Математика_Семестр2_РГР_Ряды

23

Теорема 3 (Первый признак сравнения). Если сходится мажорант-

ный ряд (ряд с большими членами), то сходится и любой минорантный

по отношению к нему ряд (ряд с меньшими членами), а если мино-

рантный ряд (с меньшими членами) расходится, то расходится и ка-

ждый мажорантный для него ряд (ряд с большими членами).

► Пусть An a1 a2 an , а Bn b1 b2 bn . Так как an bn , то

и An Bn . Следовательно, когда ряд (В) сходится, то сумма Bn ограни-

чена сверху (теорема 2), а потому ограничена сверху и сумма An и по

теореме 2 ряд (А) тоже сходится. По той же теореме 2, расходимость ряда (А) говорит о неограниченности сверху An , а это влечет неограни-

ченность сверху Bn , так как An Bn , и, значит,			ряд (В) тоже расходит-
ся.◄
			2		n
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд		sin				.
		n
n 1			3
2			n				1			1
Решение. Учитывая, что sin2 n 1, имеем:	sin							. Ряд			(ма-
	n						n			n
3					3				n 1	3

жорантный ряд) представляет собой сходящуюся геометрическую про-

1

грессию q

1 , поэтому по первому признаку сравнения сходится

3

и исследуемый (минорантный) ряд.

2

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

ln n

.

Решение.

n 1

n

По

первому признаку сравнения, этот ряд расходится, т.к.

ln n

2

1

1

, а ряд

расходящийся (пример 4).

n

n

n 1

n

24

Схема исследования ряда на сходимость в данном случае проста и естественна. Чтобы ответить на вопрос, сходится ряд или расходится,

его сравнивают с каким либо рядом, про который заведомо известно,

сходится он или нет. Такой ряд будем называть эталонным. Причем,

если подозревают, что исходный ряд сходится, то для сравнения с ним подбирают сходящийся эталонный ряд, мажорантный по отношению к нему; если же предполагают, что исследуемый ряд расходится, то для сравнения с ним ищут расходящийся эталонный ряд, для него мино-

рантный.

В качестве эталонных рядов наиболее популярны геометриче-

ские прогрессии и, так называемый, обобщенный гармонический ряд

1p p R .

n 1 n

Известно,19 что этот ряд сходится, если p 1 и расходится, если p 1.

При p 1 этот ряд называют гармоническим рядом.

Применение первого признака сравнения предполагает «угады-

вание» характера поведения исследуемого ряда – сходится он или рас-

ходится, и если «не угадали», то все дальнейшие выкладки окажутся бесполезными. Затем придется доказывать неравенства, позволяющие говорить о том, что эталонный ряд является мажорантным (или мино-

19 Обобщенный гармонический ряд легко исследуется на сходимость с помощью интегрального признака сходимости, что и будет показано далее. Кстати, сумма этого ряда известна как функция Римана (ее аргумент равен p ). Со-

ставлены таблицы, с помощью которых можно найти ее значения для различных значений p , при которых он сходится.

25

рантным) рядом. Все это весьма хлопотно и не всегда просто. Модифи-

кацией первого признака сравнения является второй признак сравнения

или, как его еще называют, признак сравнения в предельной форме. Его применение связано только с вычислением пределов.

Теорема 4 (Второй признак сравнения). Пусть существует конечный или бесконечный предел отношения общих членов двух положительных рядов:

lim an l .

n bn

Тогда

1)если этот предел есть конечное число не равное нулю, то есть 0 l (здесь l 0 ; l ,) то оба ряда одновре-

менно сходятся или одновременно расходятся;

2)если l 0, то из сходимости ряда (В) следует сходимость ря-

да (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ря-

да (В);

3)если l , то из сходимости ряда (А) следует сходимость ряда (В), а из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А)

26

► Зафиксируем ~ l . По определению предела найдется число K

		~		an	~
такое, что для всех n K	справедливо неравенство	l			l .

bn

Вспоминая, что bn 0, для всех n K имеем20:

(l ~) bn an (l ~) bn .

Это неравенство позволяет утверждать, что для ряда (А) ряд с общим

членом (l ~) b будет минорантным рядом,		а ряд с общим членом
	n
(l ~) b	мажорантным. Ряды с общими членами b ,		(l ~) b и
n		n	n
(l ~) b	могут сходиться (или расходиться)	только одновременно21.
n

Поэтому, если сходится ряд (В), то сходится и ряд с общим членом

(l ~) bn , мажорантный для ряда (А), а если расходится ряд (В), то расходится и ряд с общим членом (l ~) bn , минорантный для ряда

(А). Таким образом, по первому признаку сравнения оба ряда (А) и (В),

сходятся или расходятся одновременно.

Если l 0, то an есть бесконечно малая величина22 более высо-

кого порядка малости относительно бесконечно малой величины bn , а

поэтому, начиная с некоторого номера, an bn и, следовательно, ряд

(А) минорантный ряд для ряда (В), а ряд (В) мажорантный ряд для ряда (А.) Далее «работает» первый признак сравнения.

20При умножении неравенства на положительное число его знаки не меняются.

21Если все члены ряда умножить на одно и то же число (не равное нулю), то сходимость его не нарушится (свойство 2).

22В противном случае ряд расходится по необходимому признаку.

27

Аналогично рассматривается случай когда l . Здесь bn есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости относи-

тельно бесконечно малой величины an .◄

Итак, если предел отношения общих членов исходного и эта-

лонного положительных рядов есть конечное число, не равное нулю, то исследуемый ряд сходится, если сходится эталонный ряд, и расходится,

когда расходится эталонный ряд. Бесконечно малые величины, предел отношения которых конечен и не равен нулю, называют величинами одного порядка малости. Общие члены рассматриваемых рядов явля-

ются бесконечно малыми величинами23 и, согласно теореме 4, все ряды с общими членами одного порядка малости сходятся или расходятся одновременно.

Таким образом, в основе практического применения второго признака сравнения лежит поиск более простой бесконечно малой ве-

личины того же порядка малости, что и общий член исследуемого ряда. «Более простой» в данном случае означает, что вопрос сходимости или расходимости найденного ряда сравнения должен решаться сравни-

тельно легко.

Второй признак сравнения идеально подходит для исследования рядов, общий член которых имеет вид:

a			A nk A				nk 1		... A n A
	n			k		k 1			1	0	,
			B		nm B			nm 1
				m		m 1			... B n B
									1	0

23В противном случае по необходимому признаку сходимости такие ряды будут расходящимися, и с ними все ясно.

28

т.е. является отношением двух многочленов переменной n степеней k

и m соответственно,

или легко к такому виду сводится, например,

с

помощью известных эквивалентностей24. Действительно, если m k

и

n , то a

n

~

Ak

1

, и, выбирая в качестве эталонного ряда ряд с

B

nm k

k

общим членом b

1

, найдем: lim

an

Ak

0.

n

nm k

n b

B

k

n

Следовательно, такой ряд по второму признаку сравнения сходится, ко-

гда m k 1 и расходится если m k 1.

Исследуем на сходимость, используя второй признак сходимо-

сти, следующие ряды.
	3n2 n 1
Пример 7.						.
	n	3	n	2	5n
n 1

Решение. Этот ряд расходится по второму признаку сравнения, по-

скольку a

3n2 n 1

~

3

, а ряд с общим членом

b

1

расходится

n3

n

n

n2 5n n

n

p 1 и lim

an

3 0.

n b

n

n 1

Пример 8.

.

n n5 1

n 1

24 Напомним,

что бесконечно малые величины a

и b

называются эквива-

n

n

лентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице.

Символически это записывается так:			an ~ bn .	Пусть бесконечно малая,
тогда, как	известно: sin ~ ,		tg ~ ,	arcsin ~ ,	arctg ~ ,
	2
1 cos ~		, ln(1 ) ~ , e 1~ , (1 )p 1~ p .
	2

29

Решение. Здесь

a

n 1

~

1

b

. Так как lim

an

1, а ряд

n

n n5 1

n2

n

n bn

n 1

1

сходится

p 2 1 , то по второму признаку сходимости схо-

n2

дится и исследуемый ряд.

Пример 9. n

n 1

.

e

e

n 1

Решение. Имеем25

1

1

1

1

1

1

an n e n 1 e e

n

e

n 1

e

n 1

en n 1 1 ~

~

bn .

n n 1

n2

Следовательно, этот ряд сходится по второму признаку сравнения: схо-

1

p 2 1 и lim

an

дится ряд

1.

2

n 1

n

n b

n

Пример 10. ln n 1 lnn .

n 1

Решение. Здесь a

ln n 1 lnn ln

n 1

1

1

b .

ln 1

~

n

n

n

n

n

Ряд с общим членом b

1

расходится

p 1 и

lim

an

1, поэтому

n

n

n b

n

по второму признаку сравнения расходится и исходный ряд.

		1
	Пример 11. 2n sin		.
		n
	n 1	3

1

25 Здесь учитывается, что lim en 1 =1. n

30

1

2

n

a

Решение. Здесь a

2n sin

~

b . Поэтому

lim

n

1

и, т.к. ряд

n

3n

3

n

n b

n

сравнения сходится (он является геометрической прогрессией со зна-

менателем q 2 1), то по второму признаку сравнения сходится и ис- 3

следуемый ряд.

1

n 1

Пример 12.

n

tg

n

1 .

n 1

Решение. В этом случае

1

1

1

1

1

n 1

1

a

n

tg

1

~

1

1 ~

.

2

n

n

n

n

n 2n

2n

Ряд с общим членом b

1

сходится

p 2 1 ,

и

lim

an

1

, поэто-

n2

n

n b

2

n

му по второму признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

1 cos

1

1

Пример 13.

.

n

n 2

lnn

Решение. Здесь a

1

1

1

. Выбирая для сравнения

n

1 cos

~

n lnn 2n2 lnn

сходящийся ряд с общим членом b

1

и заменяя a

эквивалентной

n

n2

n

бесконечно малой, имеем lim

a

n

lim

n2

0.

n b

n 2n2 lnn

n

Поэтому по второму признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

			1
Пример 14.				.
n 2		n lnn

31

Решение. В этом случае обратимся к третьей части теоремы 4. В каче-

стве эталонного ряда возьмем ряд с общим членом bn 1 . Здесь p 1 n

и эталонный ряд расходится. Так как26

1

an

n

n

n

2 n

lim

lim

lim

lim

lim

.

n 1

n bn

n nlnn

n lnn

n

n 2 n

то по второму признаку сравнения исследуемый ряд расходится.

1

Пример 15. n 2 np lnn q , где p 1 и q 0.

Решение. Ряды в двух последних примерах представляют собой част-

ные случаи данного ряда — в примере 13 q 1,				p 2, а в примере 14
q 1	и p 1 2 . Рассмотрим теперь общий случай.
	Пусть p 1, а q любое положительное число. Для сравнения
		1			an		1
возьмем сходящийся ряд			. В этом случае	lim		lim			0
		p						q
	n 1	n		n b		n (lnn)
					n

и наш ряд сходится по второй части теоремы 4.

Пусть теперь p 1, а q опять же любое положительное число.

1

Сравним исследуемый ряд с рядом n 1 n . Учитывая, что 1 p 0, име-

26 При вычислении этого предела использовано правило Лопиталя, хотя по формальным соображениям «просто так» применять его нельзя. Как вычислить производную по n, если n - натуральное число? Необходимо сначала записать вместо натурального числа n переменную x, потом применить правило Лопиталя, а затем снова вернуться к n.

p 1. Но для

32

27		an		n1 p
ем :	lim		lim		. Ряд сравнения расходится, поэтому по
	n b		n (lnn)q
		n

третьей части теоремы 4 наш ряд тоже расходится.

Таким образом, исследуемый ряд сходится, если p 1 и расхо-

диться когда p 1. При этом величина параметра q совершенно не имеет значения. Как будет показано ниже (см. пример 23) поведение ряда существенно зависит от величины q только когда

этого нам потребуется уже другой признак сходимости.

Признаки Даламбера и Коши.

Оба признака сравнения прекрасно работают в тех случаях, ко-

гда исследуемый ряд сопоставим с обобщенным гармоническим рядом

1

n 1 np . Для рядов, близких к геометрической прогрессии, «лобовое»

применение признаков сравнения не всегда оправдано. В таких случаях предпочтительнее использовать признаки сходимости Даламбера и Коши, которые, являясь следствием признаков сравнения, учитывают специфику именно геометрических прогрессий.

Речь вот о чем. Для «идеальной» геометрической прогрессии отношение любых двух рядом стоящих членов есть величина постоян-

ная: an 1 q . Если же члены ряда только «близки» к членам геометри- an

ческой прогрессии, то для них это отношение уже не будет постоян-

27 Предел нетрудно найти, применяя нужное число раз правило Лопиталя.