15.2. Позиционные задачи в проекциях с числовыми отметками. Пересечение поверхности плоскостью

Построение линии пересечения поверхности с плоскостью основано на общем для всех типов проекций методе вспомогательных секущих плоскостей. Порядок построения линии пересечения поверхности плоскостью (алгоритм):

1. Построить проекции горизонталей плоскости и горизонталей поверхности (если они не даны);

2. Отметить точки пересечения горизонтали плоскости с горизонталью поверхности, имеющей ту же отметку. Эта операция повторяется для всех горизонталей плоскости и поверхности, имеющих одинаковые отметки и пересекающиеся друг с другом;

3. Полученные точки последовательно соединить кривой линией, если поверхность кривая, и ломаной, если поверхность многогранная. Эта линия и будет искомой линией пересечения.

Пример (рис. 109).

Котлован под сооружение представляет собой усеченную четырехгранную пирамиду, боковые грани которой имеют уклон 2:1. Дно котлована - горизонтальная площадка с отметкой 4.

Построить линию пересечения боковых граней (откосов) котлована с наклонной поверхностью земли (плоскостью α), заданной масштабом уклона α_i.

Решение

1. Перпендикулярно к границам дна котлована как к горизонталям будущих откосов проведем линии масштабов уклонов плоскостей, образующих откосы.

Для градуирования этих масштабов вычислим интервал l = 1 / i = 0,5м. Взяв по масштабу чертежа отрезок l=0,5м, последовательно отложим его на линиях масштабов уклонов. Полученные точки обозначим отметками 4, 5, 6 и т.д. (по необходимости).

2. Через точки 5, 6 … масштабов уклонов перпендикулярно к ним проведем горизонтали 5, 6, 7, 8 и 9 откосов котлована. Соединив точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками, принадлежащих каждым двум смежным откосам, получим проекции линии взаимного пересечения этих откосов (т.е. проекции боковых ребер пирамиды котлована).

3. Проведем горизонтали 4, 5, 6, 7, 8 и т.д. поверхности земли и отметим точки пересечения их с теми горизонталями откосов котлована, которые имеют те же отметки.

4. Соединив точки А₆ и В₈ прямой, получим линию пересечения западного откоса с земной поверхностью. Для точности построений желательны контрольные (дополнительные) точки, например, мнимая точка (С₁₀). Проделав то же с другими точками, получим искомую линию пересечения поверхности котлована с поверхностью земли, являющуюся границей земляных работ.

Взаимное пересечение поверхностей.

Любая поверхность в проекциях с числовыми отметками определяется семейством горизонталей, которые представляют собой результат сечения поверхности плоскостями уровня. Линия пересечения поверхностей находится как геометрическое место точек пересечения горизонталей с одинаковыми отметками, принадлежащих каждой из пересекающихся поверхностей. Рассмотрим примеры.

Пример 1 (рис. 110)

Определить границы насыпей и выемок горизонтальной строительной площадки и аппарели (аппарель - пологий въезд или спуск на горизонтальную площадку), с уклоном i_a =1 : 3, расположенных на плоском склоне, заданном горизонталями. Уклоны откосов насыпи i_H =2 : 3, уклоны откосов выемки i_В=1:1.

Решение

1. Определяем точки нулевых работ (точки А и В) в пересечении горизонтали 9 с контуром площадки. Сравнивая отметки проектируемого сооружения с отметками рельефа, определим положение выемки и насыпи.

2. Строим для откосов насыпи и выемки площадки масштабы уклонов и через их деления проводим горизонтали откосов параллельно контуру площадки.

В пересечении одноименных горизонталей находим точки С, D, Е, F, G, K, принадлежащие линиям пересечения откосов со склоном местности.

3. Горизонтали откосов аппарели - прямые линии, но не параллельные бровке дороги. В этом случае горизонтали плоскости каждого откоса строятся как касательные к поверхности прямого кругового конуса.

Например, горизонталь 8 откоса аппарели проводится из конца горизонтали 8 самой аппарели (на ее границе) касательно к окружности, проведенной из точки уровня 9. Остальные горизонтали этого откоса параллельны ей, а масштаб уклона откоса перпендикулярен горизонтали 8 как касательная к горизонтали 8 конуса, с вершиной в отметке 9.

Пример 2 (рис.111)

Построить линии пересечения откосов дорожного полотна с топографической (земной) поверхностью.

Поверхность откоса является поверхностью одинакового ската. Горизонтали откосов являются огибающими кривыми, проведенными касательно к горизонталям конусов, имеющих одинаковые отметки, аналогично рисунку 107а. Далее находим и соединяем точки их пересечения с равноуровенными горизонталями земли.

Пример 3 (рис. 112)

Дана топографическая поверхность. Построить ее профиль по линии а. В инженерно – строительном деле профилем называется вертикальное сечение поверхности.

Примем прямую а за проекцию σ₀ плоскости σ, перпендикулярной к нулевой плоскости. Тогда точки А₇, В₈, С₉ … L₇ пересечения σ₀ с проекциями горизонталей 7, 8, 9, … 7 будут проекциями точек А, В, С, L пересечения горизонталей поверхности с плоскостью σ. Для построения профиля А', В', …L' совместим плоскость σ и ее точки А В… L с нулевой плоскостью.

1. Проведем прямую, параллельную а и примем ее отметку равной 0.

2. Из точек А₇, В₈, С₉ …L ₇ восстановим перпендикуляры на прямую 0 и продолжим их. Точки пересечения обозначим А₀, В₀ …L ₀

3. От точки А₀ на перпендикуляре А₇А₀ отложим отрезок А₀А' = 7 единицам масштаба; от точки В₀ - отрезок В₀В' = 8 единицам и т.д.

4. Полученными точки А', В', …L' соединим кривой линией, которая и будет искомым профилем поверхности по линиям а.