Математика_Семестр2_РГР_Ряды

83

Теперь самое время задать вопрос — всегда ли ряд Тейлора,

выписанный для функции f x , имеет своей суммой именно эту функ-

цию f x , или же он может сходиться и к какой-то другой функции?

Записи формулы Тейлора и ряда Тейлора55 очень похожи и, ес-

ли считать Rn x rn x , то просто совпадают. Разумеется, в этом слу-

чае автоматически f x S x . Кроме того,	f	n x	S n x	0	при всех
		0

n — об этом заявляет теорема 22. Вроде бы все говорит о том, что именно f x есть сумма своего ряда Тейлора, т.е. S x f x . Однако,

к сожалению, в общем случае это не так. При одних условиях эти функции равны, при других – нет. Рассмотрим пример.

1

Функция y e x2 непрерывна во всех точках, кроме точки

x 0 , где она имеет устранимый разрыв. Доопределим эту функцию в точке x 0 , полагая, что f 0 0 . Теперь она стала непрерывной при всех x и имеет производную любого порядка в точке x 0 . Пользуясь определением производной, найдем, что f n 0 0 при любом n. Сле-

довательно, все коэффициенты этой функции Тейлора в точке x0 0

равны нулю и поэтому ее ряд Тейлора по степеням x имеет вид

0 0 x 0 x2 0 x3 0 xn 0

и сходится к S x 0. Итак, в рассмотренном случае S x f x .

Таким образом,

55 Записанного с остатком ряда.

84

1.если функция разлагается в степенной ряд, то этим рядом может быть только ряд Тейлора этой функции;

2.построив для бесконечно дифференцируемой функции ее ряд Тейлора, можно утверждать только то, что эта функция по-

рождает данный ряд;

3.утверждать, что функция разлагается в свой ряд Тейлора,

можно только после того, как будут проведены дополнитель-

ные исследования, подтверждающие равенство суммы этого ряда и функции, его породившей.

Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Повторим еще раз — разложение в степенной ряд на некотором промежутке возможно только для тех функций, которые имеют сходя-

щийся на этом промежутке ряд Тейлора. Следующие теоремы пред-

ставляют дополнительные условия, при выполнении которых сумма

этого ряда совпадает с функцией, его породившей.

Теорема 24. Для того чтобы ряд Тейлора функции f x сходился в промежутке G и имел своей суммой f x , необходимо и достаточно,

чтобы остаточный член формулы56 Тейлора функции	f x в проме-
жутке G стремился к нулю при n , т. е. чтобы lim	R (x) 057.
n	n

56	Обратите внимание, в теореме идет речь именно об остаточном члене фор-
мулы Тейлора Rn x , а не об остатке ряда rn x .
57	Условие lim r x 0 обеспечивает только сходимость ряда Тейлора к его
	n n

сумме S x , которая не обязана при этом совпадать с функцией f x .

85

► Пусть наш ряд Тейлора сходится именно к функции f x , т. е.

S(x) limT (x) f (x). Напомним, что многочлен Тейлора T (x)
n	n	n
функции	f x	совпадает с частичной суммой этого ряда. Формула

Тейлора позволяет записать Rn(x) f (x) Tn(x) . Поэтому

lim R (x) lim( f (x) T			(x)) f (x) limT (x) f (x) f (x) 0
n n	n	n	n	n
Теперь пусть	lim R (x) 0.		Так как T (x)	f (x) R (x) , найдем, что
	n	n	n	n
limT (x) lim( f (x) R			(x)) f (x) lim	R (x) f (x) 0 f (x)
n n	n	n	n	n

и, следовательно, S(x) limTn(x) f (x)◄

n

Исходя из теоремы 23, нетрудно доказать теорему, указываю-

щую более удобные для практических приложений достаточные усло-

вия разложимости функции в степенной ряд.

Теорема 25. Если функция f x бесконечно дифференцируема в про-

межутке G и все ее производные в этом промежутке ограничены од-

ним и тем же числом М : | f n x | M при всех n, тогда ряд Тейлора

функции f x сходится в промежутке G именно к функции f x .

►Оценим остаточный член формулы Тейлора, записав его в форме Ла-

гранжа: | R	x |	| f n 1 c |	| x x	0	|n 1		M	| x x	0	|n 1.
n		n 1 !					n 1 !

86

		M				n 1
Нетрудно убедиться, что степенной ряд n 1				| x x0	|		сходится
		n 1 !
при любом значении58 x, а, следовательно,	по второй теореме сравне-

ния сходится и ряд Rn(x) . Поэтому по необходимому признаку схо-

n 1

димости lim Rn(x) 0, а это означает выполнения условий теоре-

n

мы 24.◄

Разложение в ряд Тейлора некоторых функций (табличные раз-

ложения).

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Тейло-

ра (Маклорена) некоторых элементарных функций:

I. et 1 t

t2

...

tn

...,

t ; ,

R ;

n!

2!

t3

t5

n

t2n 1

II.

sint t

... 1

...,

t ; ,

R ;

3!

5!

2n 1 !

t2

t4

n

t2n

III.

cost 1

... 1

...,

t ; ,

R ;

2!

4!

2n !

t2

t3

n 1 tn

R 1 ;

IV. ln 1 t t

... 1

...,

t ( 1,1],

2

3

n

V. 1 t p 1 p t p p 1 t2 ... p p 1... p n 1 tn ..., R 1 .

1!

2!

n!

58 Легко найти, например, с помощью признака Даламбера, что радиус сходимости этого ряда R .

87

Разложение V называют биномиальным. Здесь предполагается,

что p не является натуральным числом. Если

p n — натуральное

число, то разложение V вырождается в бином Ньютона59. Сходимость

биноминального ряда в точках

t 1 и t 1 должна изучаться от-

дельно для каждого конкретного

p .

Отметим некоторые наиболее часто встречающиеся частные

случаи биноминального ряда:

p=

1

;

1

1

t

1

t2

1 3

t3 ( 1)n 1

(2n 3)!!

tn

1 t

2

2

22 2!

23 3!

2n n!

p=

1

;

1

1

1

t

1 3

t2

1 3 5

t3 ( 1)n

(2n 1)!!

tn

2

1 t

2

22 2!

23 3!

2n n!

p 1;

1

1 t t2

... tn ...

1 t

Выпишем еще две часто используемые формулы — разложения для гиперболического синуса и гиперболического косинуса. Эти раз-

ложения легко получить из разложения I для экспоненты:

sht

et e t

t

t3

t5

t2n 1

,

3!

5!

2

(2n 1)!

cht

et e t

t2

t4

t2n

1

2

2!

4!

(2n)!

В разложениях I-V традиционное обозначение аргумента функ-

ции x сознательно заменено менее традиционным обозначением t.

59 Все коэффициенты биноминального разложения, начиная с n 2 го, обратятся в нуль.

88

Это сделано для большего удобства дальнейшего использования этих разложений. Поскольку в приложениях эти разложения используются довольно часто, то их полезно помнить.

Докажем разложения I-V.

► I. f x ex . Производная всех порядков от экспоненты60 есть сама

экспонента: f (n) x ex . Поэтому

		0			f n 0		1
							.
	f 0 f		f 0 1 и an
					n!			n!

Пусть x [ h;h]. На этом отрезке справедливо неравенство

| f (n) x | ex eh . Это означает, что все без исключения производные

экспоненты ограничены числом eh . Условия теоремы 25 выполнены и функция ex разлагается в сходящейся ряд Тейлора на этом отрезке при любом h, иначе говоря, при любом x61.◄

► II. f x =sin x . В этом случае

f

x cosx,

f

(4)

x sin x ,

x cosx,

f x sin x, f

Поэтому

f 0 0,

f

,

f

0 1,

f

(4)

0 0, и далее в

0 1, f

0 0

том же порядке. Величина an

зависит от четности или нечетности n:

sin

(2k 1)

sink

( 1)k 1

a2k

0, a2k 1

2

(2k)!

(2k 1)!

(2k 1)!

60Функцию ex называют экспонентой.

61Какое бы x мы не взяли легко указать число h такое, что бы | x| h .

89

Кроме того, всегда

f (n) x cosx либо f (n) x sin x

и, следовательно, | f (n) x | 1. По теореме 25 приходим к нужному вы-

ражению. В этом ряде присутствуют только нечетные степени x, что естественно, так как sin x — нечетная функция.◄

►III. f x =cosx. Разложение в ряд Тейлора для функции cosx легко получить как результат почленного дифференцирования ряда Тейлора для функции sin x , так как (sin x) =cosx.◄

►IV. f x =ln(1 x) . Так как равенство

1 1 x x2 x3

1 x

справедливо для x ( 1;1) (в правой части равенства располагается

бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем q x), то, ис-

пользуя возможность почленного интегрирования ряда, получим

x	dt	x	x	x	x	x	2		x	3
		dt tdt t2dt t2dt или ln(1 x) ln1 x
	1 t					2
0		0	0	0	0			3

Вспоминая, что ln1 0, придем к нужному разложению. Можно пока-

зать62, что наше разложение справедливо при x=1 и

ln2 1 1 1 1 ◄ 2 3 4

62 При x 1 ряд справа есть условно сходящийся ряд Лейбница и, кроме того,

limRn (1) 0 .

n

90

► V. f x =(1 x)p . Интересен случай, когда p не является натураль-

ным числом63. К сожалению, проверка условий теорем 24 или 25 весьма сложна. Поэтому для доказательства биноминального разложения вос-

пользуемся методом неопределенных коэффициентов, широко приме-

няемым при решении дифференциальных уравнений.

Прежде

всего,

отметим,

что

p 1

,

f 0 1

и

f

x = p (1 x)

(1 x) f

(x) p f (x). Попытаемся найти сходящийся степенной ряд

y(x) a

0

a x a

2

x2 a

x3

a

n

xn ,

1

3

сумма

которого удовлетворяет

равенству

64

и

(1 x)y

(x) py(x)

y 0 1.

Последнее условие требует,

что бы a0

1.

Подставляя ряд в

это равенство, получим

(1 x)(a 2a

2

x 3a x2 na

n

xn 1

) p(1 a x a

2

x2 a

n

xn ).

1

3

1

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (сле-

ва и справа), находим коэффициенты ряда:

x0 : a1 p ;

x: a 2a pa , a			2			a1 (p 1)				p(p 1)			;
1	2	1					2				2!
x2 : 2a	3a	pa		2	,	a		a3 (p 2)				p(p 1)(p 2)
2	3					3	3				3!

и т. д. По индукции можно показать, что

63При натуральном p имеем бином Ньютона.

64Это равенство представляет собой дифференциальное уравнение.

91

an p(p 1)(p 2) (p n 1) . n!

Так мы найдем все коэффициенты нашего ряда. Определяем теперь его радиус сходимости:

R lim	|an |	lim	| p(p 1) (p n 1)(n 1)!|	lim	(n 1)	1.
n |an 1 |		n | p(p 1) (p n 1)(p n)n!|		n |(p n)|

Итак, сумма найденного ряда определена в промежутке (–1;1), имеет производную и удовлетворяет двум выписанным выше условиям. По-

кажем теперь, что суммой нашего ряда является функция (1 x)p . Для

этого составим отношение

C(x)

y(x)

. Выпишем производную

(1 x)p

этого отношения

p

p(1 x)

p 1

y(x)

y (x)(1 x)

y (x)(1 x) py(x)

C (x)

.

(1 x)2p

(1 x)p 1

x ( 1;1) и,

Так как (1 x)y

(x) py(x) ,

то C (x) 0 при всех

следовательно,

C есть некоторое число, а так как по второму условию

C(0)

y(0)

1,

то C(x) 1

при

всех

x ( 1;1). Таким образом,

1p

y(x) (1 x)p на интервале x ( 1;1), а это означает, что биноминаль-

ное разложение имеет место.◄

Всякий раз, раскладывая функцию в ряд Тейлора, весьма хло-

потно проводить весь «букет» необходимых исследований – строить ее ряд Тейлора, а затем доказывать, что он сходится к породившей его функции. Много проще раскладывать функцию в ряд Тейлора, исполь-

92

зуя свойства сходящихся рядов и набор разложений в ряд Тейлора ос-

новных элементарных функций — разложения I-V. При таком подходе рассматриваемую функцию стараются представить в виде комбинации функций, входящих в такой набор, а затем, используя уже известные разложения, выписывают искомое разложение. Похожая ситуация име-

ет место, например, при вычислении производных элементарных функ-

ций с помощью табличных производных. По аналогии, разложения I-V

естественно назвать табличными.

Отметим, что возможность почленного дифференцирования и интегрирования (теоремы 20 и 21) позволяет легко найти разложение функции в ряд Тейлора, если известно разложение в ряд Тейлора ее

производной или первообразной.

Пример 34. Разложить в ряд Тейлора по степеням x 1 функцию f x 1 .

x 2

1

1

1

1y

Решение.

Пусть

y x 1,

тогда

x y 1 и

. В

x 2

y 3

3

1

3

этом случае следует воспользоваться биноминальным разложением V

p 1 , считая t

y

x 1

:

3

3

1

1

x 1

x 1 2

n x 1 n

x 2;4 ,

1

... 1

... ,

x 2

3

32

3n

3

Этот ряд сходится,

если

t

1, следовательно,

интервал сходи-

мости ряда x 2;4

и R 3

Пример 35. Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию f x cos2 3x.