KAK IME@T ODIN I TOT VE WEKTOR NOR- MALI

~	= f3 1g						~	= f3 1g:
N1						~s2 = f;1 3g ) N2
3: l1 :		x		y			2
		2	+	3	= 1	l2 : y =	3 x + 1:

|TI PRQMYE PERPENDIKULQRNY, TAK KAK WZAIMNO PERPENDIKULQRNY IH WEKTORA NORMALI. dEJSTWITELXNO, ZAPI[EM \TI URAWNENIQ W WIDE

	l1 : 3x + 2y = 6							l2 : 2x ; 3y + 3 = 0:
			~				~	= f2 ;3g
			N1 = f3 2g				N2
	~	~		2 + 2 (;3) = 0				)	~		~
	(N1	N2) = 3							N1 ? N2:
	4: l1 :		x + 1	= y		; 2		l2 : 5x + 4y		;	1 = 0:
			5			4
	~s1 = f5 4g				)	~	= f4 ;5g		~
						N1			N2 = f5 4g:
				~		~	4 + 4 (;5) = 0:
			(N1 N2) = 5
wEKTORA		~	~	WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, A ZNA^IT PERPENDI-
		N1	I N2

KULQRNY I PRQMYE.

nAHOVDENIE PROEKCII TO^KI NA PRQMU@

pROEKCIEJ TO^KI M(x y) NA PRQMU@ l BUDET TO^KA PERESE^ENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU M(x y) PERPENDIKULQRNO PRQMOJ l S \TOJ PRQMOJ l: (rIS.16.) pO\TOMU RE[ENIE ZADA^I BUDET SOSTOQTX IZ DWUH \TAPOW:

a) sOSTAWLENIE URAWNENIQ PRQMOJ l1, PROHODQ- ]EJ ^EREZ TO^KU PERPENDIKULQRNO PRQ- MOJ l (\TA ZADA^A PODROBNO RASSMOTRENA WY[E).

b) nAHOVDENIE TO^KI PERESE^ENIQ DWUH PRQMYH
l I l1 (RE[ENIE TAKOJ ZADA^I MY TAKVE UVE RAS-	rIS. 16.
SMOTRELI).

83

4y ; 8 = 0: rE[ENIE.

1.3.4. nAHOVDENIE RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PRQMOJ

zADA^A 11. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI M(2 ;3) DO PRQMOJ l : 3x;

wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ WY^ISLENIQ RASSTOQNIQ OT DANNOJ TO^KI M(x1 y1) DO DANNOJ PRQMOJ Ax + By + C = 0:

d = j	Ax1 + By1 + C	j:
	pA2 + B2

fORMULA GOWORIT O TOM, ^TO DLQ OPREDELENIQ RASSTOQNIQ OT TO^KI DO PRQMOJ NEOBHODIMO W LEWU@ ^ASTX OB]EGO URAWNENIQ PRQMOJ WMES- TO TEKU]IH KOORDINAT PODSTAWITX KOORDINATY DANNOJ TO^KI, POLU- ^ENNOE ^ISLO WZQTX PO ABSOL@TNOJ WELI^INE I RAZDELITX NA DLINU NORMALXNOGO WEKTORA PRQMOJ. pOLU^AEM

d = j 3 2	; 4	(;3)		; 8 j = 10 = 2:
	2
			2		5
q3 + (;4)
zAME^ANIE. eSLI PRQMAQ ZADANA URAWNENIEM DRUGOGO WIDA, TO EGO
SLEDUET PRIWESTI K OB]EMU WIDU I ISPOLXZOWATX FORMULU RASSTOQ-
NIQ OT TO^KI DO PRQMOJ.
zADA^A 12. nAJTI RASSTOQNIE MEVDU PARALLELXNYMI PRQMYMI
l1 : 12x ; 5y + 10 = 0		I		l2	: 12x ; 5y + 2 = 0:

rE[ENIE. rASSTOQNIEM MEVDU DWUMQ PARALLELXNYMI PRQMYMI QWLQETSQ RASSTOQNIE OT KAKOJ-LIBO TO^KI ODNOJ PRQMOJ DO WTOROJ PRQMOJ. pRI \TOM DLQ NAHOVDENIQ TO^KI NA PRQMOJ DOSTATO^NO ZA- DATX ZNA^ENIE ODNOJ IZ KOORDINAT I IZ URAWNENIQ PRQMOJ POLU^ITX ZNA^ENIE DRUGOJ.

pOLOVIM x1 = 0: tOGDA ;5y + 10 = 0 ) y1 = 2:

tEPERX WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ WY^ISLENIQ RASSTOQNIQ OT TO^KI

M(0 2) DO PRQMOJ 12x ; 5y + 2 = 0:

d = j 12q1202;+5(;25)+2 2 j = jp;1698 j = 138 :

84

M(X Y )

sOSTAWLENIE URAWNENIJ BISSEKTRIS UGLOW MEVDU PRQMYMI

zADA^A 13. sOSTAWITX URAWNENIQ BISSEKTRIS UGLOW MEVDU PRQMY-

MI l1 : 3x + 2y ; 4 = 0 l2 : 3x + 6y ; 1 = 0:

rE[ENIE. o^EWIDNO, ^TO BISSEKTRIS, KAK I UGLOW TOVE BUDET DWE. (rIS.17.) wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ WY^ISLENIQ RASSTOQNIQ

OT DANNOJ TO^KI M(x1 y1) DO DANNOJ PRQMOJ Ax + By + C = 0 pUSTX ESTX TEKU]AQ TO^KA BISSEKTRI-

SY. iSPOLXZUEM SWOJSTWO, ^TO BISSEKTRISA UGLA ESTX MNOVESTWO TO^EK, RAWNOUDAL<NNYH OT STO- RON UGLA. zAPI[EM RAWENSTWO RASSTOQNIJ OT TE- KU]EJ TO^KI M(X Y ) DO ODNOJ I WTOROJ PRQMOJ.

d = j	Ax1 + By1 + C				j:
	pA2 + B2
j 3X + 2Y ; 4 j				=
	p 2	+ 2	2
	3

rIS. 17.

j 3X + 6Y ; 1 j p32 + 62 :

oTKUDA POLU^AEM URAWNENIQ DWUH BISSEKTRIS OSTROGO I TUPOGO UG- LOW MEVDU PRQMYMI (ZAMENQEM ODNOWREMENNO KOORDINATY X Y NA OBY^NYE x y)

3x + 2y	;	4 =	v	13	(3x + 6y	;	1):
			u	45
			t

tAK KAK q13=45 0:54 TO URAWNENIE PERWOJ BISSEKTRISY

3x+2y;4 = 0:54(3x+6y;1)	3x+2y;4	= 1:62x+3:24y;0:54
1:38x ; 1:24y ; 3:46 = 0:
uRAWNENIE WTOROJ BISSEKTRISY
3x+2y;4 = ;0:54(3x+6y;1)	3x+2y;4	= ;1:62x;3:24y+0:54

4:62x + 5:24y ; 4:54 = 0:

85

3.2.kRIWYE WTOROGO PORQDKA

3.2.1.kANONI^ESKIE URAWNENIQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA, IH SWOJSTWA I POSTROENIE

kRIWOJ 2-GO PORQDKA NAZYWAETSQ LINIQ, URAWNENIE KOTOROJ W DE- KARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT ESTX URAWNENIE WTOROJ STEPENI

		Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0		(1)
GDE A B	C NE RAWNY NUL@ ODNOWREMENNO.
uRAWNENIE (1) MOVNO RAZBITX NA DWE GRUPPY SLAGAEMYH:
	Ax2 + 2Bxy + Cy2		; KWADRATI^NAQ ^ASTX
		Dx + Ey + F	; LINEJNAQ ^ASTX:
zAMETIM, ^TO KWADRATI^NAQ ^ASTX W URAWNENII KRIWOJ 2-GO PORQDKA
WSEGDA PRISUTSTWUET, A LINEJNAQ ^ASTX MOVET I OTSUTSTWOWATX (POL-
NOSTX@ ILI ^ASTI^NO).
gEOMETRI^ESKIM OBRAZOM URAWNENIQ (1) SLUVAT TRI LINII				- LI-
BO \LLIPS,	LIBO GIPERBOLA,		LIBO PARABOLA, LIBO IH WYROVDENNYE
WARIANTY, PRI^EM OPREDELITX TIP KRIWOJ MOVNO SRAZU PO KO\FFI-
CIENTAM KWADRATI^NOJ FORMY, A IMENNO:
ESLI		AC ; B22 > 0	- \LLIPTI^ESKIJ,
ESLI		AC ; B2 < 0	- GIPERBOLI^ESKIJ,
ESLI		AC ; B = 0	- PARABOLI^ESKIJ.

dLQ POSTROENIQ KRIWOJ NEOBHODIMO SNA^ALA UPROSTITX ISHODNOE URAWNENIE, ILI, KAK GOWORQT, PRIWESTI EGO K KANONI^ESKOMU WIDU. |TO DOSTIGAETSQ POWOROTOM I PARALLELXNYM PERENOSOM SISTEMY KO- ORDINAT W NOWOE NA^ALO, ^TO BUDET RASSMOTRENO NIVE.

rASSMOTRIM KANONI^ESKIE URAWNENIQ KRIWYH 2-GO PORQDKA, IH OSNOW- NYE SWOJSTWA I POSTROENIE.

wOZMOVNYE SLU^AI KANONI^ESKIH URAWNENIJ I SOOTWETSTWU@]IH IM GEOMETRI^ESKIH OBRAZOW PRIWEDENY W TABLICE.(sTR.130-132.)

86

O0(x0 y0)

1. |LLIPS

o P R E D E L E N I E. |LLIPSOM NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO^EK PLOSKOSTI, SUMMA RASSTOQNIJ KOTORYH DO DWUH DANNYH TO^EK, NA- ZYWAEMYH FOKUSAMI, ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ 2a: (|TA WELI^INA BOLX[E RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI, RAWNOGO 2S).

pUSTX PROIZWOLXNAQ TO^KA KRIWOJ IMEET KOORDI-

NATY M(x y) a FOKUSY LEVAT NA OSI OX					I
IME@T KOORDINATY F1(c 0) F2(;c 0):
tOGDA SOGLASNO OPREDELENI@ MOVNO ZAPISATX
	jF1Mj + jF2Mj = 2a					rIS. 53.
q		+ q				= 2a:
	(x ; c)2 + (y ; 0)2			(x + c)2 + (y ; 0)2
pOSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^IM KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA
	x2		y2
	a2 + b2 = 1
S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT O(0 0) I POLUOSQMI: a (OTKLADYWA-
ETSQ PO OSI OX WLEWO I WPRAWO OT CENTRA) I					b (OTKLADYWAETSQ PO

OSI OY WWERH I WNIZ OT CENTRA). pRI^EM IMEETSQ SLEDU@]AQ SWQZX

MEVDU RAZMERAMI OSEJ		2a , 2b I RASSTOQNIEM MEVDU FOKUSAMI 2c
	= ac	a2 = b2 + c2
oTNO[ENIE		NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM I HARAKTE-
RIZUET FORMU (STEPENX SVATIQ ) \LLIPSA. tAK KAK DLQ \LLIPSA IMEET
MESTO: a > c	TO EGO \KSCENTRISITET < 1:

|LLIPS - KRIWAQ, OBLADA@]AQ CENTRALXNOJ I OSEWOJ SIMMETRIEJ. dLQ POSTROENIQ \LLIPSA DOSTATO^NO ZNATX KOORDINATY CENTRA I ^E-

TYREH WER[IN A1(a 0) A2(;a 0) B1(0 b) B2(0 ;b): (RIS. 53.) uRAWNENIE

(x ; x0)2 + (y ; y0)2 = 1 a2 b2

rIS. 54.

QWLQETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM \LLIPSA S CENTROM W TO^KE I POLUOSQMI: a I b:

87

dLQ POSTROENIQ TAKOGO \LLIPSA NEOBHODIMO SNA^ALA NANESTI POLO- VENIE CENTRA \LLIPSA NA KOORDINATU@ PLOSKOSTX, PROWESTI ^EREZ CENTR OSI SIMMETRII O0X0 I O0Y 0 I OTLOVITX POLUOSI a I b OT \TOGO CENTRA KAK I W PREDYDU]EM SLU^AE.

pOSTROIM \LLIPSY.

1: 4x2 + 3y2 = 12:

pOLU^IM KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA, RAZDELIW OBE ^ASTI ISHODNOGO URAWNENIQ NA 12, ^TOBY W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ STOQLA 1.

	rIS. 55.
2:	x =

4x2	+	3y2	= 1	x2	+ y2	= 1:
12		12		3	4

iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ IMEEM RAZMERY POLU- OSEJ a = p3 b = 2:

CTROIM \LLIPS. (rIS. 55.)

;p9 ; 4y2:

wOZWEDEM W KWADRAT OBE ^ASTI URAWNENIQ I PROWEDEM NESLOVNYE PREOBRAZOWANIQ

	x2 = 9 ; 4y2				x2 + 4y2 = 9
	x2	+	4y2	= 1	x2	+	y2	= 1:
	9		9		9		9=4
rIS. 56.	iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ IMEEM RAZMERY POLU-
	OSEJ \LLIPSA		a = 3		b = 3=2:

nO ISHODNOE URAWNENIE BUDET OPREDELQTX NE WS@ KRIWU@, A TOLXKO
EE LEWU@ POLOWINU, TAK KAK x = ;p9 ; 4y2										< 0: (rIS. 56.)
		y ; 1 = p
3:					4	; 2x2:
wOZWEDEM W KWADRAT OBE ^ASTI URAWNENIQ I PROWEDEM NESLOVNYE
PREOBRAZOWANIQ
(y	;	1)2 = 4	;	2x2		2x2 + (y		;	1)2 = 4	x2	+ (y ; 1)2 = 1:
										2	4

88

O0X0

iZ POLU^ENNOGO URAWNENIQ IMEEM RAZMERY POLU-
OSEJ	a =	p2	b = 2	I KOORDINATY CENT-
RA O0(0 1):
sTROIM \LLIPS. oTME^AEM W SISTEME KOORDINAT
TO^KU O0 PROWODIM ^EREZ NEE NOWYE OSI KOORDI-
NAT	O0X0	O0Y 0	I OTKLADYWAEM NA NIH RAZMERY		rIS. 57.

POLUOSEJ.

nO ISHODNOE URAWNENIE BUDET OPREDELQTX NE WS@ KRIWU@, A TOLXKO EE WERHN@@ POLOWINU, TO^KI KOTOROJ LEVaT WY[E OSI TAK KAK ISHODNOMU URAWNENI@ UDOWLETWORQ@T TOLXKO TE TO^KI, DLQ KO- TORYH y ; 1 > 0 ILI y > 1: (rIS. 57.)

2. oKRUVNOSTX

o P R E D E L E N I E. oKRUVNOSTX@ NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO^EK PLOSKOSTI, RAWNOUDALENNYH OT DANNOJ TO^KI, NAZYWAEMOJ CENTROM.

pUSTX PROIZWOLXNAQ TO^KA KRIWOJ IMEET KO- ORDINATY M(x y) a CENTR NAHODITSQ W NA^ALE

KOORDINAT. (rIS. 58.)			tOGDA SOGLASNO OPREDELE-
NI@ MOVNO ZAPISATX			jOMj = r ILI
q		= r		x2 + y2 = r2:
	x2 + y2		=)					rIS. 58.
dLQ POSTROENIQ OKRUVNOSTI DOSTATO^NO ZNATX
KOORDINATY CENTRA I RADIUS				r.		00(x0
pUSTX CENTR OKRUVNOSTI NAHODITSQ W TO^KE							y0):
			tOGDA, ZAPISYWAQ FORMULU RASSTOQNIQ MEVDU
		DWUMQ TO^KAMI, POLU^IM jM0Mj = r ILI
				q				= r:
					(x ; x0)2 + (y ; y0)2
		iTAK, URAWNENIE
rIS. 59.				(x x0)2 + (y y0)2			= r2
					;	;

QWLQETSQ KANONI^ESKIM URAWNENIEM

89

|KSCENTRISITET OKRUVNOSTI pOSTROIM OKRUVNOSTI.

OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE O0(x0 y0) I RADIUSOM r. dLQ POSTROE- NIQ TAKOJ OKRUVNOSTI NEOBHODIMO SNA^ALA NANESTI POLOVENIE CENT-

RA O0	NA KOORDINATU@ PLOSKOSTX, PROWESTI ^EREZ NEGO OSI O0X0 I
O0Y 0	I STROITX OKRUVNOSTX RADIUSA r, KAK I W PREDYDU]EM SLU-

^AE. (rIS. 59.)

oTMETIM, ^TO OKRUVNOSTX QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM \LLIPSA S ODINAKOWYMI POLUOSQMI, DESTWITELXNO: ESLI W URAWNENII \LLIPSA POLOVITX a = b = r TO POLU^IM URAWNENIE OKRUVNOSTI x2 +y2 = r2:

oKRUVNOSTX, TAKVE, KAK I \LLIPS, { KRIWAQ, OBLADA@]AQ CEN- TRALXNOJ SIMMETRIEJ.

oKRUVNOSTX MOVNO RASSMATRIWATX KAK PREDELXNYJ SLU^AJ \LLIP- SA, U KOTOROGO FOKUSY SLILISX W ODNU TO^KU-CENTR OKRUVNOSTI, I

PO\TOMU RASSTOQNIE MEVDU FORKUSAMI RAWNO NUL@.

= ac = 0r = 0:

1: x2 + y2 = 4:

iZ URAWNENIQ IMEEM, ^TO CENTR OKRUVNOSTI { W NA^ALE KOORDINAT, RADIUS r = 2: sTROIM OKRUV- NOSTX. (rIS. 60.)

rIS. 60.

2: x = 2 + p1 ; y2:

wOZWEDEM W KWADRAT OBE ^ASTI URAWNENIQ I PROWEDEM NESLOVNYE PREOBRAZOWANIQ

(x ; 2)2 = 1 ; y2 (x ; 2)2 + y2 = 1:

iZ URAWNENIQ IMEEM, ^TO CENTR OKRUVNOSTI { W TO^KE 00(2 0) RA- DIUS r = 1:

90

sTROIM OKRUVNOSTX, PREDWARITELXNO OTMETIW POLOVENIE CENTRA O0 I PROWEDQ ^EREZ NEGO NOWYE OSI O0X0 I O0Y 0. nO ISHODNOE URAWNENIE BUDET OPREDELQTX NE WS@ KRIWU@, A TOLXKO EE PRAWU@ POLOWINU, TO^KI KOTOROJ LEVAT PRAWEE OSI O0Y 0

^TO SLEDUET IZ ISHODNOGO URAWNENIQ: (rIS. 61.)					rIS. 61.
x = 2 + q		TAK KAK q		> 0 TO x > 2:
	1 ; y2		1 ; y2

3. gIPERBOLA

o P R E D E L E N I E. gIPERBOLOJ NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO- ^EK PLOSKOSTI, ABSOL@TNAQ WELI^INA RAZNOSTI RASSTOQNIJ KOTO- RYH DO DWUH DANNYH TO^EK, NAZYWAEMYH FOKUSAMI, ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ 2a: (|TA WELI^INA MENX[E RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI, RAWNOGO 2S).

pUSTX PROIZWOLXNAQ TO^KA KRIWOJ IME-

ET KOORDINATY

M(x y)

a

FOKUSY LE-

VAT NA OSI

OX

I

IME@T

KOORDINATY

F1(c 0) F2(;c 0): (

rIS

. 62.)

tOGDA

,

SOGLAS

-

NO OPREDELENI@, MOVNO ZAPISATX

j

F1M

j ; j

F2M

j

=

2a

rIS. 62.

q

; q

= 2a:

(x

; c)2 + (y

; 0)2

(x + c)2 + (y ; 0)2

pOSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^IM KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY

x2

y2

a2 ; b2

= 1

S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT O(0 0) I POLUOSQMI: DEJSTWITELXNOJ a (OTKLADYWAETSQ PO OSI OX WLEWO I WPRAWO OT

CENTRA) I

MNIMOJ b (OTKLADYWAETSQ PO OSI OY WWERH I WNIZ OT CENTRA). iMEETSQ SLEDU@]AQ SWQZX MEVDU RAZMERAMI OSEJ 2a 2b I RAS-

STOQNIEM MEVDU FOKUSAMI 2c

b2 = c2 ; a2:

91