Математика_Семестр2_РГР_Ряды

13

ность, тем большее число членов ряда надо просуммировать. Поэтому в теории рядов первостепенное значение имеет вопрос сходимости ряда,

и одной из главных задач теории является выявление признаков, позво-

ляющих на этот вопрос ответить.

Пример 1. Фактически с понятием суммы ряда встречаются уже в школе при выводе суммы всех членов бесконечно убывающей прогрес-

сии. Напомним, что бесконечная геометрическая прогрессия, т.е. ряд

b bq bq2 ... bqn 1 ... bqn 1

n 1

сходится, лишь когда

q

1: его n-я частичная сумма

Sn

b

1 qn и S lim Sn

b

при

q

1.

1 q

n

1 q

Пример 2. Рассмотрим ряд

1–1+1–1+…+(–1)n 1 +…= 1 n 1 .

n 1

Частичные суммы ряда, имеющие нечетные номера, равны 1, а

частичные суммы с четными номерами равны 0. Так как последова-

тельность 1, 0, 1, 0, предела не имеет, то данный ряд расходится.

Заметим, что в XVIII веке понятие сходимости ряда еще не бы-

ло строго определено. Математики весьма часто оперировали и расхо-

дящимися с нашей точки зрения рядами, приписывая им определенные суммы, которые обычно получали в результате более или менее слож-

14

ных выкладок, заранее предполагая, что такая сумма существует. Так,

например, обозначая «сумму» ряда из примера 2 буквой S , запишем

1 1 1 1 1 1 S .

Если теперь первый член ряда перенести в правую часть, то получим

1 1 1 1 1 S 1.

Но ряд, стоящий слева, отличается от исходного ряда только знаками своих членов, поэтому его сумма равна S . Итак,

S S 1, или 1 2S и S 1 2

Математик из Пизанского университета Гранди в одном из сво-

их трудов (1710 г.) замечает, что если в равенстве

1 1 1 1 1 1 1 2

складывать члены ряда попарно: первый со вторым, третий с четвер-

тым, пятый с шестым и т. д., то получается,

0 0 0 0 0 1 или 0 1 . 2 2

Его это не смутило. Такое несоответствие есть символ создания мира, заявлял Гранди, оно лишь показывает, как Всевышний, взяв Все-

ленную, части которой в сумме давали НИЧТО, сумел в итоге создать

НЕЧТО. Кстати, если расставить скобки в нашем ряду в ином порядке: 1+(–1+1)+(–1+1)+…, то сумма того же ряда уже будет равна 1. Тем не менее, правильное значение суммы этого ряда, по мнению Гранди, рав-

15

но 0,58. И как это сейчас ни странно, знаменитые математики Эйлер и Лейбниц с этим согласились. Выписанные выше утверждения пред-

ставляют собой типичный пример «правдоподобных рассуждений», ос-

нованных на неких «философских» соображениях, а не на строгих ма-

тематических понятиях и поэтому весьма далеких от истины.

Пример 3. Исследуем на сходимость ряд

	1				1					1				1
								...					...			.
			2 3							n n 1				n n 1
1 2													n 1
Решение. Так как
	1					1			1		,
	n n 1					n
									n 1

то для n й частичной суммы ряда получаем выражение

	1		1			1			1		1
Sn 1								...					.
	2			2		3					n 1
								n

После раскрытия скобок все слагаемые, кроме первого и последнего,

взаимно уничтожаются и в результате Sn 1					1	. Отсюда следует,
					n 1
что lim Sn 1. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1.
n
	1
Пример 4. Ряд				расходится, поскольку
n 1		n

8 И вот почему. Отец оставил двум сыновьям в наследство драгоценный камень с условием, что камень этот будет у каждого сына попеременно, по одному году. Братья поровну владеют камнем, следовательно, доля каждого брата в обладании камнем равна 0,5. Но, с другой стороны, если подсчитать, принимая год владения за +1, а год, в течение которого камень находился у другого брата, за –1, то получится, что указанная доля равна 1–1+1–1+...

16

Sn	1	1				1			...	1			n	1
																		n
	2					3					n				n

и поэтому lim Sn lim n 9.

n n

Кстати, любое иррациональное число (бесконечная десятичная дробь) есть не что иное, как сумма определенного ряда. Например,

	3,1416... 3		1			4			1			6	...
		10			102			103			106

Необходимый признак сходимости

Теорема 1 (Необходимый признак сходимости). Если ряд сходится,

то его общий член стремится к нулю, т.е. lim an 0.

n

► По условию теоремы ряд сходится, следовательно, lim Sn S , а по-

n

этому и lim Sn 1 S . Учитывая, что an Sn Sn 1 , получим

n

lim an lim(Sn Sn 1) S S 0◄

n n

Обратите внимание, теорема 1 не дает никаких оснований пола-

гать, что ряд обязан сходиться, если предел общего члена ряда равен нулю. В общем случае это, конечно, не так. Существуют расходящиеся ряды10, у которых общий член, тем не менее, стремится к нулю.

9 Если k n, то верно неравенство

1

1

.

k

n

1

10 Например, ряд

(см. пример 4).

n 1

n

17

Подчеркнем еще раз, в теореме 1 сформулирован лишь необхо-

димый признак сходимости, т.е. это такой признак, при нарушении ус-

ловий которого ряд сходиться НЕ МОЖЕТ. Иными словами, если предел общего члена ряда не равен нулю, то такой ряд может ТОЛЬКО рас-

ходиться11.

Таким образом, МОЖЕТ сходиться только тот ряд, общий член которого стремится к нулю (является бесконечно малой величиной), а

сходится он при этом или расходится, зависит, очевидно, только от то-

го, «как быстро» его общий член стремится к нулю, т.е. от того, каков порядок его малости. Можно предположить, что существует некая

«критическая» скорость стремления к нулю общего члена ряда и если он стремится к нулю со «скоростью» большей «критической» скорости,

то ряд сходится, а если с меньшей – расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Так как

n 1			n		1 n		e 0,
lim				lim 1
	n
n				n	n

n 1 n .

n 1 n

то по необходимому признаку сходимости этот ряд расходится.

Вообще говоря, исследование любого ряда на сходимость целе-

сообразно начинать с вычисления предела его общего члена. Если этот предел не равен нулю, то задача решена – ряд расходится. Если же он

11 Действительно, если бы ряд сходился, то по теореме 1 nlim an 0. Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.

18

равен нулю, то надо переходить к следующему этапу исследования. В

этом случае ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Основные свойства рядов.

Из определения суммы ряда следует, что свойства рядов выте-

кают как из свойств конечных сумм, так и свойств последовательно-

стей, имеющих предел:

Свойство 1.Отбрасывание конечного числа членов ряда или присоеди-

нение нескольких новых членов не отражается на его сходимости12.

► Обозначим через s сумму отброшенных членов, через k − наи-

больший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию остав-

шихся членов нашего ряда, будем считать, что на месте отброшенных

членов	поставлены нули. Тогда при n k выполняется равенство
Sn Sn	s , где Sn, Sn — частичные суммы исходного ряда и ряда,

полученного из исходного после отбрасывания конечного числа его

членов. Поэтому lim Sn	lim Sn s	и lim Sn	lim Sn	s, следова-
n	n	n	n

тельно, пределы в левой и правой частях одновременно существуют или нет, т. е. каждый из этих рядов сходится тогда и только тогда когда сходится и другой ряд.◄

Ряд

rn an 1 an 2 ... ak	... ak
	k n 1

12 Естественно, сумма сходящегося ряда при этом изменится.

lim rn 0.

n

19

называется n-м остатком ряда. Он получается из ряда отбрасыванием n первых его членов. Согласно свойству 1 ряд и его остаток одновре-

менно сходятся или расходятся и если ряд сходится, то его остаток (в

этом случае rn S Sn ) стремится к нулю при n , т. е.

Свойство 2. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то сходимость его не нарушится, а сумма умножится на это же число.13

► Обозначим n-ю частичную сумму ряда сak , где с — произволь-

k 1

ное число, через Sn . Тогда

Sn =ca1 сa2 ... сan c(a1 a2 ... an ) cSn .

Следовательно,

lim Sn =limсSn cS ,

n n

т. е. ряд сходится и его сумма равна cS .◄

Свойство 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычи-

тать. Сумма ряда, получившегося при этом, равна соответственно сум-

ме или разности сумм этих рядов.

n	n	n
► Пусть Sn = ak ,	Sn = bk	и Sn = (an bk ), а S , S и S соот-
k 1	k 1	k 1

ветственно суммы этих рядов. Тогда

13 Легко показать (от противного), что в результате умножения членов расходящегося ряда на число не равное нулю получается тоже расходящийся ряд.

20

S =lim Sn	lim(Sn	Sn) lim Sn	lim Sn =S S .◄
n	n	n	n

Замечание 1. Из сходимости ряда an bn не вытекает сходи-

n 1

мость рядов an	и bn . Действительно, сходящийся ряд
n 1	n 1

0+0+0+… получается в результате почленного сложения расходя-

щихся рядов 1+1+1+… и –1–1–1–….

Замечание 2. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд. В справедливость данного утверждения можно легко убедиться методом от противного.

Свойство 4. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объе-

динить в группы, то получившийся при этом ряд14 также сходится и сумма его совпадает с суммой исходного ряда.

► Частичные суммы ряда, появившегося в результате объединения в группы каких то членов исходного ряда, одновременно будут и частич-

ными суммами исходного ряда. Поэтому бесконечная последователь-

ность частичных сумм нового ряда, являясь частью (подпоследователь-

ностью) последовательности частичных сумм заданного ряда15, имеет тот же самый предел, равный сумме исходного ряда. ◄

Замечание 3. Это свойство необратимо: раскрытие скобок в сходя-

щемся ряде может превратить его в расходящийся ряд. Это видно на примере ряда (1–1)+(1–1)+(1–1)+…, который сходится, т.к. каждый

14Его члены представляют собой суммы членов рассматриваемого ряда объединенные в эти самые группы.

15Она получается в результате «вычеркивания» каких-то ее членов.

21

его член равен нулю. В тоже время, раскрыв скобки, получим расхо-

дящийся ряд 1–1+1–1+… (пример 2).

Сходимость положительных рядов.

Вобщем случае, пользуясь только определением, исследовать числовой ряд на сходимость удается далеко не всегда. Основную труд-

ность представляет нахождение компактного выражения для n й час-

тичной суммы ряда. Ниже будут рассмотрены несколько достаточных признаков сходимости рядов, с помощью которых сходимость или рас-

ходимость ряда может быть установлена лишь на основании изучения его общего члена.

Наиболее просто вопрос о сходимости решается для рядов, все члены которых положительные числа16. Такие ряды принято называть

положительными.

Специфика положительных рядов заключается в том, что последовательности частичных сумм таких рядов всегда МОНО-

ТОННО ВОЗРАСТАЮТ: Sn 1 Sn an 1 0 и, следовательно Sn 1 Sn .

Поэтому, на основании теоремы о пределе монотонной последо-

вательности17, имеем:

Теорема 2 (Критерий сходимости положительных рядов). Для

сходимости положительного ряда необходимо и достаточно,

16В общем случае нулевые члены ряда можно не принимать во внимание это не отразится ни на его сходимости, ни на его расходимости.

17Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда когда она ограничена сверху (снизу).

22

чтобы последовательность его частичных сумм была ограни-

чена сверху.

Умножение всех членов ряда на –1 не отражается на его сходи-

мости, так же как не сказывается на сходимости ряда и отбрасывание конечного числа его членов. Поэтому, на это надо обратить особое внимание, все, что справедливо для положительных рядов (в плане ис-

следования на сходимость), справедливо и для любого ряда, все члены которого, положительные (или отрицательные) только начиная с неко-

торого номера.

Сам по себе критерий сходимости положительных рядов мало пригоден для практического использования. Однако, на основе этого критерия были получены эффективно работающие достаточные при-

знаки сходимости, некоторые из них приводятся ниже.

Теоремы сравнения.

Рассмотрим два положительных ряда

a1 a2 a3 ... an	(А)
n 1
b1 b2 b3 ... bn	(В)
n 1

При выполнении неравенства an bn ряд (В) принято называть мажо-

рантным по отношению к ряду (А), а ряд (А) – минорантным по отношению к ряду (В)18.

18 Так как конечное число членов ряда не влияют на его сходимость, то, вообще говоря, достаточно чтобы неравенство an bn выполнялось, начиная с не-

которого K , т.е. лишь для n K .