Математика_Семестр2_РГР_Ряды

33

ным. Но, если оно с возрастанием номера стремится к некоторому пре-

делу q, то при достаточно больших значениях n отношение становит-

ся практически постоянным: an 1 q . Следовательно, можно ожи- an

дать, что и в этом случае ряд будет сходиться, если q 1, и расхо-

диться, если q 1. Это и есть главная «идея» признака Даламбера.

В основе признака Коши лежат следующие соображения. Рас-

смотрим геометрическую прогрессию:a q; a

2

q2;...;a

n

qn;.... Оче-

1

видно, что

q2 q;...;n

n qn

q;.... Когда члены ряда всего

a

a

n

2

лишь «похожи» на геометрическую прогрессию, то для них величина nan постоянной уже не будет. Все же, если существует предел

lim n an q, то при достаточно большом значении n эта величина

n

практически постоянна: nan q , а поэтому можно ожидать, что при q 1 такой ряд сходится, а при q 1 — расходится.

Приведенные рассуждения, конечно, не являются доказательст-

вами признаков Даламбера и Коши; они лишь «подсказывают», что на-

до доказывать и делают более понятным «механизм» действия этих признаков.

Теорема 5 (Признак Даламбера). Если для положительного ряда

an существует предел

n 1

34

lim an 1 q,

n an

то ряд сходится в случае q 1 и расходится q 1.

► Зафиксируем ~ . По определению предела существует число K

такое, что для всех n K справедливо неравенство

	~		an 1	~
	q			q .	(3)
			an
	Пусть q 1. Выберем такое ~ , чтобы				p q ~ 128. Неравен-

ство (3) позволяет утверждать29, что aK 1 paK , aK 2 paK 1 p2aK ,

, aK m paK m 1 pmaK ,	. Следовательно, геометрическая про-

грессия aK pm является для ряда an мажорантным рядом. Так как

m 1

n 1

p 1, то эта прогрессия сходится, а поэтому по первому признаку схо-

димости сходится и наш ряд.

Пусть теперь q 1. Выберем ~ таким, чтобы p q ~ 1. То-

гда, из неравенства (3) получим, что an 1 pan an . Таким образом, в

этом случае члены положительного ряда образуют монотонно возрас-

тающую последовательность, следовательно, общий член такого ряда не может стремиться к нулю, а потому ряд расходится по необходимо-

му признаку сходимости. ◄

Очень похоже доказывается и признак Коши.

28Например, ~ 0,5(1 q).

29Не забывайте — an 0

35

Теорема 6 (Признак Коши30). Если для положительного ряда an

n 1

существует предел

lim n an q ,

n

то ряд сходится в случае q 1 и расходится q 1.

► Зафиксируем ~ . По определению предела существует число K

такое, что для всех n K справедливо неравенство q ~ nan q ~ .

Пусть q 1. Выберем ~ так, чтобы p q ~ 1. Тогда an pn

для всех n K . Это означает, что сходящаяся геометрическая прогрес-

сия (т. к. 0 p 1) для нашего ряда является мажорантным рядом, а

поэтому по первому признаку сходимости он сходится.

Пусть теперь q 1. Выберем ~ таким, чтобы p q ~ 1. То-

гда an pn 1 для всех n K и члены положительного ряда образуют монотонно возрастающую последовательность. Следовательно, общий член ряда не стремится к нулю, а потому ряд расходится по необходи-

мому признаку сходимости. ◄

Случай когда q в теоремах 5 и 6 допускается. При этом,

разумеется, следует считать, что q 1.

Следующие замечания относятся как к признаку Даламбера, так и к признаку Коши.

30 Его еще называют радикальным признаком Коши.

36

Замечание 1. Признаки Даламбера и Коши занимают среди достаточ-

ных признаков сходимости несколько особое место. Оказалось, что

если предел q 1, то lim an 0 и ряды расходятся по необходи-

n

мому признаку сходимости. Этот факт существенно используется при исследовании на сходимость знакопеременных рядов. Но об этом речь впереди.

Замечание 2. При формулировке признаков Даламбера и Коши не упоминается случай, когда q 1, что может означать только одно: в

случае q 1 оба признака не дают ответ на вопрос о том сходится или расходится такой ряд. Иными словами, существуют сходящиеся ряды, для которых q 1, и расходящиеся ряды, для которых также

1

31

q 1. Например, для ряда

при любом

p имеем :

p

n 1 n

q lim

a

n 1

n 1 p

1

p

1;

lim

lim 1

n an

n np

n

n

1

q lim n

lim n

1

1,

an

p

n

n

np

lim n

n

n

хотя при

p 1 этот ряд сходится, а при

p 1 - расходится.

p

p

p lim lnn

lim n

lim eln n n

e

e0

1 при лю-

31Обратите внимание, что

n

n n

n

n

бом

p , поскольку, применяя правило Лопиталя, имеем

lim

lnn

lim

1n

0.

n n

n 1

37

Замечание 3. Пределы, найденные в замечании 2, позволяют утвер-

ждать, что множители общего члена ряда, являющиеся многочлена-

ми переменной n, не влияют на величину пределов q, о которых

говорится в теоремах 4 и 5. Так ряды с общими членами

an (4n2 3) 2n и bn 2n порождают один и тот же предел q 2.

Замечание 4. Отметим, что признак Коши дает ответ на вопрос о схо-

димости или расходимости ряда во всех случаях, когда ответ на этот вопрос дает и признак Даламбера, а в некоторых случаях он может дать ответ и тогда, когда признак Даламбера бессилен. В этом смыс-

ле признак Коши является более сильным признаком, чем признак Даламбера.

Теоремы 5 и 6 представляют предельную форму признаков Даламбера и Коши. В ряде случаев может быть полезна и непредельная форма этих признаков.

Теорема 7 (Признак Даламбера (Коши) в непредельной форме).

Если для положительного ряда существует число q 1 такое, что, начи-

ная с некоторого номера k , справедливо неравенство

an 1 q n an q , an

то такой ряд сходится; если же при всех n k справедливо неравенство

an 1 1, n an 1 , an

то ряд расходится.

Рассмотрим несколько примеров. В каждом из них требуется

выяснить, сходится или нет данный	ряд. Напомним, что
n! 1 2 3 ... n, а n!! 1 3 5 2k 1, если	n 2k 1 — нечетное

число, и n!! 2 4 6 2k , если n 2k — четное число.

38

2n

Пример 16. n 1 n! .

Решение. В данном случае

2n

2n 1

2 2n

2

an

и an 1

an

.

n!

n 1 !

n! n 1

n 1

Поэтому

lim

an 1

lim

2

0 1.

n an

n n 1

Следовательно, по признаку Даламбера32 ряд сходится. Кстати,

тем самым доказано равенство lim 2n 0.Это следует из необходимого

n n!

признака сходимости.

2n !

2

2

3 4

2 3 4

5 6

Пример 17.

...

3 5

n 1

2n 1 !! 3

3 5

7

Решение. Здесь (2n 1)!! 3 5 7 (2n 1) ,

an

2n !

, и

2n 1 !!

an 1

2 n 1 !

2n 2 !

2n !

2n 1 2n 2

3 5 7 ... 2 n 1 1

2n 3 !!

2n 1 !!

2n 3

an 2n 1 2n 2 . 2n 3

Особенность этого ряда в том, что каждый следующий член ря-

да есть результат умножения предшествующего члена на определенный

32 Этот ряд можно исследовать на сходимость и с помощью признака Коши,

n n

если воспользоваться формулой Стирлинга n!~ 2 n .

e

39

множитель, свой для каждого члена ряда: так a1 умножается на мно-

житель

3 4

, a2

— на

5 6

; …;

an — на

2n 1 2n 2

и так далее. В

5

7

2n 3

результате получим, что

lim

an 1

lim

an 2n 1 2n 2

lim

2n 1 2n 2

1 и, следова-

n an

n

(2n 3) an

n

2n 3

тельно, по признаку Даламбера ряд расходится.

n

Пример 18.

x n!

x 0 .

n

n 1

n

xn 1 n 1!

Решение. Так как an

xnn!

и an 1

x xn n!

, то

nn

n 1 n 1

n 1 n

a

n 1

x xn n!

nn

x

nn

x

x

n

n

n

n 1

n

1

n

an

n 1

x

n!

n 1

1

n

n

и	lim	an 1		x	. По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится, ес-
n an				e		x e. В случае x e, т.е. когда
ли	0 x e , и расходится когда

lim an 1 1, признак Даламбера в предельной форме беспомощен. Рас-

n an

смотрим этот случай отдельно.

enn!

Пример 19. n 1 nn .

Решение. Из решения предыдущего примера имеем:

		1 n
Известно что, последовательность	1			стремится к
		n

an 1		e
					.
an		1	1	n
			n

e, монотонно

40

1 n

возрастая, следовательно, 1

e при любых n. Поэтому при всех

n

an 1

e

n N

1 и, значит, ряд расходится (непредельная форма

an

1

1

n

n

признака Даламбера, теорема 7).

n

Пример 20.

.

n

n 2

lnn

Решение. Ряд сходится по признаку Коши, поскольку

1

lim n

lim n

n

lim

n

n

0 1.

an

lnn n

n

n

n lnn

3n 1

n

Пример 21.

.

n 1

2n 3

Решение. Этот ряд по признаку Коши расходится, т.к.

				3n 1 n			3n 1 3
lim n an										1.
		lim n				lim
				2n 3
n		n				n 2n 3 2

Интегральный признак.

Введем следующее понятие. Функция y f x , определенная

на промежутке [1; ) называется производящей функцией ряда an ,

n 1

если f n an

n 1,2,3, .

Теорема 8 (Интегральный признак33). Пусть производящая функция положительного ряда f x непрерывна и монотонно убывает, когда

33 Или интегральный признак Коши.

[a;b]

41

x . Тогда для сходимости этого ряда необходимо и достаточно,

чтобы при n существовал конечный предел интеграла

n

f x dx .

1

► Выписанный чуть выше интеграл, являясь интегралом с переменным верхним пределом от положительной функции, с ростом n может только монотонно возрастать. Поэтому конечный предел, о котором идет речь в условии теоремы, существует в том и только в том случае если этот интеграл (как функция n) ограничен для n [1; ) .

Вот одно из свойств определенного интеграла: если функция

f x непрерывна на отрезке и m f x M , то

b

m(a b) f x dx M(a b).

a

В нашем случае f x непрерывна и монотонно убывает на промежутке [1; ], поэтому f k 1 f x f k дляx [k;k 1], и

k 1

f k 1 f x dx f k .

k

Последовательно полагая в этом неравенстве k=1,2,3, ...,n–1 и сумми-

руя получающиеся при этом неравенства, найдем что

42

2	n
f 2 f 3 f n f x dx	f x dx f 1 f 2 f n 1 или,
1	n 1
это то же самое34,

n

Sn a1 f x dx Sn 1

1

n

Последние неравенства показывают, что величины Sn и f x dx при

1

n либо обе ограничены, либо обе не ограничены, чем теорема и доказана, так как в обоих случаях ограниченность равносильна сущест-

вованию конечного предела. ◄

Первообразная F x непрерывной функции f x всегда пред-

ставима в форме определенного интеграла с переменным верхним пре-

x

делом: F x f t dt . Поэтому интегральный признак можно сформу-

1

лировать следующим образом:

Пусть производящая функция положительного ряда непрерывна, мо-

нотонно убывает, когда x , и F x — ее первообразная. Тогда числовой ряд сходится, если существует конечный предел

lim F x l, и расходится, если такого предела не существует.

x

Пожалуй, удобнее всего применять этот признак именно в таком виде.

34 Напомним, что f n an и	c	b	b
		f x dx f x dx	f x dx .
	a	c	a