Математика_Семестр2_РГР_Ряды

73

Неотрицательное число R , о котором говорится выше, называ-

ют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал R,R — его

интервалом сходимости. У степенного ряда, центр которого x0 0,

интервал сходимости имеет вид x0 R;x0 R .

Таким образом, зная R , мы знаем и промежуток сходимости степенного ряда с точностью до концевых точек, и наоборот.

На практике радиус сходимости степенного ряда чаще всего оп-

ределяют с помощью обобщенных признаков Даламбера или Коши

(теорема 11). Очевидно, что предел q(x), полученный в результате применения этих признаков, при x R должен равняться 1: q(R) 1.

Когда все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторо-

го номера, отличны от нуля48 и существуют конечные пределы

an 1

lim n

q 0 ,

q lim

или q

an

n

an

n

1

то радиус сходимости можно находить по формуле R

. Это следует

q

из обобщенных признаков Даламбера и Коши. Если q 0

или q ,

то соответственно R или R 0.

Исследуем на сходимость степенные ряды.

n

Пример 31.

x

.

n

n 1

n 5

48 Обязательное условие, его нельзя игнорировать. Если это условие не выполнено, то для определения радиуса сходимости следует непосредственно воспользоваться обобщенным признаком Даламбера или Коши.

74

1

Решение. Все коэффициенты этого ряда an 0, поэтому n 5n

1

1

lim

1

1

q lim n

a

n

lim n

n 5n

n

n

5 n n1n

5

и, следовательно,

R

1

5. Интервал сходимости ряда 5;5 . Иссле-

q

дуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При x 5 по-

	лучим числовой знакочередующийся ряд		1 n	, который сходится
		n 1	n
						1
	условно. При x 5 получим расходящийся числовой ряд						. По-
					n 1	n

этому область сходимости данного ряда есть промежуток 5;5 , при-

чем на интервале 5;5						ряд абсолютно сходится, а в точке		x 5 —
условно.				2 x2n
	n
Пример 32.							.
						n
n 1	n 1			2
Решение. Здесь мы не вправе применять формулу R q 1 ,								т.к. ряд не

содержит нечетных степеней x a2n 1 0 . Интервал сходимости най-

дем с помощью обобщенного признака Коши:

n

2 x2n

x2

n

2

x2

n

un

x

lim n

lim n

lim

.

2n

n

n

n 1

n 2

n 1

2

Из условия R2 1 следует, что радиус сходимости ряда равен49

2

R 2 , а его интервал сходимости 2; 2 . Подставляя в исходный

49 Если x2 2, то предел меньше единицы и в этом случае ряд сходится. Пре-

дел больше единицы, если x2 2, и при таких значениях x ряд расходится.

75

n

2

ряд числа x

2 и x

2 ., получим ряд

. Этот ряд рас-

n 1 n 1

ходится по необходимому признаку, так как

n

2

1 0. Об-

lim

n n 1

ласть сходимости ряда есть интервал

, где он абсолютно схо-

2;

2

дится.

n

Пример 33.

x 3

.

2

n 1

n

Решение. Здесь

a

1

и x

3.

Так как

lim

n2

1, то

n

n2

0

n

n 1 2

R

1

1 и ряд абсолютно сходится в интервале

4; 2 .

На концах

q

интервала сходимости, т.е.

в точках x 4

и

x 2 получаем абсо-

1 n

1

лютно сходящиеся ряды, соответственно

и

. Итак, дан-

n

2

n

2

n 1

n 1

ный ряд абсолютно сходится при x 4; 2 и расходится вне этого промежутка.

Свойства суммы степенного ряда.

Для степенного ряда справедлива теорема.

Теорема 18. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке

a;b 50, целиком лежащем внутри его интервала сходимости.

50 Обратите внимание, здесь речь не идет обо всей области сходимости ряда.

76

► Пусть R — радиус сходимости и x0 max{|a|; |b|}. Очевидно, что x0 0 и принадлежит области сходимости. Для всех x, удовлетворяю-

щих неравенству | x| x0 , а значит и для x [a;b], имеем при любом n

|anxn | |an | x0n . Так как положительный ряд |an | x0n сходится, то по

n 0

признаку Вейерштрасса (теорема 13) наш ряд сходится равномерно на отрезке [ x0;x0 ], а, следовательно, и на отрезке [a;b]. ◄

Поэтому, согласно теоремам 14 и 15 имеем:

Теорема 19. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке ин-

тервала сходимости.

Теорема 20. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любо-

му замкнутому промежутку a;b , целиком лежащему внутри его ин-

тервала сходимости.

Если степенной ряд проинтегрировать почленно по какому-то конкретному промежутку a;b , то в результате получится числовой ряд, так как определенные интегралы по a;b — числа. Можно интег-

рировать степенной ряд и по промежутку с фиксированным нижним пределом интегрирования и с переменным верхним пределом интегри-

рования, например, по промежутку 0;x , где | x| R. Из интегрального исчисления известно51, что такое интегрирование дает одну из перво-

образных подынтегрального выражения. При разных значениях нижне-

го предела интегрирования появятся разные первообразные. Как прави-

51 Теорема о существовании первообразной непрерывной функции.

77

ло, в качестве нижнего предела интегрирования выбирают точку x 0 .

Тогда

x	an t	n		x		an x	n		an x	n
an tndt								0			.
						n 1
0	n 1			0					n 1

Теорема 21. Степенной ряд в пределах его интервала сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз. При этом радиу-

сы сходимости всех рядов, полученных почленным дифференцировани-

ем исходного ряда, совпадают с радиусом сходимости исходного ряда.

► Пусть x — произвольная внутренняя точка интервала сходимости:

x ( R;R). Выберем	число		~	так,	чтобы выполнялось условие
			x
~		~n		сходится, поэтому по необходимому
| x| x R . Числовой ряд anx
	n 0
признаку сходимости	~n		0 и,		следовательно, последователь-
	lim anx
	n

ность членов ряда ограничена. Это означает, что существует такое чис-

ло M , что для всех членов ряда справедливо неравенство an~xn M .

Тогда для выбранного числа x можно записать

~n

n 1

nanx

n 1

n

anx

x

n

M

q

n 1

, где q

x

1.

~

~

~

~n 1

x

x

x

x

Справа — член сходящегося ряда52. Поэтому по второй теореме срав-

нения ряд a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1 , составленный из производ-

ных членов исходного ряда, в этой точке тоже сходится (и притом аб-

52 В чем легко убедиться, например, с помощью признака Даламбера.

78

солютно). Значит, он сходится во всех точках53, где сходится исходный ряд и, следовательно, R1 R. Здесь R1 — радиус получившегося ряда.

Поэтому ряд, составленный из производных членов исходного ряда,

равномерно сходится внутри его интервала сходимости (теорема 18).

Итак, все условия теоремы 16 выполнены, следовательно, степенной ряд можно почленно дифференцировать.

В то же время, интегрирование в пределах от 0 до x ряда, поя-

вившегося в результате дифференцирования, возвращает нас к исход-

ному ряду. Поэтому R R1 . Одновременно оба неравенства выполня-

ются, только если R=R1 . Таким образом, при дифференцировании ра-

диус сходимости не изменяется.

Почленно дифференцируя степенной ряд, получим ряд, кото-

рый тоже будет степенным рядом, а значит, его опять можно почленно дифференцировать. Итак, дифференцировать степенной ряд можно столько раз, сколько необходимо.◄

			anx	n 1
Замечание. Ряды anxn , nanxn 1		и			имеют один и тот же
n 0	n 1	n 0	n 1

радиус сходимости.

Степенные ряды, имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и

R2 , можно почленно складывать, вычитать, умножать. Радиус сходимо-

53 В точках расположенных внутри интервала сходимости

79

сти произведения, суммы и разности рядов есть число, равное, вообще говоря, меньшему числу54 из двух чисел R1 и R2 .

УПРАЖНЕНИЯ

Найти область сходимости степенного ряда.

xn

(n 3)2(x 1)2n 1

x 1 n

1.

2.

3.

n 1

n

n n

n2

3n 1

n 1

n 1

n 1

( 1)n x 4 n

x 6 3n

2n 3 n xn

4.

5.

6.

(4n 1)3n

(n 1)32n 1

3n 2 2n

n 1

n 1

n 1

2

2n 1

n

n

n

2n

n

(x 1)

( 1)

2

x 1

7.

8.

x 2

9. ( 1)n

(n 2)!

nln3(n 5)

n

n 1

n 1

n 1

n 5n xn

x 2 n

n 1 n xn

10.

11.

12.

(n

2

5)

n

n2

n

ln n

n

n 1

n 2

n 1

n 2

(n!)2(x 1)n

( 1)n x 4 n

x 3 3n

13.

14.

15.

(2n )!4

n

n 2 27n nln3 n

3 n2

n 1

n 1

16.

n!(x 3)n!

17.

( 1)n n(x 2)n

18. 3n2

xn2

n 1

n 1

n 1

(x 2)n2

(x 1)nn

xn2

19.

20.

21.

n

!4

n

n

n

n

n

n 1

n 1

n 1

54 Точнее, не меньше меньшего из этих двух чисел. Например, суммой двух рядов, соответствующие члены которых имеют противоположные знаки, будет нулевой ряд, а он сходится при всех значениях переменной.

80

Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

Степенные ряды широко используются в приложениях потому,

что с ними легко работать. Достаточно просто можно найти прибли-

женное значение суммы такого ряда, его производной или интеграла.

Причем, сделать это можно с любой точностью. Степенные ряды по-

лезны в приближенных вычислениях, при решении дифференциальных уравнений и во многих других случаях. До сих пор задача, которую не-

обходимо было решить, состояла в следующем: дан ряд — требуется исследовать его на сходимость и найти его сумму. Для практических приложений важна и задача, в каком то смысле для нее обратная: дана функция f x , нужно установить, может ли данная функция на задан-

ном промежутке являться суммой некоторого степенного ряда и как та-

кой ряд можно найти. Это одна из центральных задач, решаемых в тео-

рии степенных рядов.

Определение. Говорят, что функция f x разлагается в степенной ряд на промежутке G , если на этом промежутке такой степенной ряд схо-

дится и его сумма равна f x .

Рассмотрим функцию f x , бесконечное число раз дифферен-

цируемую на промежутке G . Пусть x0 G . Из дифференциального ис-

числения известно, что в этом случае справедлива формула Тейлора

f x Tn x Rn x ,

где Tn x многочлен Тейлора:

81

T x f x	0		f x0	x x	0	...	f n x0	x x	n ,
n			1!				n!	0

а Rn x остаточный член формулы Тейлора. Его можно записать, на-

пример, в форме Лагранжа:

			f n 1 c			n 1
	R	x			x x		.
			n 1!
	n					0

Здесь c- некоторая промежуточная точка, расположенная между точ-

ками x0 и x.

Коэффициенты Тейлора функции f x определяются форму-

лой

an f n x0 n!

и, если функция бесконечное число раз дифференцируема, находятся для всех n.

Определение. Степенной ряд

	f n x	0		n
f x0				x x0
	n!
n 1

называют рядом Тейлора для функции f x в окрестности точки x0 .

В случае x0 0 этот ряд еще называют рядом Маклорена.

Многочлен Тейлора Tn x представляет n-ю частичную сумму ряда Тейлора. Обозначая, как обычно, через S x сумму ряда, опреде-

ленную на области сходимости G , запишем:

S x Tn x rn x , x G .

82

Здесь rn x есть n-ый остаток ряда.

Теорема 22. Любой степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.

► Функция S x , являясь суммой степенного ряда, имеет производные всех порядков, и эти производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда. Последовательно выписывая производные

разных порядков и подставляя в найденные равенства x x0 ,							имеем
S(x0) a0 , S (x0) 1 a1,		S (x0) 2!a2 ,			S(n)(x0) n!an ,	,	откуда
	S	n x
следуют формулы an		0		. Это и означает, что наш степенной ряд
		n!

есть ряд Тейлора функции S x , т. е. своей суммы.◄

Теорема 23. Если суммы степенных рядов совпадают в некоторой ок-

рестности точки x x0 , то совпадают и все соответствующие ко-

эффициенты этих рядов.

► Действительно для обоих рядов в окрестности точки x x0 суммой служит одна и та же функция S x . По теореме 22 и тот и другой ряд будет рядом Тейлора для функции S x — отсюда и совпадение соот-

ветствующих коэффициентов. ◄

Эта теорема имеет принципиальное значение: если функция раз-

лагается в степенной ряд, то этим рядом может быть только ее ряд Тейлора.