fix1

rAWNYMI, ESLI ONI KOLLINEARNY, IME@T ODINAKOWU@ DLINU I NA- PRAWLENY W ODNU STORONY.

nAD WEKTORAMI MOVNO PROWODITX LINEJNYE I NELINEJNYE OPERA- CII.

k LINEJNYM OPERACIQM OTNOSQTSQ: SLOVENIE, WY^ITANIE WEKTO-

ROW, UMNOVENIE WEKTORA NA SKALQR, LINEJNAQ KOMBINACIQ WEKTO-

ROW. k NELINEJNYM OPERACIQM OTNOSQTSQ: SKALQRNOE, WEKTORNOE,

SME[ANNOE, I DWOJNOE WEKTORNOE PROIZWEDENIQ.

2.1.2.lINEJNYE OPERACII NAD WEKTORAMI W GEOMETRI^ESKOJ FORME

1.sLOVENIE DWUH WEKTOROW MOVNO PROWODITX GEOMETRI^ESKI DWU- MQ SPOSOBAMI.

pRAWILO TREUGOLXNIKA: SOWME]AEM PUTEM PARALLELXNOGO PERENOSA NA^ALO WTOROGO WEKTORA S KONCOM PERWOGO. tOGDA SUMMOJ \TIH WEKTO- ROW BUDET WEKTOR, IDU]IJ IZ NA^ALA PERWOGO W KONEC WTOROGO, T.E. \TOT WEKTOR ZAMYKAET LOMANU@ IZ DWUH WEKTOROW DO TREUGOLXNIKA. (wEKTOR SUMMY SOEDINQET NA^ALO ODNOGO WEKTORA S KONCOM DRUGO-

GO.) (rIS. 5.)

rIS. 5. rIS. 6.

pRAWILO PARALLELOGRAMMA: PUTEM PARALLELXNOGO PERENOSA SOWME- ]AEM NA^ALA OBOIH WEKTOROW, STROIM NA \TIH WEKTORAH PARALLELO- GRAMM. tOGDA WEKTOR DIAGONALI \TOGO PARALLELOGRAMMA, IDU]IJ IZ IH OB]EGO NA^ALA, BUDET SUMMOJ WEKTOROW. (rIS. 6.)

rIS. 7.

pRAWILO MNOGOUGOLXNIKA: eSLI TREBUETSQ SLO-

VITX BOLX[OE ^ISLO WEKTOROW, TO POLXZU@TSQ PERWYM SPOSOBOM: K KONCU PREDYDU]EGO WEKTORA SOWME]A@T NA^ALO SLEDU@]EGO. w ITOGE WEKTOR, IDU]IJ IZ NA^ALA PERWOGO WEKTORA W KONEC

POSLEDNEGO, BUDET QWLQTXSQ SUMMOJ WSEH WEKTOROW. (rIS. 7.)

32

	oTMETIM, ^TO SUMMA WEKTORA				~a	I EMU PROTIWOPOLOVNOGO WEKTO-
RA	(;~a) DAET NULEWOJ WEKTOR					~
					~a + (;~a) = 0
TAKOJ WEKTOR NE IMEET DLINY I NAPRAWLENIQ.
	2. wY^ITANIE	DWUH WEKTOROW ~a				~
						I b MOVNO ZAMENITX SLOVENI-
					~		~
EM	WEKTORA ~a S WEKTOROM			(;b)		PROTIWOPOLOVNYM WEKTORU b:
				~		~
			~a ; b = ~a + (;b):
	iTAK, DLQ TOGO, ^TOBY NAJTI RAZNOSTX WEKTOROW ~a						~
							I b SOWME]A-
EM NA^ALA WEKTOROW		~a	~			~	nAHODIM SUMMU
			I b	STROIM WEKTOR (;b):
	~

WEKTOROW ~a+(;b) PO PRAWILU PARALLELOGRAMMA. pERENOSIM POLU^EN-

NYJ WEKTOR PARALLELXNO SAMOMU SEBE I POLU^AEM WEKTOR RAZNOSTI,

KOTORYJ SOEDINQET KONCY WEKTOROW ~a I ~b PRI^EM NAPRAWLEN IZ KONCA WY^ITAEMOGO W KONEC UMENX[AEMOGO WEKTORA (RIS. 8.)

rIS. 9.

rIS. 8.

oTMETIM TOT FAKT, ^TO, ESLI NA WEKTORAH ~a	~
	I b POSTROITX

PARALLELOGRAMM, TO W \TOM PARALLELOGRAMME WEKTOR DIAGONALI, WYHODQ]EJ IZ OB]EGO NA^ALA WEKTOROW-STORON, QWLQETSQ SUMMOJ \TIH WEKTOROW, A WEKTOR DRUGOJ DIAGONALI ; RAZNOSTX@ WEKTOROW STORON. (rIS. 9.)

3. uMNOVENIE WEKTORA NA ^ISLO. pROIZWEDENIEM WEKTORA ~a

NA ^ISLO NAZYWAETSQ WEKTOR

	~
	b = ~a
DLINA KOTOROGO W j j	RAZ BOLX[E DLINY WEKTORA ~a A NAPRAWLENIE
SOWPADAET S NAPRAWLENIEM WEKTORA ~a ESLI > 0 I PROTIWOPOLOVNO
NAPRAWLENI@ WEKTORA	~a ESLI < 0:

33

		tAKIM OBRAZOM, W REZULXTATE UMNOVENIQ WEKTORA
		NA ^ISLO POLU^AETSQ WEKTOR, KOLLINEARNYJ DAN-
		NOMU. (rIS. 10.) pO\TOMU DWA KOLLINEARNYH WEK-
		TORA SWQZANY SOOTNO[ENIEM
	rIS. 10.	~
		b = ~a:
4.		~
	lINEJNOJ KOMBINACIEJ WEKTOROW ~a I b NAZYWAETSQ WEKTOR
~c OPREDELQEMYJ RAWENSTWOM
		~
		~c = ~a + b:

gEOMETRI^ESKI TAKOJ WEKTOR QWLQETSQ DIAGONALX@ PARALLELOGRAM-
~						~
			~a	I		b POLU^ENNYH "RASTQVE-
MA, POSTROENNOGO NA WEKTORAH
NIEM" WEKTOROW ~a I b	W SOOTWETSTWU@]EE ^ISLO RAZ. (rIS. 11.)

rIS. 11. rIS. 12.

	~	~c BUDET WEKTOR
lINEJNOJ KOMBINACIEJ TREH WEKTOROW ~a b I
~	~
d = ~a + b + ~c

KOTORYJ QWLQETSQ DIAGONALX@ PARALLELEPIPEDA, POSTROENNOGO NA WEK-
~
TORAH ~a b I ~c: (rIS. 12.)
2.1.3. bAZIS WEKTORNOGO PROSTRANSTWA
sOWOKUPNOSTX n WEKTOROW	~a1 ~a2 : : : ~an = 0 NAZYWAETSQ L I N
E J N O Z A W I S I M O J,	ESLI KAKOJ-LIBO WEKTOR SISTEMY MOVNO

PREDSTAWITX KAK LINEJNU@ KOMBINACI@ OSTALXNYH, T.E, K PRIMERU,

~an = 1~a1 + 2~a2 + : : : + n;1~an;1

uSLOWIE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI:

a)DLQ SISTEMY IZ 2-H WEKTOROW:

b)DLQ SISTEMY IZ 3-H WEKTOROW:

c)DLQ SISTEMY IZ 4-H WEKTOROW:

~

~a = b ~

~a = 1b + 2~c

~ ~

d = 1~a + 2b + 3~c:

34

sISTEMA WEKTOROW NAZYWAETSQ LINEJNO NEZAWISIMOJ, ESLI NI ODIN IZ WEKTOROW SISTEMY NE MOVET BYTX PREDSTAWLEN W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII OSTALXNYH.

tAKIM OBRAZOM MY PODHODIM K ODNOMU IZ WAVNEJ[IH PONQTIJ WEK- TORNOJ ALGEBRY ; K PONQTI@ BAZISA.

r A Z M E R N O S T X @ SOWOKUPNOSTI WEKTOROW (WEKTORNOGO PRO- STRANSTWA) NAZYWAETSQ MAKSIMALXNOE ^ISLO LINEJNO-NEZAWISIMYH WEK- TOROW \TOJ SOWOKUPNOSTI.

b A Z I S O M SOWOKUPNOSTI WEKTOROW NAZYWAETSQ L@BAQ SISTEMA POPARNO LINEJNO-NEZAWISIMYH WEKTOROW, KOLI^ESTWO KOTORYH RAWNO RAZMERNOSTI SOWOKUPNOSTI.

w PROSTRANSTWE KOLLINEARNYH WEKTOROW, RAZMERNOSTX KOTOROGO

RAWNA 1,	BAZISNYM MOVET SLUVITX L@BOJ NENULEWOJ WEKTOR. eSLI
	~	~

~a BAZISNYJ, TO DLQ L@BOGO b SPRAWEDLIWO b = ~a:

w PROSTRANSTWE KOMPLANARNYH WEKTOROW, RAZMERNOSTX KOTOROGO RAWNA 2, BAZISNYM MOVET SLUVITX L@BAQ PARA NEKOLLINEARNYH WEK-

TOROW. eSLI ~a ~b BAZISNYE, TO DLQ L@BOGO TRETXEGO WEKTORA \TOGO

~

PROSTRANSTWA ~c SPRAWEDLIWO~= 1~a + 2b:

w TREHMERNOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE BAZISOM MOVET SLUVITX

L@BAQ TROJKA NEKOMPLANARNYH WEKTOROW eSLI WETORY ~ QWLQ

. ~a b ~c -

@TSQ BAZISNYMI, TO DLQ L@BOGO WEKTORA DANNOJ SOWOKUPNOSTI SPRA- WEDLIWO RAWENSTWO

~	~
d = 1~a + 2b + 3~c:

pOSLEDNEE RAWENSTWO (A TAKVE I PREDYDU]IE) NAZYWAETSQ RAZLO-
~	~
VENIEM WEKTORA d PO BAZISU ~a	b ~c.
~ISLA 1 2 3 -KO\FFICIENTY LINEJNOJ KOMBINACII - NAZYWA-
~	W \TOM BAZISE.
@TSQ KOORDINATAMI WEKTORA d

oTMETIM, ^TO BAZISOW W PROSTRANSTWE MOVNO WYBRATX BESKONE^- NOE MNOVESTWO, NO, ESLI BAZIS WYBRAN, TO RAZLOVENIE WEKTORA W \TOM BAZISE WSEGDA QWLQETSQ EDINSTWENNYM.

35

2.1.4. pROEKCIQ WEKTORA NA OSX

o P R E D E L E N I E. pROEKCIEJ WEKTORA ;!AB				NA OSX l NAZYWA-
ETSQ DLINA NAPRAWLENNOGO OTREZKA	0	0	NA \TOJ OSI, WZQTAQ SO
	A;;!B
0	0	SOWPADAET S NAPRAWLENIEM
ZNAKOM "PL@S," ESLI NAPRAWLENIE A;;!B
OSI l I SO ZNAKOM "MINUS", ESLI NAPRAWLENIE				0	0	PROTIWOPO-
				A;;!B

LOVNO NAPRAWLENI@ OSI l: pROEKCIQ OBOZNA^AETSQ prl;!AB:

dLQ POSTROENIQ PROEKCII WEKTORA NUVNO OPUS TITX PERPENDIKULQRY IZ TO^EK NA^ALA I KONCA WEKTORA NA \TU OSX. pOLU^IM NA OSI WEKTOR, KO TORYJ, KAK WIDNO IZ RISUNKA 13, MOVET

rIS. 13.

SOWPADATX PO NAPRAWLENI@ S NAPRAWLENIEM OSI, A MOVET IMETX PRO- TIWOPOLOVNOE NAPRAWLENIE. |TO ZAWISIT OT TOGO, OSTRYJ ILI TUPOJ UGOL OBRAZUET WEKTOR S NAPRAWLENIEM OSI (rIS. 13.) mOVNO WY^IS- LITX WELI^INU PROEKCII, ZNAQ DLINU WEKTORA ;!AB I UGOL, KOTORYJ

\TOT WEKTOR OBRAZUET S OSX@.

prl;!AB = j ;!AB j cos ':

eSLI UGOL ' OSTRYJ, cos ' > 0 I PROEKCIQ POLOVITELXNAQ, ESLI UGOL ' TUPOJ, cos ' < 0 I PROEKCIQ OTRICATELXNAQ.

CWOJSTWA PROEKCIJ.

1.rAWNYE WEKTORY IME@T RAWNYE PROEKCII.

2.pROEKCIQ SUMMY WEKTOROW NA ODNO I TO VE NAPRAWLENIE RAWNA SUMME PROEKCIJ KAVDOGO WEKTORA NA \TO NAPRAWLENIE

~	~
prl(~a + b + ~c) = prl~a+prlb+prl~c:

3. pRI UMNOVENII WEKTORA NA ^ISLO EGO PROEKCIQ UMNOVAETSQ NA \TO ^ISLO prl( ~a) = prl~a:

2.1.5. dEKARTOWYJ BAZIS

dEKARTOW BAZIS W PROSTRANSTWE ESTX TROJKA WZAIMNO-PERPENDIKULQRNYH
~	~	~		NAPRAWLQ@]I-
EDINI^NYH WEKTOROW i	j	k. sISTEMA KOORDINAT,
		~	~	~
MI WEKTORAMI (ORTAMI)OSEJ KOTOROJ QWLQ@TSQ i			j	k NAZYWAETSQ

DEKARTOWOJ PRQMOUGOLXNOJ SISTEMOJ KOORDINAT..

36

wSQKIJ WEKTOR W PROSTRANSTWE MOVET BYTX RAZLOVEN PO BAZISNYM WEKTORAM

~	~	~
~a = xi	+ yj + zk

~ISLA fx y z g; ESTX DEKARTOWY KOORDINATY WEKTORA I , ODNOWRE- MENNO, PROEKCIQMI WEKTORA NA SOOTWETSTWU@]IE OSI KOORDINAT.

~ ~ ~

pI[UT ~a = xi + yj + zk ILI ~a = fx y zg rAZLOVENIE WEKTORA W DEKARTOWOM BAZISE NA PLOSKOSTI:

~	~
~a = xi	+ yj, ILI ~a = fx yg

rIS. 15.

rIS. 14.

r A D I U S O M - W E K T O R O M ;;!OM TO^KI M (x y z) NAZYWAETSQ

WEKTOR, IDU]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT W \TU TO^KU. kOORDINATAMI

RADIUS-WEKTORA QWLQ@TSQ KOORDINATY TO^KI M. OM = xi + yj + zk:

;;! ~ ~ ~

2.1.6. lINEJNYE OPERACII W KOORDINATNOJ FORME

wSE LINEJNYE OPERACII NAD WEKTORAMI SWODQTSQ K TO^NO TAKIM VE LINEJNYM OPERACIQM NAD IH SOOTWETSTWU@]IMI KOORDINATAMI.

~

pUSTX DANY DWA WEKTORA: ~a = fx1 y1 z1g b = fx2 y2 z2g: rAWNYE WEKTORY IME@T RAWNYE ODNOIMENNYE KOORDINATY. eSLI

	~
~a = fx1 y1 z1g = b = fx2 y2 z2g TO x1 = x2 y1 = y2 z1 = z2:
1.		:	~c = ~a + b = fx1 + x2 y1 + y2 z1 + z2g:
	sUMMA WEKTOROW		~

37

2. P		:	~c = ~a ; b = fx1	; x2 y1 ; y2 z1	; z2g:
	AZNOSTX WEKTOROW		~

iTAK, PRI SLOVENII (WY^ITANII) WEKTOROW, ZADANNYH SWOIMI KO- ORDINATAMI, NUVNO SLOVITX (WY^ESTX) SOOTWETSTWU@]IE KOORDINA- TY WEKTORoW.

sLEDSTWIE. kOORDINATY WEKTORA ;!AB ZADANNOGO KOORDINATAMI TO^EK A(x1 y1 z1) ; NA^ALA I B(x2 y2 z2) ; KONCA WEKTORA, RAWNY RAZNOSTI ODNOIMENNYH KOORDINAT KONE^NOJ I NA^ALXNOJ TO^EK. (rIS. 16.)

dEJSTWITELXNO, KAK WIDNO IZ RISUNKA, WEK- TOR ;!AB MOVNO ZAPISATX W WIDE RAZNOSTI RADIUS-

WEKTOROW TO^EK A I	B: kOORDINATY RADIUS-
WEKTORA I TO^KI SOWPADA@T, PO\TOMU		z2 ; z1g:
;!AB = ;!OB ; OA = fx2	; x1 y2 ; y1
~			rIS. 16.

3. pROIZWEDENIE WEKTORA NA ^ISLO:

~

b = ~a = fx1 y1 z1g = f x1 y1 z1g:

pRI UMNOVENII WEKTORA NA ^ISLO WSE EGO KOORDINATY UMNOVA@T- SQ NA \TO ^ISLO.

sLEDSTWIE. pOLU^IM USLOWIE KOLLINEARNOSTI WEKTOROW W KOOR-

DINATNOJ FORME.	~
pUSTX WEKTOR	b = ~a k ~a. kOORDINATY WEKTORA
~
b = fx2 y2 z2g = f x1 y1 z1g:
pRIRAWNIWAQ ODNOIMENNYE KOORDINATY, POLU^IM
x2 = x1 y2 = y1 z2 = z1
	ILI	x2	=	y2	=	z2	= :
		x1		y1		z1

wYWOD: KOORDINATY KOLLINEARNYH WEKTOROW PROPORCIONALXNY.

mNOVESTWO WSEH WEKTOROW, KOLLINEARNYH DANNOMU ~a MOVNO ZA- PISATX

~a = fx y zg:

38

4. lINEJNAQ KOMBINACIQ WEKTOROW

kOORDINATY WEKTORA, QWLQ@]EGOSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ NESKOLX- KIH WEKTOROW, BUDUT RAWNY LINEJNOJ KOMBINACII ODNOIMENNYH KO- ORDINAT \TIH WEKTOROW. t.E. ZAPISX

		~			~
		d = 1~a + 2b + 3~c
W KOORDINATNOJ FORME BUDET IMETX WID
		8 x4 = 1x1 + 2x2 + 3x3
		> y4 = 1y1 + 2y2 + 3y3 :
		<		+ 2z2 + 3z3
		> z4 = 1z1
tAKIM OBRAZOM,		:
	ESLI W TREHMERNOM WEKTORNOM PROSTRANSTWE ZADAN
BAZIS WEKTOROW	~a	~				2 3g		~
		b I ~c TO KOORDINATY f 1						WEKTORA d W
\TOM BAZISE NAJDUTSQ IZ RE[ENIQ \TOJ SISTEMY.
dLQ PLOSKOGO SLU^AQ
~c =		~		8	x3 = 1x1 +	2x2	:
		1~a + 2b	)
				< y3 = 1y1 + 2y2

:

2.1.7. dLINA WEKTORA. rASSTOQNIE MEVDU DWUMQ TO^KAMI

eSLI WEKTOR ZADAN W DEKARTOWOJ SISTEME KOORDINAT, TO EGO DLINA NAHODITSQ PO TEOREME pIFAGORA.

w PROSTRANSTWE ( RIS. 14)

~a = fx y zg j ~a j = qx2 + y2 + z2:

nA PLOSKOSTI (RIS. 15)
			j ~a j = q		:
	~a = fx yg			x2 + y2
rASSTOQNIE	AB MEVDU DWUMQ TO^KAMI A(x1				y1 z1)		I
B(x2 y2 z2)	MOVNO RASSMATRIWATX KAK DLINU WEKTORA						;!AB
;!AB = f(x2 ; x1) (y2 ; y1) (z2 ; z1) g					(	:16)):
						rIS
AB = j ;!AB j = q								:
		(x2 ; x1)2 + (y2 ; y1)2 + (z2 ; z1)2							39

OY OZ

2.1.8. oRT WEKTORA. nAPRAWLQ@]IE KOSINUSY WEKTORA

o P R E D E L E N I E. oRTOM				~o
				OSI l NAZYWAETSQ WEKTOR l IME@-
]IJ EDINI^NU@ DLINU I NAPRAWLENIE, SOWPADA@]EE S NAPRAWLENIEM
OSI.
o P R E D E L E N I E.				oRTOM WEKTORA ~a NAZYWAETSQ WEK-
TOR	~ao NAPRAWLENIE KOTOROGO SOWPADAET S NAPRAWLENIEM WEKTO-
RA ~a	I DLINA RAWNA 1. (rIS. 17.)
~ao k ~a		j ~ao j = 1:
mOVNO		~a	ZAPISATX,	rIS. 17.
	~ao =
^TO			:
		j ~a j

~TOBY NAJTI KOORDINATY ORTA, NUVNO RAZDELITX KOORDINATY WEKTO- RA NA EGO DLINU:

~ao =		~a			= 8	x		y
		~a						~a
					< ~a
x	j		j		:j jy			j	j

~ao = (px2 + y2 + z2 px2 + y2 + z2

z 9 j~aj=

z

px2 + y2 + z2 ) :

kAK IZWESTNO, DLQ ZADANIQ WEKTORA NUVNO ZNATX EGO DLINU I NA- PRAWLENIE. kAK NAHODITSQ DLINA WEKTORA W DEKARTOWOJ SISTEME KOOR- DINAT MY POKAZALI. nAPRAWLENIE WEKTORA ZADAETSQ UGLAMI KO- TORYE WEKTOR OBRAZUET S OSQMI KOORDINAT OX

SOOTWETSTWENNO. zNAQ KOORDINATY WEKTORA, MOVNO NAJTI KOSINUSY \TIH UGLOW, KOTORYE NAZYWA@TSQ NAPRAWLQ@]IMI KOSINU-

SAMI WEKTORA

cos =

x

cos =

y

cos =

z

:

j~aj

j~aj

j~aj

cos = p

x

cos = p

y

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2

z

cos = px2 + y2 + z2 :

zNAQ DLINU WEKTORA I UGLY, KOTORYE ON OBRAZUET S OSQMI KOORDINAT, MOVNO NAJTI KOORDINATY WEKTORA.

40

OSI. nAPRIMER, WEKTOR

wIDNO, ^TO WELI^INY NAPRAWLQ@]IH KOSINUSOW QWLQ@TSQ KOORDI- NATAMI ORTA DANNOGO WEKTORA

~ao = fcos cos cos g:

CUMMA KWADRATOW NAPRAWLQ@]IH KOSINUSOW RAWNA EDINICE cos2 + cos2 + cos2 = 1:

|TO OSNOWNOE SWOJSTWO NAPRAWLQ@]IH KOSINUSOW. iSPOLXZUQ \TO SWOJSTWO, MOVNO, ZNAQ UGLY, KOTORYE WEKTOR OBRAZUET S DWUMQ IZ OSEJ KOORDINAT, OPREDELITX UGOL, KOTORYJ ON OBRAZUET S TRETXEJ OSX@. pO KOORDINATAM WEKTORA MOVNO, NE WY^ISLQQ NAPRAWLQ@]IH KO- SINUSOW, SRAZU OPREDELITX, OSTRYJ ILI TUPOJ UGOL \TOT WEKTOR OB-

RAZUET S SOOTWETSTWU@]EJ KOORDINATNOJ OSX@. nAPRIMER,

WEKTOR f;2 3 ;1g OBRAZUET TUPYE UGLY S OSQMI OX I OZ I OSTRYJ ; S OSX@ OY:

eSLI KAKAQ-LIBO IZ KOORDINAT WEKTORA RAWNA NUL@, TO \TO OZNA- ^AET, ^TO WEKTOR PERPENDIKULQREN SOOTWETSTWU@]EJ KOORDINATNOJ

f1 0 ;2g PERPENDIKULQREN OSI OY: rASSMOTRIM ZADA^I WEKTORNOJ ALGEBRY, SWQZANNYE S LINEJNYMI OPE- RACIQMI NAD WEKTORAMI.

2.1.9. zADA^I

zADA^A 1. dANY DWE TO^KI A(1 ;4 7) I B(4 2 5). nAJTI DLINU I NAPRAWLENIE WEKTORA ;!AB:

rE[ENIE. dLQ RE[ENIQ ZADA^I NEOBHODIMO ZNATX KOORDINATY WEK-

TORA, SOEDINQ@]EGO TO^KI A I B. oNI,

KAK IZWESTNO, RAWNY RAZ-

NOSTI SOOTWETSTWU@]IH KOORDINAT KONE^NOJ TO^KI B

I NA^ALXNOJ

TO^KI A:

;!AB = fx y zg = f4 ; 1 2 ; (;4) 5

; 7g = f3 6 ;2g:

dLINA WEKTORA

= p

;!AB

= q

= q

= 7:

x2

+ y2

+ z2

32 + 62 + (;2)2

49

nAPRAWLENIE WEKTORA MOVNO OPREDeLITX, WY^ISLIW NAPRAWLQ@]IE

KOSINUSY WEKTORA:

x

3

y

6

z

2

cos =

=

7

cos =

= 7

cos =

= ;7

:

j;!j

j;!j

j;!j

AB

AB

AB

41