Математика_Семестр2_РГР_Ряды

93

Решение. По формулам тригонометрии имеем:

cos2 3x	1 cos6x		1		1	cos6x .
2		2		2

Пользуясь разложением							III, где t 6x, получим
	2		1		1			6x 2	n		6x 2n
cos		3x				1			... 1
			2		2			2!			2n !

...

6			2	n		62n x2n
1		x		... 1			...,	R .
	2 2!					2 2n !
Пример 36. Разложить по степеням x функцию f x arcctgx .
								1	можно рассматри-
Решение. Производную этой функции f x								1 x2

вать как сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q x2 (разложение V, p 1 и t x2 )

1

2

4

n 1

2n

x 1;1 , R 1.

1 x

x

... 1

x

...

,

1 x2

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до x, где

x

1.

Учитывая, что

x

1

dt arcctgt|x

arcctg x arcctg0 arcctgx

1 t2

0

2

0

и

x

t

3

t

2n 1

[ 1 t2 ( 1)n 1 t2n ) dt ( t

( 1)n 1

)|0x

2n 1

0

3

x3

n 1

x2n 1

x

... 1

...,

3

2n 1

получим

x3

n 1

x2n 1

arcctgx

x

... 1

..., x 1;1,(R 1).

2

3

2n 1

94

Принимая во внимание что						(arcctgx)				и	arctg0 0, сразу
			(arctgx)
же выпишем разложение для			f x arctgx:
	x3		n		x2n 1			x 1;1,(R 1)
arctgx x		... 1					...,
	3
					2n 1

Кстати, суммируя два последних ряда, получим известную формулу

тригонометрии arctgx arcctgx . 2

Пример 37. Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию

f x ln 2x2 5x 2 .

Решение. Сначала сделаем следующие преобразования:

ln 2x	2	5x 2 ln			x				x
				2 1			1 2x	ln2 ln 1			ln 1 2x .
					2				2

Теперь можно воспользоваться разложением IV, заменив в нем t соот-

ветственно на								x				и 2x:
							2
ln 2x	2	5x 2												x 1 x2																		n 1	1					x				n
							ln2																		... 1																			...
															2					2			22											n
																																						2
			1																						n										1 2					2					1 2	4
2x					2x 2			... 1 n 1														2x							... =ln2														x				x2 ...
																																													2 22
		2																					n													2
	n 1				1 22n								n											1					1				1
1										x				...,			x										;				,	R			.
						n 2n																		2					2				2
		Разложение справедливо только для																																	x					1			, т.к. в этом случае
одновременно								x				1 и				2x			1.																					2
								2
Пример 38. Вычислить sin1 с точностью до 0,001.

															95
Решение. Подставляя x 1 в формулу II, получим
sin1 1			1		1		1				1		( 1)n	1
3!					5! 7!							n!		(2n 1)!
Так как	1	0,008 0,001,							а	1		0,0002 0,001,			то для нахождения
5!									7!

sin1 с точностью до 0,001 достаточно подсчитать сумму первых трех

членов ряда: sin1 1	1		1	0,842. Ошибка вычислений не превос-
	3!		5!

ходит величину первого отброшенного члена, т. е. меньше чем 0,0002.

Вычисленное на микрокалькуляторе значение sin1 примерно равно

0,84147.

1

4

Пример 39. Найти приближенное значение интеграла e x2 dx с точ-

0

ностью 10 4 .

Решение. Как известно, этот интеграл нельзя выразить через элемен-

тарные функции. Разложим подинтегральную функцию в степенной ряд. Для этого воспользуемся разложением I, полагая t x2 :

e x2

1 x2

x4

x6

.. 1 n

x2n

...,

x ; ; R .

n!

Значит

2!

3!

1

1

2n

4

4

x

e x2 dx [1 x2 ( 1)n

]dx

0

0

n!

x

3

x

2n 1

1

(x

( 1)n

)|

4

(2n 1) n!

3

0

96

	1		1		1	n		1
						... 1			...
	4		3 43		5 2!45			2n 1 n!42n 1

Полученный ряд знакочередующийся. Поэтому для приближен-

ного значения интеграла абсолютная погрешность будет меньше, чем модуль первого отброшенного члена. Уже

1 7 3! 47 0,0000014 0,0001,

поэтому достаточно найти сумму только трех первых членов. Так как

0,250000 0,005208 + 0,000098 = 0,244890, то с точностью 0,0001

1

4

e x2 dx 0,2449.

0

Кстати, попутно мы нашли, что первообразная F(x) функции e x2 есть сумма степенного ряда:

F(x)=С x

x3

x5

x7

( 1)n

x2n 1

7 3!

3 5 2!

(2n 1) n!

Пример 40. Найти одну из первообразных функции

f (x)

sin x

.

x

Решение. Искомая первообразная есть интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

x

sint

x

1

t3

t5

n

t2n 1

dt =

(t

... 1

...)dt =

t

t

0

0

3! 5!

2n 1 !

x3

x5

n

x2n 1

= x

... 1

...,

R .

3 3!

5 5!

2n 1 2n 1 !

97

Этот интеграл тоже не является элементарной функцией. Поэтому пришлось, воспользовавшись табличным разложением II, раскладывать в степенной ряд подынтегральную функцию, а затем почленно проин-

	x	sint
	тегрировать этот ряд. Функцию		dt называют интегральным сину-
	0	t

сом и обозначают six . Таким образом, мы получили разложение в ряд Маклорена функции six .

УПРАЖНЕНИЯ

Используя табличные разложения, а также возможность по-

членного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, раз-

ложить функции в ряд по степеням x x0 и указать области сходимо-

сти полученных рядов:

1.			x					,	x	0.
		2 3x							0
4.		1		,			x		2 .
		x2					0
7.	sin2 2x,								x		0.
									0
10.		xe2x x2							, x		1
									0
13.		ch3x,							x0 0.
16.	1						x 1.
		3 x					0

	2.		x	,		x 0.
		9 x2
					0
	5.	1				, x 0.
			9 x2		0

8. sin 2xcos2x, x0 0.

11.	e 2x2		, x		0.
			0
14.	arccosx,				x0 0.
	x sint2
17.				dt , x 0.
	t
					0
	0

3

3. 1 x 2x2 , x0 0.

1

6. x2 6x 5, x0 3.

9. ln(x2 6x 12), x0 3.

12. ln(x 1 x2 ) , x0 0

15. ln(1 x 2x2) , x0 0

	18.	xcosx sin x	,	x 0.
		x2
				0

98

2.3. Ряды Фурье.

Тригонометрические ряды.

Ксожалению далеко не каждую функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда. Более того, аналитическая структура степенного ряда не всегда позволяет обнаружить интерес-

ные, порой даже очевидные, свойства суммы такого ряда. Так, из раз-

ложения sin x по степеням x:

	x3		x5	n	x2n 1
sin x x				... 1		...,
	3!		5!		2n 1 !

трудно обнаружить, что синус есть ограниченная периодическая функ-

ция. Поэтому естественно, что кроме степенных рядов в инженерной практике используются и другие функциональные ряды, наиболее при-

способленные для решения каких то конкретных задач.

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодиче-

скими явлениями − явлениями, которые воспроизводятся в прежнем ви-

де через определенный промежуток T , называемым периодом. Такие явления представляют периодические функции, характеризуемые равен-

ством f (x T) f (x). Простейшими периодическими функциями яв-

ляются тригонометрические функции sin x и cosx, имеющие период

2 . К простейшим периодическим явлениям относят простое гармо-

ническое колебание, описываемое функцией

y Asin( t 0) .

99

Здесь t 0, A − амплитуда колебания, − частота, 0 − начальная фаза. Функцию такого вида (и ее график) называют простой гармони-

кой. Она имеет период T 2 .

Учитывая что

Asin( t 0 ) Acos tsin 0 Asin tcos 0 acos t bsin t ,

где a Asin 0 , b Acos 0 , отметим: простое гармоническое колеба-

ние можно задать и с помощью функций cos t и sin t .

Сумма (наложение) простых гармоник порождает сложное гар-

моническое колебание, представляемое некой периодической функцией.

Теперь естественно поставить «обратный» вопрос: можно ли,

вообще говоря, произвольную периодическую функцию (t) периода

T представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного чис-

ла простых гармоник? Как увидим ниже, по отношению к довольно широкому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ. Для функций из этого класса имеет место разложение в триго-

нометрический ряд

		a0			2 nt			2 nt
	(t)		(an cos			bn sin			),
	2			n 1	T			T
	причем a0, an,bn			суть постоянные,			принимающие для каждой такой
	функции свои конкретные значения.

Геометрически это означает, что в этом случае график периоди-

ческой функции есть результат наложения ряда простых гармоник, т. е.

сложное гармоническое колебание, характеризуемое функцией (t) ,

100

разлагается на отдельные простые гармонические колебания. Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гар-

монического анализа.

Если за независимую переменную выбрать

x t 2 t , T

то после замены переменной получим периодическую функцию f (x)

со стандартным периодом 2 . Выписанный выше тригонометрический ряд примет более простой вид:

		a0
	f (x)		(an cosnx bn sinnx) ,	(2.1)
	2		n 1

в таком виде далее мы и будем его рассматривать65.

Тригонометрические ряды Фурье.

Пусть периодическая функция y f (x), имеющая период 2 ,

есть сумма некоторого равномерно сходящегося тригонометрического ряда, т. е. справедливо равенство (2.1). Отметим, что согласно признаку Вейерштрасса тригонометрический ряд будет равномерно сходиться в любом промежутке, если существует конечный предел

lim (an bn ).

n n 1

65 От этого разложения при необходимости легко перейти к разложению общего вида с помощью обратной замены переменной.

101

Так как наш ряд сходится равномерно, то его можно почленно

интегрировать66 в пределах от

до :

f (x)dx

a0

dx

(an

cosnxdx bn sinnxdx).

2

n 1

Учитывая, что

sinnx

cosnx

cosnxdx

0 и

sinnxdx

0, (2.2)

n

n

имеем

1

a0

f (x)dx .

(2.3)

Умножим теперь равенство (2.1) слева и справа на cosmx . Получив-

шийся при этом ряд равномерно сходится в любом промежутке67, по-

этому

f (x)cosmxdx		a0	cosmxdx (an cosnxcosmxdx bn sinnxcosmxdx) .
		2
			n 1

Из всех интегралов в правой части последнего равенства не равен нулю

только один интеграл68:

	2		1		1		sin2mx
cos		mxdx		(1 cos2mx)dx		(x		)	,
			2		2		2m

66Смотри теорему 15 на стр. 63.

67Согласно признаку Вейерштрасса, учитывая, что косинус ограниченная функция.

68Это тот член ряда, для которого n m .

102

ибо остальные интегралы с помощью известных тригонометрических соотношений

cosnxcosmx 1(cos(n m)x cos(n m)x) , 2

sinnxcosmx 1(sin(n m)x sin(n m)x) 2

сводятся к рассмотренным выше интегралам (2.2), которые, как было показано, равны нулю. В результате получим

	1
am		f (x)cosmxdx	m 1,2,3 .	(2.4)

Подобным же образом, только умножив равенство (2.1) уже не на cosmx , а на sin mx, найдем

1
bm			f (x)sinmxdx,	m 1,2,3 .	(2.5)
Формулы (2.3), (2.4), (2.5) называют формулами Эйлера-Фурье,
а величины am			и bm , определяемые этими формулами, принято назы-

вать коэффициентами Фурье функции f (x).

Замечание. Для любой интегрируемой периодической функции f (x)

с периодом T интеграл от этой функции, взятый на некотором про-

межутке, длина которого равна T , не зависит от выбора нижнего

предела интегрирования, т.е. при любом a

a T T

f (x)dx f (x)dx .

a 0