11.2. Взаимное пересечение многогранников.

Линия пересечения многогранников представляет собой одну или две замкнутые ломаные линии. Отрезки ломаной линии являются линиями пересечения граней, а точки излома - точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Отсюда два способа решения задачи:

1. Способ ребер;

2. Способ граней.

В основе первого способа лежит задача на нахождение точек пересечения прямой (ребра) с плоскостью (гранью) или многогранником; в основе второго способа - построение линии пересечения граней.

Второй способ приводит к большому числу графических операций. Найденные точки последовательно соединяют в пределах каждой грани поверхности с учетом видимости.

Пример: построить линию пересечения пирамиды SABC с прямой призмой (рис. 79а,б).

Боковые ребра призмы проецируются в точки, а боковые ее грани являются горизонтально проецирующими отсеками плоскостей. Поэтому эта задача представляет частный случай пересечения, когда одна проекция линии пересечения многогранников известна. Точки пересечения ребер пирамиды с призмой легко определяются на горизонтальной проекции. Отмечают точки 1, 2 как точки пересечения ребра SA соответственно с гранью kl и kf ; точки 3, 4 - пересечения ребра SA с гранями kl и lf; 5, 6 - пересечения ребра SC с гранями kl и lf .

Ребра к и l призмы с пирамидой не пересекаются, а для нахождения точек ребра f призмы с пирамидой через него проводим горизонтально - проецирующую плоскость а и, таким образом, получаем точки 7 и 8 соответственно в гранях SAB и SBC. Соединять следует только точки, лежащие в одной грани, например, точки 3 и 5, пересечение грани kl и SAC; 4 и 7 - граней SAB и lf и т.д.

Определяем видимость точек на каждой проекции.

Условная развертка поверхностей.

Для соединения точек можно использовать сетку, в которой каждая линия является ребром поверхности, а промежутки между ними - гранями.

Например, точка 1 лежит на ребре SB в грани kl, заносим ее в сетку на линию SB между линиями к и l и т.д.

Соединяем точки, в пределах одной клеточки (4-7-2-8-6-4) и (3-1-5-3).

Линия пересечения распалась на две части (рис.80).

11.3. Пересечение многогранной поверхности с криволинейной.

В результате пересечения гранной поверхности с криволинейной получается ломаная линия, состоящая из плоских кривых линий (по числу граней, пересекающих кривую поверхность), сходящихся в точках пересечения ребер с кривой поверхностью. В построениях обязательно нужно определить характерные точки – вершины кривых; точки, которые отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой; точки излома, высшую и низшую.

Пример: определить линию пересечения конуса и призмы (рис. 81).

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.к. ее грани - суть горизонтально проецирующие плоскости (рис. 81).

Точки пересечения ребер а, в и с призмы с основанием конуса - точки 1, 2 и 3.

Высшие точки пересечения каждой грани призмы с конусом являются самыми близкими к оси вращения конуса, и, следовательно, лежат в плоскости β⁴ ,β⁵, β⁶, проходящих через ось конуса, перпендикулярно граням призмы и к П₁. Эти точки 4, 5 и 6 лежат одновременно на соответствующих образующих l⁴, l⁵, l⁶ конуса при пересечении его с плоскостями β⁴ ,β⁵, β⁶.

Промежуточные точки 7, 8, 9 и 10 найдены при помощи плоскости - посредника а (перпендикулярно оси конуса и параллельно плоскости П₁).

Промежуточные точки 11, 12, 13, 14, 15, 16 найдены при помощи плоскости - посредника γ (перпендикулярно оси конуса и параллельно плоскости П₁).

Точка 17 - граница видимости линии пересечения грани bc лежит на правой очерковой образующей конуса.

Все полученные точки соединены в пределах каждой грани призмы плавными кривыми с учетом видимости.