Математика_Семестр2_РГР_Ряды

123

Исследовать на сходимость ряды

3n

2

4

n 1

5

2

22.1.

22.2.

n

cos

n

22.3. n2 (e

n5 1

1)

7

5

n 1

6n

3n

n 1

3 n8

n 1

nn

(

1

n 1

n 1)n

n(1 cos

)

22.4.

2

22.5.

n 1

(n!)

e

22.6.

n

n 1

n 1

ln 2n 1

n 1

7

1

n 1 n55n 1

n 3

n

22.7.

n 2

22.8. 1

n tg

22.9. ( 1)

n

7

n 1

n ln3 n

n 1

n 1

n

8

n 1

sin

2

n

n

2n

7

2n

23.1.

23.2.

23.3.

2

4n

9

3

n

3

ln

2

n

n 1

n 1

n 1

n 3

(2n -1)!

nn 1

ln(n 1) lnn

23.4.

23.5.

23.6.

n

(n 2)

7

n 1 2 5 8 (3n 1)

n 1 ln

n 2

lnn

n n 1

7

n 7

n 1

n

23.7.

23.8.

1

23.9. 1

4

(ln4)

n

3

5

nlnn

n

n 2

n 1

n 1

3n7 n 1

2 cos4n

5

n

24.1.

24.2.

24.3. n

sin 2

7

n

6

3

7 n4

n 1 4n

n 1

n 1

7n n!

1

n 1 n2

n2 1

24.4.

n

24.5.

24.6.

3

5

n 1

n

n 1 3n

n

n 2

n

1 ln

n

1

n

n3

n 1 3n2

24.7.

24.8. 1

24.9. ( 1)

n

4

ln

2

n

5

2n

6

ln

5

n

n

n

n 2

n 1

n 1

124

Исследовать на сходимость ряды

	11n2 n 1																																																																												n
																													n5						sin2 n																											n			n 1
25.1.							11															25.2.																																						25.3. 3
																																3 n8
n 1						n					n											n 1																																							n 1		3n 2
		n!(n 2)!																																							n4
25.4.																																2																												25.6. 2			2lnn
			(2n 1)!																			25.5. 1																																													arctg													n
																																	n				3
n 1																						n 1																																							n 1
			3																																																			1
							n 3																																																																							n			3
25.7.																						25.8. 1 n 5																			nsin																			25.9. 1 ntg
																																																			3
																																																								n																n					3
					n3 lnn
n 2																						n 1																																							n 1																		1
		n		2		n 1																					n		3		cos														4	n																																		1
26.1.																						26.2.																																							26.3. n tg
						3																																																																							5
																														3																																																		n		7
																																			n8
n 1		411n									3											n 1																																							n 1
					nn																										tg						2																																				n
																																																																																		n
26.4.																																																													26.6. (ln2)															3
		(n 1)!																				26.5.															n
n 1																																																													n 1
																						n 3 lnnln(2lnn)
				5
								n 5																						n																		1																											n						2	n
																																																													26.9.
26.7.																						26.8. 1																																											(1 2															)
					n5 ln5 n																											7						1								4				n						1
n 2																						n 1																																							n 1
			31n						9		1																						n
27.1.																					27.2.																																							27.3. (3					n3 1 n)
			9						n																																							n
																								(			n 1 n)
n 1				n																		n 1																																							n 1
			3n 3 n																					(n 1)!(n 1)!																																								lnn					1
																					27.5.
27.4.	2																																																											27.6. 3								(en									1)
																													(3n)!
n 1			4n 1																			n 2																																							n 1
										n																																																															3
																																														1																																n			2
27.7
																													n																																						n
															4						27.8. 1											3 1 5															n					1								27.9. 1									tg								n			n
n 2 3 (nlnn)																						n 1																																							n 1

125

Исследовать на сходимость ряды

				n 231																																					n			3																											n 1										n
28.1.																							28.2.																																						28.3. 3				n
				4n				22					3
																																			n			7					lnn
	n 1																									n 1																																				n 1					3n 2
					(n 1)n!																							5											5n 5																									e
																																			n																																			lnn
28.4.																							28.5.																																						28.6.
									n				n																					3						n 1
																																																														n 2		n				lnn
	n 1																									n			1
						5																																																		1															n n 5n 5
										n 5																															n			7
28.7.																							28.8. 1																									ntg													28.9. ( 1)
																																																							5																			(n			2								n
															5																																										n																						1)
							n					ln					n
																										n 1
	n 2																																																													n 1
				3n6 1																					arctgn 5																																																		n				3n
29.1.																					29.2.																																								29.3. (1 3																	)
				4n				7				3
	n 1																							n 1 n 5																																						n 1
				(n2 1)2n																																							n																					(		n 2										)	3		1
29.4.																									4n 1 2
																					29.5.																																																n
	n 2					(n 1)!																		n 1 9n 5																																					29.6.
																																																																									lnn
																																																														n 2
				7
								n 1																								n				7																																													n3
																																												7																											n
29.7.																					29.8. 1													(								n						1 n)													29.9. 1												tg
																																																																													n		2		1
						n3 lnn
	n 2																							n 1																																						n 1
									2				3																3
30.1.					4n																30.2.					n						sinn																													30.3. (						n6 1											n3)
				2								3
																													4 n9
	n 1				4n																			n 1																																						n 1
30.4.				(2n 1)!																30.5.					2n 1 2n																																			30.6.						lnlnlnn
	n 1 n!(n 1)!																																																													n 9 nlnnlnlnn
																							n 1 5n 4
												1
																																																1																					n						3											n
																													n
30.7.				3			n			4			lnn								30.8. 1													7 1										7									1								30.9. 1											n				(ln1,1)
	n 3																						n 1																										n													n 1

126

Найти область сходимости ряда.

( 1)n x 3 n

3n x 1 n

x 2 n

1.10.

2.10.

3.10.

(n 1)5

n

(n 1)

n

n

2

2n 1

n 1

n 1

n 1

x2n

(x 5)2n 1

(x 3)2n 1

1.11. n 1

2.11. n 1

3.11. n 1

(n2

2)9n

3n2

2n

3n(3n 2)

x 2 n

3n x 2 n

( 1)n x 1 n

4.10.

5.10.

6.10.

(2n

1)3

n

n

3

2

3n 2

(n

1)

n

n 1

n 1

n 1

n 2 2 x3n

( 1)n x 1 2n

n2x3n 1

4.11.

5.11.

6.11.

n

(3n

2)5

n

n!

n 1

3n 1 27

n 1

n 1

( 1)n x 3 n

2n x 5 n

( 1)n x 1 n

7.10. n 1

8.10. n 1

9.10.n 2

(3n 1)2n

(2n 1)3n

(n 2)lnn

n2(x 1)2n 1

xn2

n2 x 2 3n

7.11.

8.11.

9.11.

(n 2)!

n 1 nn

(3n 1)

3

n 1

n 1

( 1)n x 4 n

x 6 n

n x 2 n

10.10.

11.10.

12.10.

(4n 1)3

n

(n 2)3

n

(3n 2)2

n

n 1

n 1

n 1

(n

1)

2

(x

1)

2n 1

n

3

(x 5)

2n

x

2n

10.11.

11.11.

12.11.

6

2n 1

(n 1)!

(n 1)6

n

n 1

n 1

n 1

( 1)n x 7 n

( 1)n x 1 n

2n 1 n

n

13.10.

14.10.

15.10.

x

(n 1)5

n

(n 3)e

n

n

n 1

3n 1

1

n

1

(n 1)2 x 1 3n 2

xn2

3n

13.11.

14.11.

15.11.

x

6

3

(2n 1)

n!

n 1 (n 1)82n

n 1

n 1

127

Найти область сходимости ряда.

( 1)n x 3 n

n x 1 n

5

5n 5

n

n

16.10.

17.10.

18.10.

x

n

(n

2

1)

n 1

3

n 3

n 1

n 1

n 1

3

n x2n

(x 5)2n

n (x 2)2n

16.11.

17.11.

18.11.

(n

3

3) 4

n

3n

2

2

n

(n 2)!

n 1

n 1

n 1

( 1)n x 2 n

n x 3 n

( 1)n x 1 n

19.10.

20.10.

21.10.

(n 2)lnn

3

n

n. 1

2

n 1

n 2

n 1

n 1

n 2 n x3n

n!

x 1 2n

19.11.

20.11. n!(x

7)

21.11.

n

n

ln

2

n

n 1

3n 1 9

n 1

n 2 n2

( 1)n 1 x 2 n

( 1)n x 2 n

n 5n 5 xn

22.10.

23.10.

24.10.

(2n 1)2

n

n

2

lnn

(n

2

1)

n

n 1

n 2

n 1

22.11.

(x 1)2n 1

24.11.

x 3 3n

23.11. 2n2

xn2

(n 1)!

n 1

n 1

n 1 (3n 1)3

( 1)

n

x 4

n

4

n

n

25.10.

26.10 ( 1)n n(x 3)n

27.10.

x 4

(4n 1)

(n 4)

n 1

n 1

n 1

( 1)n x 2 n

n2(x 1)2n

x 1 3n

25.11.

26.11.

27.11.

nln

2

(n 2)

2n

3

1

n

nln

3

n

n 1

n 1

n 2 8

n 2 n xn

( 1)n x 6 n

(x 4)n

28.10.

29.10.

30.10.

(n 2) 6

n

n5

lnn

n

n 1

3n

1 3

n 1

n 1

n2 x 3 3n

(x 1)nn

(x 1)n2

28.11.

29.11.

30.11.

(n

4

1)

3

n

n

n!2

n

n 1

n 1

n 1

128

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.

1.12.

7

2.12.

x

3.12.

sin x cosx

12 x x2

3

27 8x2

arcctgx

2.13.sin3x 3xcos3x

3.13.

2

1.13. ln(2x

16 4x2 )

x

4.12. ln(1 x 6x2)

5.12.

x3

6.12.

x2

9 x2

4.13. arccosx arcsinx

4 81 x3

5.13.

arctgx

6.13. ln(x

16 x2 )

x

3

9.12. e x3

7.12. x2

4 x2

8.12.

2 x x2

xcosx sin x

2

7.13.

arctg2x2

9.13. arccos

x

2

x2

8.13.

x

10.12.

3

11.12.

x

12.12.

9

1 x 2x2

20 x x2

3 8 x3

10.13.

xsin x cosx 1

arccosx

12.13.

arcsinx

x2

11.13.

2

x

x

13.12.

2x

14.12.

5

15.12.

x

6 x x2

9 4x2

3 81 8x3

13.13. cos3x 3xsin3x

arcct2x

15.13. arccos3x

14.13.

2

x

16.12. cos2 2x

2x

18.12. x3

17.12.

81 x3

4 16 x2

16.13. ln(x

9 x2 )

18.13.

arctgx

3

17.13. arccosx2

x2

129

x2

3

(8 x

2

)

2

1

21.12.

sin2x

cos2x

19.12.

e

2

20.12.

x

x

2xcos2x sin2x

19.13.

arctg3x

3

21.13.ln(x

81 x

2

)

x2

20.13.

x2

22.12. ln(1 x 2x2)

23.12.

x2

24.12. 2xcos

2 x

x

2

arccos2x

3 8 x2

22.13.

2

x

24.13.

3xcos3x sin3x

x

23.13. arccos

x2

2

25.12.

5

x3

27.12. (2 ex )2

6 x x2

26.12. 5

32 x

3

27.13. arccos3x3

25.13. ln(3x

1 9x2 )

26.13.ln(x

1 x2 )

28.12.

x

29.12. sin2 x cos2 x

30.12.ln(1 x 20x2)

3 8 x3

29.13.

arcsinx

1

arccosx3 2

30.13.

x

28.13. ln(2x

4 4x2 )

x2

Вычислить интеграл с точностью до 0,001

0,1					0,1							1
1.14. sin(100x2) dx					2.14. e 6x2 dx							3.14. cosx2 dx
0					0							0
0,11 e			2x		0,5			dx				1	ln(1 x	)
4.14.				dx	5.14.							6.14.	5		dx
		x				4
									4
							1 x						x
0					0							0

130

Вычислить интеграл с точностью до 0,001

0,5																0,2																1								dx
7.14. cos(4x2) dx																8.14. e 3x2 dx																9.14.
																																			4
																																					16 x					4
0																0																0
	1,5					dx										0,4					ln(1 x							2)						0,2
10.14.																11.14.															dx	12.14. sin(25x2) dx
			3			27 x				3														x
	0															0																		0
	1,5					dx										0,2				1 e x														0,2
13.14.																14.14.											dx					15.14. cos(25x2) dx
			4																				x
						81 x			4
	0															0																		0
	0,4															2							dx											0,3
16. 14.	sin(5x							2)2 dx								17.14.																18.14. e 2x2 dx
																		3
																					64 x					3
	0															0																		0
	0,4					x										0,1				ln(1 2x)												2,5							dx
																20.14.																21.
				1 e 2
19.14.	0									dx																				dx
																								x									3
																																			125 x							3
						x
																0																0
	0,4															0,5						dx												0,4							3x
22.14. cos(5x								2)2 dx								23.14.																						1 e				4
																			3													24.14.														dx
																					1			x	2
																																									x
	0															0																		0
	2					dx										0,5																		2,5							dx
25.14.																26.14. sin(4x2) dx																27.14.
		4
					256 x						4																										4				625 x						4
	0															0																		0
							3x2									1						dx												1
	0,51 e															29.14.																30.14. sin x2 dx
							25
																	3
																									3
28. 14.													dx			0					8 x													0
						x
	0

131

Дополнительные варианты.

1.1. Исследовать на сходимость ряды

3

2

ln(2n 3)

3n 1

2n

8n 1

1.а.

.

б.

.

в.

.

n 1

(2n 3)

n

n 1

1003n2 2

n 2

3n3 7

2

3

3n 1

2n

3

ln

(n 3)

2.а.

.

б.

в.

.

2

3

3n 1

n 1

n

3n

2

2

999n

n 2

n

4

2

n 1

3

n 8

2

2n 3

ln

(n 5)

3.а.

.

б.

.

в.

.

(n 1)(2n 1)

n 2

n 1

401n 3

n 2

2n3 3

3n2 5

1

4.а.

3 3n 2

.

б.

.

в.

3

n

arctg

.

(n

3

1) 2n 3

5n 1

n2

n 1

n 2

n 1

2n 3

5n

3

2n

1

5.а.

.

б.

в. arcsin

.

2

3

3

2

(n

n 1

5n) 3n 1

n 1 301n

8n

1

n n 1

n 1

5n 3

1

1

6.а.

4 3n 1

.

б.

.

в.

sin

(n2 5)(3n 1)

200n

2

3

n 1 5 n 1

3

n

4

1

n 1

n 1

3

3n 8

1

3n 2

7.а.

.

б.

.

в.

2n sin

.

3005n

2

3

n 2

2n2 5n 1

n 1

n 1

n

3n 5

2n

3

3

ln(3n 2)

8.а.

.

б.

в.

.

2

(n

1) 2n 3

3

n 1 101n

8n

2

n 1

n

7

7

n 1

3n

2

2

1

1

3n2 2

9.а.

.

б.

.

в.

tg

.

(n3 1) 2n

(3n

5)

2

n 1

n

2n 8

n 1

n 2

15n 3

2n 8

10.а.

n

3n 2

.

б.

.

в. sin

.

2n

3

2

5n3 2n

n 2

3n 1

n 1

19n 3n 1

n 1

132

5n 8

ln(5n 3)

3n 2

11.а.

.

б.

.

в.

.

3

3 5n4 2n2

n 2

1

n 1

140n 3

n 2

n 7

3n 7

5n3 5n 3

2n 1

12.а.

в. arctg

.

б.

.

.

(n

2

75n

3

13

n

4

4

n 1

3) 2n 3

n 1

n 1

6n

2

3

1

2

3n 2

13.а.

.

б.

.

в.

2n sin2

.

n 1

(n3 3)

2n 1

n 1

101n 5

n 1

n 1

2n 11

15n3 12n

1

n

14.а.

б.

.

в.

tg

.

2

3

2n

2

5n)

3n 1

3

n

(5n

n 1 3n

8n

1

n 1

1

n 1

3

3n 8

ln2(3n 5)

3n 2

15.а. n 1

.

б. n 1

в. n 2

.

(2n 1)4

1199n 3

2n2 3

n 1

4

5n 8

1

3n 1

16.а.

.

б.

.

в.

2n sin

(n

2

2

n

2

2n 1

n 1

5n)(2n 1)

n 1

500n

5n 3

n 1

5n 2

900

n 3

1

17.а.

.

б.

.

в.

3n

arctg2

.

(n

3

3

n 1

3) 2n 1

n 1

2n 8n 2

n 1

2n 1

3

2

ln(5n 2)

3n 7

2n

8n 3

18.а.

.

б.

в.

.

n 1

(3n 5)

2n

n 1

200n3 8n

n 1

2n3 7

2n 5

3n

3

7n

3

1

19.а.

.

б.

.

в.

3 n tg

.

n

2

2n 8

n 1

3 3n4 2n 1

n 1

5n2 19

n 1

2n

2

3n

2

5n 8

1

20.а.

.

б.

.

в. (3n 8)sin2

.

n 1

(2n4 3)

n 1

n 1

140n 13

n 1

2n 8

2n 8

15n 8

1

21.а.

.

б.

.

в. arctg

.

(3n2 1)3

n 1

3n 1

n 1

300n2 3n 3

n 1

n

3n2 7