Математика_Семестр2_РГР_Ряды

63

При фиксированном значении для разных точек xi G соот-

ветствующие номера Ni , вообще говоря, будут разными. Но это толь-

ко, «вообще говоря». В «принципе» не исключается возможность су-

ществования рядов, для которых при любом фиксированном 0 все-

гда найдется номер N , один и тот же для всех x G , такой, чтобы не-

равенство	S x Sn x		выполнялось при всех n N и	всех
x G . Такие ряды (номер N в этом случае зависит только от				и не
зависит от x), называют равномерно сходящимися.
Определение. Ряд un x			равномерно сходится в промежутке G к

n 1

сумме S x , если для любого 0 можно выбрать номер N N

так, чтобы для всех n N и всех x G выполнялись неравенства

S x Sn x .

Непосредственное использование определения при выяснении вопроса о равномерной сходимости конкретных рядов, как правило,

весьма затруднительно, и поэтому обычно пользуются достаточно про-

стым признаком Вейерштрасса, охватывающим основные интересные,

с точки зрения практики, случаи.

Теорема 13 (Признак Вейерштрасса). Если для всех x G , начиная с некоторого номера, выполняется неравенство un x an и положи-

64

тельный числовой ряд an	сходится, то ряд un x равномерно
n 1	n 1

сходится в промежутке G .

► Из сходимости числового ряда в силу критерия Коши и условий тео-

ремы для любого 0 на промежутке G при всех достаточно боль-

ших n и любом натуральном k выполняется неравенство

|u(x)n 1 u(x)n 2 u(x)n k | | an 1 an 2 an k | .

Следовательно, по тому же критерию Коши на промежутке G сходит-

ся и ряд un x . Поэтому найдется такое K , что для n K и всех

n 1

xG будут справедливы неравенства S x Sn x .◄

Функциональные ряды, для которых выполняются условия при-

знака Вейерштрасса, еще называют правильно сходящимися (или ма-

жорируемыми) рядами.

sin

nx

Так,

например,

ряд

равномерно сходится в R , по-

n

2

n 1

sin

nx

1

1

скольку

,

а ряд

, как известно, сходящийся.

n

2

2

2

n

n 1

n

Замечание. Нельзя забывать, что признак Вейерштрасса является только достаточным. Это означает, что могут существовать не ма-

жорируемые на промежутке G ряды, которые, тем не менее, равно-

мерно сходятся на этом промежутке.

65

Функциональные свойства суммы ряда.

Если для арифметических действий с рядами важна их абсо-

лютная сходимость, то функциональные свойства суммы ряда во мно-

гом определяет его равномерная сходимость. В первую очередь рас-

смотрим вопрос о том, при каких условиях можно быть уверенным в непрерывности суммы ряда, если известно, что все его члены непре-

рывны. Что сумма S x ряда может при этом оказаться и разрывной,

показывает следующий пример: при 0 x 1		для ряда (xn 1 xn )
		n 1
находим, что
Sn x (1 x) (x x2) (x2 x3) (xn 1 xn) 1 xn
	1при 0 x 1
и, следовательно, S(x) lim(1 xn)		.
n	0 при x 1

Таким образом, все члены рассмотренного ряда непрерывны и этот ряд сходится во всех точках отрезка 0 x 1, но его сумма имеет точку разрыва (скачок) x 1.

Теорема 14. Если функциональный ряд равномерно сходится на про-

межутке G и все члены этого ряда непрерывны на G , то и его сумма непрерывна на промежутке G .

► Произвольно зафиксируем сколь угодно малое ~ 0 и любое зна-

чение x0 G.

66

В силу равномерной сходимости ряда существует такое K , что

при n K и всех				x G , в том числе и				x x0 , справедливы неравен-
ства
	S x S		x			~	.
		n				3

Непрерывность членов ряда говорит о непрерывности его частичных

сумм. Поэтому,

какое бы не было ~,

всегда найдется такое ~, что ес-

ли | x x | ~ , то

0

S

x S

x

~

.

n

n

0

3

Для такого ~ и некоторого фиксированного n K имеем

S x S x0

S x Sn x Sn x Sn x0 Sn x0 S x0

S x S

n

x

S

n

x S

n

x

| | S

n

x

S x

~

3

~

3

~

3

~ .

0

0

0

Итак, для любого ~ 0

найдется ~ 0, такое что если | x x | ~

,

0

то

S x S x

~ и, следовательно,

lim S(x) S(x ). Поэтому сумма

0

x x0

0

ряда является непрерывной функцией.◄

Заметим, что сумма ряда может оказаться непрерывной функ-

цией и при отсутствии равномерной сходимости этого ряда. Равномер-

ная сходимость ряда непрерывных функций, гарантируя непрерывность его суммы, не является, таким образом, необходимым условием непре-

рывности.

Имеют место следующие важные теоремы.

67

Теорема 15. Пусть функциональный ряд un x , члены которого яв-

n 1

ляются непрерывными функциями, равномерно сходится на отрезке

a,b и S x его сумма. Тогда

b	S x dx	b		n		b		n	x dx,
			u				u
					x dx
a		a n 1				n 1 a

т. е. интеграл от суммы членов ряда равен сумме интегралов от чле-

нов ряда.

► Так как ряд сходится равномерно, то для любого 0 существует

такое K , что при

n K

и всех x a,b

справедливы неравенства

S x S

x

. Но тогда в силу свойств определенного интеграла

n

b a

b

b

b

b

b

| S x dx Sn x dx| | S x Sn x |dx

dx

dx

b a

b a

a

a

a

a

a

для n K . Иными словами

b

b

n

n

n b

n

x dx

b

n

x dx .◄

n

S

u

u

S x dx lim

x dx lim

a

a

n 1 a

n 1 a

Теорема 16. Если функциональный ряд un x ,

члены которого име-

n 1

ют на промежутке G непрерывные производные un x , сходится (не

обязательно равномерно) на этом промежутке и S x

— его сумма, а

	x , составленный из производных, сходится на	G равномер-
ряд un
n 1
но, то

68

											x .
			u						u
S	x			n	x					n
	n 1							n 1

В этом случае производная от суммы ряда существует и равна сумме производных от членов ряда.

► Пусть f (x) u1(x) u2(x) un(x) и [x0;x] G . По усло-

вию теоремы этот ряд сходится равномерно и, следовательно, теоре-

ма 15 позволяет записать

x		x
			t dt [un x un x0 ] S(x) S(x0) .
f t dt un
x	0	n 1 x	n 1
		0

x

Дифференцируя это равенство, получим ( f t dt) (S x S x0 ) или

x0

S (x) u1(x) u2(x) un (x)

Здесь принято во внимание, что функция f (x) непрерывна, как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций (теорема 14), и,

следовательно, по теореме о производной от интеграла по переменному

x

верхнему пределу ( f t dt) f x , а (S x0 ) 0. ◄

x0

Замечание. Обратите внимание, в теореме 16 равномерная сходимость требуется не от самого ряда, а от ряда, составленного из производ-

ных его членов. Равномерная сходимость самого ряда, вообще гово-

ря, не дает права почленно дифференцировать этот ряд. Например,

						69
	sin n	2	x			1
ряд				мажорируется	сходящимся рядом		и поэтому
	2					2
n 1	n				n 1	n
равномерно сходится при всех					x, тем не менее, ряд cos n2x , со-

n 1

ставленный из производных его членов, расходится44.

2.2. Степенные ряды.

Степенные ряды и области их сходимости.

Среди функциональных рядов особо важную роль в математи-

ческом анализе и в инженерной практике играют так называемые сте-

пенные ряды. Эти ряды являются прекрасным математическим инстру-

ментом, позволяющим решить многие практические задачи.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд

a0 a1 x x0 a2 x x0 2 ... an x x0 n ... an x x0 n ,

n 0

где a0 ,a1,...,an... — числа, называемые коэффициентами степенного ряда45. Здесь un x an x x0 n . Точку x0 называют центром степен-

ного ряда.

44Он расходится по необходимому признаку, например, при x 0 все un 0 1.

45Члены степенного ряда принято нумеровать, начиная с нуля. Вначале идет

нулевой член (при нулевой степени x), затем первый, второй и т. д. Некоторые из них могут быть нулями.

70

Заменой y x x0 степенной ряд легко сводится к более про-

стому виду an yn . В дальнейшем для простоты записи, как правило,

n 0

будем предполагать, что x0 0.

Степенной ряд anxn представляет собой непосредственное

n 0

обобщение многочлена и, как увидим далее, по свойствам весьма схож с многочленами. Такой «бесконечный многочлен» является одним из наиболее простых типов функционального ряда

Очевидно, всякий степенной ряд всегда сходится, по крайней мере, в одной точке x 0. Нетрудно убедится в том, что существуют степенные ряды, сходящиеся только в одной этой точке, и есть ряды,

областью сходимости которых является вся числовая ось. Для того,

чтобы удостовериться в этом, достаточно исследовать на сходимость46

		x	n
ряды n!xn	и			.
n 0	n 0	n!

Как оказалось, степенной ряд имеет весьма специфическую об-

ласть сходимости. Ее вид определяет теорема Абеля.

Теорема 17. (Теорема Абеля). Если степенной ряд anxn сходится в

n 0

точке x x1 x1 0 , то он абсолютно сходится и при всех x, для ко-

46 Например, с помощью обобщенного признака Даламбера.

71

торых x x1 ; если этот ряд расходится в точке x x2 , то он рас-

ходится и при всяком x, для которого x x2 .

► По условию теоремы числовой ряд anx1n сходится, поэтому по

n 0

необходимому признаку сходимости lim anx1n 0 и, следовательно, по-

n

следовательность членов ряда ограничена. Это означает, что существу-

ет такое число M , что для всех членов ряда справедливо неравенство anx1n M . Произвольно выберем значение ~x , удовлетворяющее усло-

вию ~x x1 . Имеем

~n

~n

n

~n

n

~

n x

x

, где q

x

1.

anx

anx1

anx1

Mq

xn

xn

x

1

1

1

Таким образом, числовой ряд an~xn мажорируется по модулю сходя-

n 0

щейся геометрической прогрессией, а потому по первому признаку сходимости сходится, причем абсолютно.

Пусть ~x любое число, удовлетворяющее неравенству ~x x2 .

Предположим, что в этой точке степенной ряд сходится. Тогда, по уже доказанной первой части теоремы, степенной ряд сходится и в любой точке x, для которой x ~x , в том числе и в точке x2 , где по условию теоремы ряд расходится. Полученное противоречие доказывает вторую часть теоремы.◄

72

Следствие. Для каждого степенного ряда anxn можно указать число

				n 0
R 0	такое, что он будет абсолютно сходится в интервале R,R								и
расходится при x ; R R; . Возможно R 0							или R .
► Пусть Е — множество абсолютных величин чисел							x	из области
сходимости			нашего ряда	и R есть точная	верхняя			грань	Е:
R supE 47.			Очевидно, что	R 0. Положим, что		R есть конечное
число отличное от нуля. Возьмем любое число					x,	удовлетворяющее
условию |		x| R. Из определения R следует, что обязательно найдется
число	~	принадлежащее		области сходимости		ряда,		такое, что
	x ,
| x| |	~				~
	x | R. Но тогда, если ряд сходится в точке x , по теореме Абеля

он обязан абсолютно сходиться и в выбранной нами точке x, следова-

тельно, он сходится абсолютно при всех x R,R .

Числа, для которых | x| R, не принадлежат области сходимо-

сти ряда. Следовательно, ряд расходится, если | x| R. При R 0 сте-

пенной ряд сходится только в одной точке x 0, если же R , то ряд будет абсолютно сходиться при всех значениях x.◄

Сходимость ряда в точках x R и x R исследуется для каждого ряда индивидуально. В этих точках степенной ряд может схо-

диться или расходиться, причем сходиться как абсолютно, так и услов-

но.

47 Точная верхняя грань Е (sup E ) — «самая маленькая» верхняя грань множе-

ства Е: для любого 0 найдется число ~x E такое, что ~x supE .