Математика_Семестр2_РГР_Ряды

43

Несобственный интеграл f t dt определяют так:

1

x

	f t dt	lim		f t dt .
		x
1			1

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл на-

зывают сходящимся. В противном случае несобственный интеграл на-

зывают расходящимся.

Таким образом, если производящая функция f x положитель-

ного ряда непрерывна и монотонно убывает при x , то такой ряд и несобственный интеграл, выписанный выше, сходятся или расхо-

дятся одновременно.

Это еще одна форма записи интегрального признака.

Установить сходимость или расходимость указанных рядов с помощью интегрального признака.

1

Пример 22. n 1 np .

1

Решение. Производящая функция этого ряда f x . Очевидно, что xp

она непрерывна и монотонно убывает при x . Легко найти ее

первообразную F x :	F x lnx при			p 1 и	F x	x1 p	при p 1.
					1 p
Поэтому lim F x 0, когда		p 1 и		lim F x , когда			p 1. Таким
x			x

образом, по интегральному признаку обобщенный гармонический ряд

сходится при p 1 и расходится при p 1.

44

1

Пример 23.

.

q

n 2 n lnn

Решение.

В этом случае производящая функция ряда

f x

1

x ln x q

x 2;

непрерывна

и

монотонно убывает. Ее

первообразная

F x ln ln x если

q 1,

и

F x

ln x 1 q

, если

q 1. Легко увидеть,

1 q

что lim F x 0 при

q 1

и lim F x при

q 1. Итак, по инте-

x

x

гральному признаку исследуемый ряд сходится при q 1 и расходит-

ся, когда q 1.

e n

Пример 24. .

n 1 n

Решение. Этот ряд имеет непрерывную монотонно убывающую при

	x производящую функцию				f x			e	x		, имеющую первообраз-
									x
	ную F x 2e		. Так как	lim 2e			0, то по интегральному при-
		x				x
				x

знаку данный ряд сходится.

Выше были рассмотрены самые простые и чаще всего исполь-

зуемые достаточные признаки сходимости. В учебниках можно найти и другие признаки такого рода, но ни один из них не является универ-

сальным, одинаково подходящим для всех рядов. Для каждого ряда на-

до подбирать «свой» признак сходимости. Вернее, надо искать «свои» признаки сходимости – в некоторых случаях для установления сходи-

45

мости или расходимости ряда полезно прибегать к помощи двух, а воз-

можно и большего числа, признаков сходимости. Например, в следую-

щем примере расходимость ряда будет установлена с помощью двух

признаков – второго признака сравнения и интегрального признака.

n 5

Пример 25.

.

2

3n 7 ln 2n 1

n 1 n

Решение. Так как a

n 5

~

1

b

и lim

an

1,

n

n2 3n 7 ln 2n 1

nlnn

n

n bn

то исходный ряд, и ряд

1

по второму признаку сходимости схо-

n 2 nlnn

дятся или расходятся одновременно. Но последний ряд по интеграль-

ному признаку расходится (пример 23, q 1), поэтому расходится и исследуемый ряд.

УПРАЖНЕНИЯ

Исследовать на сходимость ряд an , если

n 1

1.	a		1						.
	n		2n 1
4.	a				1							.
	n				2n 1
7.	a	nsin								.
	n						n
10.	a			lnn				.
	n			3 n2

		an			1											an					3n
	2.											.		3.													.
					2n2 n 1													3n3 n2 1
	5.	a			1										. 6.	a				7n 2					.
		n					(n 1)(n 2)									n		3 3n5 n2
			3					arctg			1		.				n ncos					3	.
	8.	a				n2								9.		a
		n									n2					n						n
	11.	a	n2tg6							.				12.		a					n 1					.
		n							n							n					n(n 2)

46

13.

an

e n2 .

14.

an

ln(n 2) lnn.

15.

an

n 1

n

.

16.

a

n 1

.

17.

a

(3n 1)!

.

18.

a

(2n 1)!!

.

n

2n

n

n22n

n

3n (n 1)!

19.

a

nn

.

20.

a

e2n 1

.

21.

a

n100

.

n

n!

n

n!

n

2n

22.

a

1

.

23.

a

1

.

24.

a

1

.

nln3 n

n

n

nlnnlnlnn

n

n4 ln3 n

1

n2

n 1

n

25.

an

.

26.

a

n 1

.

27.

an

.

3

ln

5

n

n

n

n

3n

a

2n 1 n

29.

an

narcsin

n

1

.

a

1

n 1 n

28.

.

n

30.

.

3n 2

en

n

n

n

31.

a

n 1

2 .

32.

an

1

ln

n 2

.

33.

a

2n

n .

n n 1

n

n2 2

n

n 1

n .

(n!)2

.

34.

a

n

35.

a

n 1

n 1

36.

a

n

n 2

n

4 n3

n

(2n)!

37.

an

sin

.

38.

a

3n n!

.

39.

a

2n n!

.

n2

n

nn

n

nn

an

enn!

2n 5

2

1

n2

40.

.

41.

an

.

42.

a

1

.

n

n

5n 2

n

n

43.

a

n2

3n

.

44.

an

1

.

45.

a

nn 1

.

2n

(2n 1)n

n

n( n 3 n)

n

46.

1

1 5

1 5 9 (4n 3)

.

3n

2 2 4 6

(4n 2)!!

47.

an (n 1) 2n .

47

	10 10 13										10 13 (7 3n)											2		3
48.																49.	a				n		5	.
	1					1 5						1 5 (4n 3)						n				2
																							6
																				n
50.		3			3 5			3 5 7					3 5 (2n 1)			51.	a	n			(3n)!				.
								1 4 7												(n!)3!43n
		1 1 4										1 4 (3n 2)

1.2. Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

Как уже отмечалось, любой ряд, члены которого знакопостоян-

ны (начиная хотя бы с некоторого номера) могут быть исследованы на сходимость с помощью признаков сходимости, разработанных для по-

ложительных рядов. В общем случае эти признаки не применимы толь-

ко для тех рядов, у которых бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Такие ряды принято называть знакоперемен-

ными.

Тем не менее, и часть знакопеременных рядов также может быть исследована на сходимость с помощью признаков сходимости по-

ложительных рядов. Основанием для этого служит следующая теорема.

Теорема 9. Если сходится положительный ряд cn , то сходится и

n 1

знакопеременный ряд cn .

n 1

► Рассмотрим вспомогательный ряд

(c1 c1 ) (c2 c2 ) (cn cn ) (cn cn ) .

n 1

Очевидно, что

48

0 cn

cn

2

cn

для всех n .

Ряд 2cn получается в результате умножения на число ряда, сходя-

n 1

щегося в силу условий теоремы, и поэтому сходится35. Следовательно,

на основании второго признака сравнения для положительных рядов сходится и наш вспомогательный ряд. Поскольку знакопеременный ряд

cn (cn cn ) cn

n 1

n 1

n 1

представляет собой разность двух сходящихся рядов, то, на основании свойства 3 числовых рядов, он тоже сходится. ◄

Доказанная теорема формулирует лишь достаточный признак сходимости для знакопеременных рядов. Поэтому сходимость знакопе-

ременного ряда не означает, что сходится и ряд, составленный из моду-

лей его членов.

Каждый знакопеременный ряд порождает два знакопостоянных ряда – назовем один из них плюс-рядом, а другой – минус-рядом исход-

ного ряда. К плюс-ряду отнесем все без исключения положительные члены исходного ряда, а к минус-ряду – все его отрицательные члены.

Если плюс-ряд и минус-ряд исходного ряда сходятся36 то, как это сле-

дует из свойств числовых рядов, сходится и их сумма, т.е. исходный ряд. Знакопеременный ряд может сходиться и тогда, когда его плюс-

35 Смотри свойство 2 числовых рядов.

36 Они обязательно сходятся тогда, когда сходится ряд n 1cn .

49

ряд и минус-ряд расходятся. Но это будет уже сходимость иного рода.

В этом случае должно произойти взаимное погашение членов ряда с разными знаками – отрицательные и положительные члены ряда долж-

ны как бы частично «уничтожить» друг друга. Ряд cn при этом, ра-

n 1

зумеется, расходится.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящим-

ся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Сходящий-

ся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, со-

ставленный из модулей его членов, расходится.

Здесь надо обратить внимание на то, что абсолютная сходи-

мость данного ряда определяется как сходимость некоторого другого

ряда; именно поэтому требуется доказывать теорему 9: всякий абсо-

лютно сходящийся ряд сходится.

Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам поразительно схожи с конечными суммами: их можно почленно перемножать, как конечные суммы (распределительный закон); члены их можно произ-

вольно перемещать (переместительный закон) и группировать (сочета-

тельный закон), не нарушая этим сходимости ряда и не изменяя его суммы37. Таким образом,

если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него пере-

становкой членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд (теорема Дирихле);

37 Всеми этими свойствами обладают, конечно, и все знакопостоянные ряды, сходимость которых всегда имеет абсолютный характер.

50

абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно по-

членно складывать. В результате получается абсолютно сходя-

щийся ряд, сумма которого равна S1 +S2 ;

произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1

и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна

S1 S2 .

Под произведением двух рядов an bn понимают ряд вида

n 1 n 1

(a1b1) (a1b2 a2b1) (a1bn a2bn 1 anb1) .

Не будем останавливаться на доказательстве этих свойств. Они чисто формальны и не вызывают затруднений. Рассмотрим несколько подробнее условно сходящиеся ряды. Чуть дальше будет показано38,

что, так называемый, ряд Лейбница

		1		1		1		1
	1						1 n 1
								n
	2 3 4						n 1

сходится условно. Пусть его сумма равна S . На первый взгляд все бла-

гополучно — как у всякого сходящегося ряда частичные суммы стре-

мятся к нулю и даже не слишком медленно. Но это иллюзорное благо-

получие. Стоит только надлежащим образом изменить порядок членов,

и ряд получает другую сумму, а то и вовсе перестает сходиться. На-

пример, переставим члены ряда Лейбница так: за первым положитель-

ным членом ряда выписывается первая пара отрицательных членов, за

38 Смотри пример 26.

51

вторым положительным членом — вторая пара отрицательных членов и т. д. Затем найдем сумму первого и второго членов получившегося ряда, потом четвертого и пятого членов и т. д. В результате получим

S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

		2			3		4		5		6		2			4		3		6		8		5		10	12
	1		1		1		1			1		1		1	(1	1		1		1		1		1	)			1	S .
2		4			6		8		10		12		2			2		3		4		5		6			2

И в итоге оказалось, что сумма уменьшилась вдвое!

Понятно, конечно, что суммирование, при котором результат зависит от порядка слагаемых, совершенно не похоже на суммирование конечных сумм. Само название «условно сходящиеся ряды» имеет, по-

видимому, своей психологической предпосылкой желание называть та-

кие ряды сходящимися только с известной оговоркой. Более того, при некоторых перестановках членов такой ряд становится расходящимся.

Теорема 10 (Теорема Римана). Если ряд сходится условно, то для лю-

бого числа А можно найти такую перестановку членов данного ряда,

что после перестановки получится сходящийся ряд, имеющий своей суммой это число А. Можно указать и такую перестановку членов этого ряда, которая превратит его в расходящийся ряд.

Преимущество абсолютно сходящихся рядов по отношению к условно сходящимся рядам состоит, прежде всего, в том, что с абсо-

лютно сходящимися рядами можно производить такие же действия, как и с конечными суммами, при этом сумма ряда практически равна его частичной сумме с достаточно большим номером. Таким образом, раз-

личие между абсолютно и условно сходящимися рядами не только в

52

названии – оно имеет принципиальный характер. Вообще говоря, ис-

следуя знакопеременный ряд на абсолютную сходимость с помощью достаточных признаков, разработанных для положительных рядов,

можно получить ответ только на один вопрос: сходится исследуемый ряд абсолютно или нет. То есть, в общем случае, эти признаки ничего не могут сказать о расходимости ряда. Если абсолютной сходимости нет, то нужно продолжать исследования, чтобы получить ответ на сле-

дующий вопрос: данный ряд сходится условно или расходится? Прият-

ное исключение составляют признаки Даламбера и Коши. Если они го-

ворят «нет» абсолютной сходимости q 1 , то они тем самым гаран-

тируют и расходимость ряда. Это стало возможным потому, что при q 1 предел общего члена ряда не стремится к нулю (см. замечание 1

к признакам Даламбера и Коши) и, следовательно, по необходимому признаку сходимости ряд не может сходиться даже условно – он обяза-

тельно расходится.

Теорема 11 (Обобщенный признак Даламбера (Коши)). Если для

знакопеременного ряда cn существует предел

						n 1
			cn 1		q	lim n		q ,
	lim
							|cn |
		cn
	n					n

то ряд сходится абсолютно в случае q 1 и расходится в случае q 1.

Рекомендуем следующий алгоритм исследования знакопере-

менных рядов на сходимость: