Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный машиностроительный университет "МАМИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика_Семестр2_РГР_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

113

ми определяется выписанным выше интегралом71, называют прибли-

жениями в среднем.

Теорема 27 Из всех тригонометрических многочленов порядка n наи-

лучшее приближение в среднем для функции f x , непрерывной в

( ; ), дает многочлен, коэффициенты которого являются коэффи-

циентами Фурье функция f x . При этом

	1		1		a	n
	1	f 2(x)dx	1		a	(ak	bk )].
( f ,Tn )				[	0
( f ,Tn )	2		2	[	2
						k 1

Обобщенные ряды Фурье.

Говорят, что функции x x ортогональны на отрезке

[a;b], если

(x) (x)dx 0.

Система функций 1 x , 2 x , , n x , называется ортогональной на отрезке [a;b], если функции этой системы попарно ортогональны на этом отрезке.

Будем полагать также, что

b
n2(x)dx n 0	(n 1, 2, ).
a

Заметим, что при выводе формул Эйлера-Фурье мы фактически доказали ортогональность на отрезке [ ; ] системы тригонометри-

71 Расстояние между функциями может быть определено и с помощью иных выражений.

114

ческих функций 1, cosx,sin x, , cosnx,sinnx, . Кстати, именно орто-

гональность этой системы позволила получить формулы Эйлера-Фурье.

Несложно показать, что на отрезке [0; ] ортогональной явля-

ется как система функций 1, cosx, , cosnx, , так и система функций sin x, , sinnx, . Существуют и другие системы ортогональных

функций, например многочлены Лежандра на отрезке [ 1;1] или бессе-

левые функции на отрезке [0;1].

Пусть на отрезке [a;b] задана какая-нибуть ортогональная сис-

тема

1 x , 2 x , , n x , .	(2.8)
Предположим, что интегрируемая на отрезке [a;b] функция	f x есть
сумма равномерно сходящегося ряда:

f (x) сn n (x).	(2.9)
n 1

Коэффициенты этого разложения будем искать точно так же, как рань-

ше искали коэффициенты Фурье, выводя формулы Эйлера-Фурье. Вна-

чале умножим обе части разложения на m x , а затем проинтегрируем его почленно:

b b

f (x) m(x)dx сn n(x) m(x)dx

a n 1 a

В силу ортогональности все интегралы справа, кроме одного, будут ну-

лями, поэтому

				115
	1	b
сm	1	f (x) m(x)dx,	(m 1, 2, )	(2.10)
сm		f (x) m(x)dx,	(m 1, 2, )	(2.10)
	m a

Итак, если функция f x разложима в «ряд по функциям m x », то коэффициенты этого разложения находятся по формулам (2.10) и назы-

ваются обобщенными коэффициентами Фурье функции f x относи-

тельно системы (2.8). Ряд (2.9) в этом случае называют обобщенным рядом Фурье функции f x относительно системы (2.8).

Выше указаны только необходимые условия разложимости функции f x в обобщенный ряд Фурье. Поэтому, формально постро-

ив обобщенный ряд Фурье функции f x , мы можем утверждать толь-

ко то, что этот ряд порожден функцией f x :

f (x) сn n(x) .

n 1

Сходится ли обобщенный ряд Фурье функции f x , а если сходится, то будет ли его сумма равна f x ? На эти вопросы, так же как и в случае тригонометрических рядов Фурье, можно ответить только после специ-

ального исследования.

УПРАЖНЕНИЯ

Разложить в ряд Фурье следующие функции


2x для		x 0		0 для		x 0	2x		для	x 0
1. y	x для		0 x	2. y	2 для		3. y	3x	для	0 x
				x		0 x

116

Расчетно-графическая работа.

Исследовать на сходимость ряды

			3n2 n 1																						4 sinn																			2									2
1.1.																						1.2.																1.3.										sin
1.1.					4n					2		3										1.2.					2n											1.3.										sin
	n 1				4n							3											n 1			3													n 1				n 2											n

			(n!)2																					n						n2																		1
1.4.						n2																1.5.																1.6.			n 7 ln									2		n 1
1.4.						n2																1.5.																1.6.												2
	n 1			3																			n 1	n 1															n 3

										1																				1																		2
1.7.																																						1.9. 1 n								n
																						1.8. 1 n(e										n		1)												n
														2		n																															n
														2																																	n
	n 2					n ln																	n 1																n 1							2
																							n 1


		4n3 2n 1																					arctg2n																			1
		4n3 2n 1																					arctg2n																			1				n
2.1.																				2.2.																		2.3.						(e				1)
2.1.						4								3						2.2.																		2.3.						(e				1)
	n 1 3n								n							n						n 1		2															n 1			n
			2n n!																				n 1 n(n 1)																							5
2.4.																				2.5.																		2.6.
				n			n																																			n		lnnln						2		lnn
							n																																											2
	n 1																					n 1		n															n 9

								n			1
2.7.																				2.8. 1 n(																	)	2.9. 1 n(1 cos 1n)
																												n 1								n
			5								2
			5					3			2							n
	n 2					n ln												n				n 1																	n 1


					n2 n 1																	(n 1)cos2 n																										1
3.1.																					3.2.																		3.3. nsin
3.1.			2n				5		n						3		n				3.2.						n		3										3.3. nsin										n
	n 1		2n						n								n					n 1					n														n 1								n

			(n!)3																						n2 1						n																	1
3.4.																																							3.6.


			(3n)!																		3.5.					2																			n ln(3n 1)
	n 1		(3n)!																			n 1 3n					1														n 1				n ln(3n 1)

										3			n																				1													n								n
													n													n							1													n								n
3.7.																					3.8. 1																		3.9. 1									tg
																		10												1							1														n		2	1
					n			1 ln										10	n											1							1																2
	n 2				n			1 ln											n			n 1													n					n 1

																																																					117
Исследовать на сходимость ряды

			2n3 n 1																		2 cos2 n																															2
			2n3 n 1																		2 cos2 n																															2
4.1.																			4.2.															4.3. nsin
4.1.			n	3			2n							2			3		4.2.						2n									4.3. nsin																n 1
n 1			n				2n										3				n 1			3											n 1															n 1

			n			n!																									n																	1
4.4.			3			n!																	3		n 1									4.6.														1
			n			n													4.5. n																					nln				3		(5n 1)
						n													4.5. n																									3
n 1																					n 1			2n 1											n 1

										1									4.8																							n									n
4.7																																		4.9 1
	3										5																																		5n						3	2
	3		n ln								5	(n 1)																																							3
n 1																			1 n (ln(n 1) lnn)															n 1
n 1																			1 n (ln(n 1) lnn)															n 1
																				n 1


						2n 3																		5 arctg							n								1
5.1.						2n 3															5.2.			5 arctg							n		5.3. (e n									1)
5.1.						2															5.2.			3									5.3. (e n									1)
n 1			2n n 1																			n 1				n								n 1

			(n!)2																					1 n 1 n2																			n
5.4.																				5.5.													5.6.				2
5.4.			(2n)!																	5.5.		n 1 n2											5.6.				2		1 ln n 1
n 1			(2n)!																			n 1 n2					n							n 1 n					1 ln n 1
											1																					1								n 1 n										1					2n
5.7											1															n						1								n 1 n										1
																					5.8. 1							n		sin		n	5.9. ( 1)
		3	n		4				ln				4			(n 1)					5.8. 1							n		sin			5.9. ( 1)
n 1			n						ln							(n 1)						n 1												n 1								3n 2


									3n 2															2 sin2n												n 1 n
6.1.																					6.2.												6.3.
			3n				5			4n							2	3
							5										2										n
n 1																						n 1					n							n 1							n

			(2n 1)!!																					(n 1)n 1`																						1
6.4.																					6.5.												6.6.
6.4.					(2n)!																6.5.			ln	n	(n 2)							6.6.				nlnnln											5		(n 1)
n 1					(2n)!																	n 1		ln		(n 2)								n 8			nlnnln													(n 1)

											n 1																															( 1)							n		n
																														3 n2																			n
6.7.																					6.8.			1 n 1									6.9.

			3	n				4		ln					4		(n 1)												3n2 1									(n					1)				3		(n					2)
n		3	3					4							4														3n2 1																		3
n		3																				n 1												n 1

118

Исследовать на сходимость ряды

					3							2													2		n														1
7.1.		n						2n											7.2.				cos			3							7.3.	1		(e								n				1)
		3				4n 1																	3											1
		3																					3											n
n 1		n																		n 1				n									n 1	n

		n!																						n 1 2n													tg 1
7.4.																			7.5.														7.6.															n
			n
		n

n 1																				n 1 3n 2													n 1	5			ln(n 1)

										1															n n2				1											n												1
7.7.										1															n n2				1											n												1
																			7.8. 1														7.9. 1															n		sin
																											3																										n
	3					2					40																			7																							n
n 1	3	n				2		ln			40				(n 1)														n	7			n 1																			2
n 1		n						ln							(n 1)					n	1								n				n 1


		n			3		n			2		n 1												sinn					2														n 1
8.1.
																																													2
																				8.2.													8.3. n(en														1		1)
		n	4			n			3		4n 1
			4						3
n 1																					n 1					n							n 1

	1 4 7 (3n 2)																									3n 1						n						n 3
8.4.																				8.5. n					7													n 3
																									7										ln
												n																																		n
												n
n 1										4				n!							n 1					2n 3							8.6.
n 1										4				n!							n 1					2n 3							8.6.							lnn
																																	n 2							lnn

								1																			n			n3									( 1)n 1n
8.7.																				8.8. 1													8.9.
																												(ln3)			n
		3				n2 lnn																									n						(n 1)(n 2)
n 2		3				n2 lnn															n 1												n 1				(n 1)(n 2)


			2n2 n 1																			sinn												3															1
			2n2 n 1																			sinn												3					4										1
9.1.																			9.2.														9.3.				n					arctg
9.1.		2n				5		2n					2			n			9.2.						n								9.3.				n					arctg										2
n 1		2n						2n								n				n 1				3									n 1																		n

		(2n)!																			n 2 n2													3
		(2n)!																			n 2 n2													3						n
9.4.					n2														9.5.														9.6.
9.4.		2			n2														9.5.														9.6.					n
n 1		2																		n 1	2n 2												n 1					n

								3																					n																	n 1 n
								3		n															n				n														n			n 1 n
9.7.																			9.8. 1							n	2	lnn					9.9.	( 1)
																	3
				n				1 ln									3	n
n 2				n				1 ln										n		n 1													n 1																	n

119

Исследовать на сходимость ряды

sin

10.1.

3n n

10.2.

10.3. n3

sin

n 1

3 n7

n 1

3 n2

3n 5 n2

arctg 1n

10.4.

10.5.

10.6.

n 1

2n 1

n 1

ln(n 1)

10.7.

10.8. 1 n

10.9. 1 n n2(ln2)n

(n 1)3 ln3 n

n 2

n 1

11.1.

11.2.

11.3. (1 e n)en

n lnn

n 1

2n n 3

n 1

n!(2n)!

ln(n 1) lnn

11.4.

11.6.

11.5.

(3n)!

n 1

n 2

n 1

11.7.

11.8. 1 n 5

sin

11.9. ( 1)n 1

2n 1 ln

n 2

n 1

n3 n 1

4n2

sin2 n

12.1.

12.2.

12.3. (

n 1

(2n)!!

12.4.

12.5.

12.6.

(2n)!

3 lnn

n 1

n 2

n 1

n 1 n 2n 1

12.7.

12.8. ( 1)

12.9. ( 1)

nsin

n 1

n 2

nlnn

n 1

120

Исследовать на сходимость ряды

				n 2																																											2					2
13.1.				n 2										13.2. n(								n2 1									n)					13.3.						arctg n
13.1.	n		4 3						n					13.2. n(								n2 1									n)					13.3.									n 1
n 1	n			n					n						n 1																							n 1					2

(2n 1)!!															2n 1																																		2
13.4.														13.5.																													sin
13.4.					n									13.5.					n																	13.6.															n
n 1			3			n!									n 1 n

																																											nln(n 2)
																																						n 1					nln(n 2)

					4																																																	n 1
					4		n																							1																					е			n 1
							n														n				5					1								( 1)								n 1					е
13.7		n 1 ln									3		n	13.8. 1													1			3		n	1			13.9.		( 1)															n		n
n 3		n 1 ln											n		n 1																	n						n 1															n


	2n3 2n2												1										n			sin2 n														2				1
14.1.															14.2.																				14.3. n							sin
	4n				4	n				3		1																																n			2
					4					3															3 n4																						2
n 1																n 1									3 n4												n 1
	(n 1)!(n 1)!																				n				2			n															n	2
14.4.	(n 1)!(n 1)!														14.5.						n				2										14.6.								n
14.4.															14.5.																				14.6.						3		1 lnn
n 2					(2n)!											n 1				(3n 1)																	n 2 n						1 lnn
						1																						5																			3
																												5				4															3								5
14.7.															14.8. 1 n															n					14.9. 1 n sin															n
																														n																				n
													7
n 2 3 (nlnn)																n 1												3n			1					n 1												n						1


	3n2 n 1															2 sin4n
	3n2 n 1															2 sin4n																								4												2
15.1.														15.2.																				15.3. (					n			1				n								)
			4n			2		3
						2												5 n7
n 1															n 1			5 n7																		n 1
	(2n 1)!!																			3n									2n														1
15.4.														15.5. 3											7									15.6.
																	n								7

					n!																																				7		ln(n 2)
																																									7
n 1															n 1			5n 3																		n 2 nlnn
						1																		n			2
15.7.						1								15.8. 1 n										n			2							15.9. 1 n n2(ln1,5)n

	3 n2 ln5 n																							3 n5
n 2	3 n2 ln5 n														n 1									3 n5												n 1

																																																							121
Исследовать на сходимость ряды

								n 1												cos3 n																																			1
								n 1												cos3 n																						5													1
16.1.															16.2.																								16.3. n					1 sin
16.1.				5			4n					2	3		16.2.													n											16.3. n					1 sin
	n 1 n						4n						3			n 1										3													n 1																	5 n2
						n!														n 2n 1																											1							7
16.4.															16.5.																								(1														)		1
16.4.			(2n)!!												16.5.									n 1															(1										n				)		1
	n 1															n 1						3																											n
	n 1															n 1						3																	16.6.
																																							16.6.						nlnn
																																							n 2						nlnn

									5																												1							n 1 n 2n 1
											n															n
											n															n
16.7.															16.8. 1																n tg								16.9. ( 1)
																																																						n 1
	n 2																																					n																n 1
	n 2				n 1 ln5 n											n 1																						n	n 1													3

		n2 n 1																																												sin6 n
																																											n
																																											n
17.1.														17.2. n(										n 1													n)		17.3.
							3		4n				2
							3						2																															3 n10
	n 1 2n															n 1																							n 1					3 n10
			(n 1)!																		3							n2																				n 1
17.4.								n						17.5.			2n						1																			ln									n
17.4.								n						17.5.																												ln
	n 1			2					n!									n	3			2																	17.6.
	n 1															n 1		n				2																	17.6.	lnnlnlnn
																																							n 9	lnnlnlnn

									1																																																n
																																		1																	n 1						n
																																															n
																				n																											n
17.7. 5								nlnn						17.8. 1								3				1						3			n		1		17.9. ( 1)
	n 2							nlnn								n 1																			n				n 1															n


							3n			2	1										n		5			sin								2		n								n2 2
18.1.															18.2
																																												5
			4n					2	n 3																												.		18.3. n(en									3					1)
																							3
																							3				n			8
	n 1															n 1											n												n 1

			(n 1)!n!																			3n				5		1						n																		1
18.4.																																							arcsin


							(2n)!								18.5.							n			5		5												18.6.															n
	n 2															n 1																																						n
																																															4
																																									n						4			lnn
																																							n 2		n									lnn

										3																			n				2																					n
18.7.										3					18.8. 1 n														n				2						18.9. 1 n 1															n
18.7.															18.8. 1 n																								18.9. 1 n 1															n
	n 2	4				n3 ln3 n										n 1														4			n9						n 1													(ln3)

122

Исследовать на сходимость ряды

2n2

sinn 3

19.1.

19.2.

19.3. n

sin

n 1

(n 1)!

n 5n 5

n arctg

19.4.

19.5.

19.6.

n 2

(n 1)!

n 1

19.7.

19.8. 1 n n (3 n3

1 n)

19.9. 1 n sin

nlnn

n 2

n 1

3n 1

sin

20.1.

20.2.

20.3. (1 7 n)7n

n 1

4n n 2

n 1

3 n11

n 1

(2n)!

20.4.

3n 1

20.6.

1(ln

n 1

e n!

20.5.

n 2 n

n 1

2n 1

n 2n 3

n 1 n2

20.7.

20.8. 1

20.9. 1

(ln5)

3 (nlnn)4

n 2

n 1

3n3 n 1

n2 5

21.1.

21.2.

21.3. (1 cosn

lnn

n 1

(2n 1)!

n 3

21.4.

21.5.

sin

n 1

(2n)!

n 1

(

n 1 1)

21.6.

ln n

n 1

21.7.

n 3

21.8. 1 n 3

sin

21.9. 1 n n9(ln9)n

n 2

n 1 ln3 n

n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015652.4 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Линал_1-3.pdf
#
05.06.2015445.14 Кб20Математика_Семестр1_РГР_Матан_1.pdf
#
05.06.2015740.8 Кб14Математика_Семестр1_РГР_Матан_4-6.pdf
#
05.06.2015441.83 Кб15Математика_Семестр1_РГР_Матан_7.pdf
#
05.06.2015322.21 Кб20Математика_Семестр2_РГР_Матан_2.pdf
#
05.06.20151.31 Mб29Математика_Семестр2_РГР_Ряды.pdf
#
05.06.20151.75 Mб158Математика_Семестр3_МетодПособие.pdf
#
05.06.20153.73 Mб499Математика_Семестр4_МетодПособие.pdf
#
27.03.2016264.31 Кб22материаловед.docx
#
08.11.2018217.6 Кб10Машины и оборудование.doc
#
25.04.20195.65 Mб11Менеджмент в строительстве.doc